IX Власова Е.А. Ряды (1081388), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Понятие равномерной сходимости на множестве наглядно иллюстрируется геометрически. Пусть х Е Х = (а, Ь~) С К, и„(х) Е )к, и Е )ч, и и„(х) ==В и(х). Построим графики функций Х у = и(х) — с и у = и(х)+е, где и(х) = 1пп и„(х), х Е Х. Тогда с-+со из равномерной на Х = (а,Ь] сходимости последовательности (и„(х)) к функции и(х) следует, что для всякого достаточно большого номера и и всех х е [а, Ь~) у и„(х) будут верны неравенства и(х) — с < и(х)+с < и„(х) < и(х)+е. Другими словами, это означает, что, начиная с некоторого номера )1((е), графи- и(х)-с; ки всех функций и„(х), и ) 11'(с), и(х) ~ будут расположены в се-трубке", окружающей график функции и(х) Рис.
2.1 (рис. 2.1). Теорема 2.2. Для последовательности функций (и„(х)) и функции и(х), определеных на множестве Х, справедливо следующее утверждение: и„(х) ==В и(х) с=» 1пп зпр ~и„(х) — и(х) ~ = О. Х " +ссхЕХ н Пусть последовательность (и„(х)) сходится равномерно на множестве Х к функции и(х). Тогда, согласно определению 2.7, 2.2. Рввяомерявя еходимоеть фуякцяовааьвых рядов 131 получаем Чв>О ЛФ(в)ЕЯ Чп>Ф(в) ЧхЕХ: ~и„(х) — и(х)~<в.
(2.5) Отсюда следует, что при всяком и > Ф(в) функция ехо(х) = = [и„(х) — и(х)[ ограничена на множестве Х. Поэтому для всякого п > Ф(в) существует конечны точная верхняя грань се„= впр о„(х) = впр ~ио(х) — и(х)[. хЕХ хЕХ Используя свойство точной верхней грани и соотношение (2.5), имеем 0 < оо ьх впр~ив(х) — и(х)~ < в, и > Ж(в), хЕХ откуда и следует, что 11ш а„= 11ш впр[и„(х) — и(х) ~ = О. о ~ее о ~еохЕХ Пусть теперь а„= впр ~и„(х) — и(х) ~ -+ 0 при п — ~ оо. Тогда хЕХ Ж > 0 ЗЛ(в) Е Я Чп > Ф(в): «х„< в.
(2.6) Согласно свойству точной верхней грани, для всех х е Х верно неравенство )и„(х) — и(х)! < впр )ио(х) — и(х)( = а„. С учетом хЕХ этого из (2.6) следует, что [и„(х) — и(х) ~ < сео < в, и > Ф(в), х Е Х, что и означает в силу определения 2.7 равномерную на множестве Х сходимость последовательности (ио(х)) к функции и(х). ~ Пример 2.11. Рассмотрим функциональную последовательность (х")'„", определенную на Х = [О, 1). Для любой точки х Е Х имеем 1пп х" = О, т.е.
данная последовательность о-+оо на множестве Х = [О, 1) сходится поточечно к нулевой функции. 132 2. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ Покажем, что эта сходимость является равномерной на любом отрезке [О,в], 0 <у <1. Имеем: япр [х" [ = д", п Е М, хе[0,0] 1пп епр [х" [ = 1пп д" = О. в-+язв[0 0[ и-+00 Согласно теореме 2.2, получаем х" ==в 0 при 0 < д < 1. [0,01 Теперь покажем, что сходимость последовательности (х") к функции и(х) ье 0 на всем множестве Х = [О, 1) не является равномерной.
Действительно, 1пп впр [х [ — 1~0. ~*0[0,1) япр [х" [ = 1, и Е [ч, яв [О, 1) В силу теоремы 2.2 имеем х" =ее О. [0,1) Перейдем к изучению функциональных рядов. Определение 2.8. Функционаяьныб ряд ~ ~„(х) пав=1 зывают равномерно сходящимся на множестве Х, если функциональная последовательность (о„(х)) частичных сумм этого ряда сходится равномерно на множестве Х: о„(х) ==и о(х). В этом случае также говорят, что имеет место равномерная сходимос1пь функционального ряда 2 у„(х) на множеп=1 стае Х.
Если функциональный ряд ~ Ях) сходится на множестве в=1 Х, но не является равномерно сходящимся на этом множестве, то говорят, что [рункционаяьный ряд ~ у„(х) сходитпся в=1 неравномерно на множестпве Х или что имеет место неравномерная сходимостпь [рункционаяьного ряда на множестве Х. 2.2. Равиомериая еходимооть фуиялиоиааьиых рядов 133 Теорема 2.3. Если последовательность (Я„(х)) частичных сумм функционального ряда ~, Ях) сходится равномерно на а=1 множестве Х к некоторой функции Я(х), то функция Я(х) является суммой этого функционального ряда на множестве Х. м Так как Я„(х) ==а Я(х), то последовательность (Яа(х)) схо- Х дится к функции Я(х) поточечно на Х.
Это означает, что ряд ~" уа(х) сходится на множестве Х и ~, Ях) = Я(х), х Е Х. > а=1 Из поточечной сходимости функционального ряда на множестве следует поточечная сходимость к нулю на этом множестве последовательности сумм остап1кое этого ряда (см. (2.4)). Для равномерной сходимости функционального ряда на множестве имеет место аналогичное свойство. Теорема 2.4.
Функциональный ряд ~" у„(х) сходится и=1 равномерно на множестве Х тогда и только тогда, когда каждый его остаток сходится на Х, и последовательность сумм этих остатков (В (х))'~ 1 равномерно на множестве Х сходится к нулю (В (х) ==а 0). Х ч Во-первых, функциональный ряд ~,1„(х) сходится (поточечи=1 но) на множестве Х тогда и только тогда, когда на Х сходятся все его остатки ,'> уь(х), и Е11 (см. 2.1).
При этом для йми+1 всех и е М выполняется равенство В„(х)=Я(х) — Яи(х), хЕХ, где Я(х), Яи(х) и В (х) — сумма ряда, п-я частичная сумма ряда и сумма и-го остатка ряда соответственно (см. (2.3)). Во-вторых, используя теорему 2.2, получаем Я„(х) =~ Я(х) с=» 1пп впр ~Яа(х) — Я(х)~ = 0 с=» Х " +оо хЕХ = 1пп впр )В„(х)! = 0 е=» В„(х) ==в О. "-+оо аЕХ Х 134 2. ФУНКЦИОНАЛЪНЫЕ РЯДЫ Поскольку равномерная сходимость ряда ,'> Ях) на множеи=1 стае Х равносильна равномерной сходимости последовательности (о„(х)) частичных сумм этого ряда на множестве Х, то теорема доказана. в.
Пример 2.12. Рассмотрим геометрический функциональный рлд 2 х" ~, который сходится на множестве ~х~ (1 и л=1 имеет сумму (см. пример 1.4) Я(х)=~~» х" = —, хЕ( — 1,1). 1 о=1 Покажем, что этот ряд сходится на Х = ( — 1, 1) неравномерно. При х Е ( — 1, 1) имеем: Я„(х) = ~~> х" я=1 1 1 хо хтВ В (х) =Я(х) -Я„(х) = — — — = —.
1 — х 1 — х 1 — х При любом и Е М функция ~В (х) ~ не ограничена на Х = ( — 1, 1), поскольку 1пп )В„(х)! = 1пп =+ос. *-+~-о *-+ь-о 1 — х Следовательно, впр ~В„(х)~ =+со для всех и Н М и, значит, хе(-ц П 1пп гор~В„(х)~ фО. Согласно теореме 2.2, В (х)-хаО, аз силу ~ +с гЕХ СО Х теоремы 2.4 и сам ряд ~ х" г сходится на Х = ( — 1, 1) также и=1 неравномерно. Заметим, что последовательность (В (х0 не является равномерно сходящейся к тождественно равной нулю функции и 22. Равиомеривя сяодимость фуякциовавьимх рядов 135 в любом промежутке (-1, 6), -1 < Ь < 1. Действительно, для всякого фиксированного и Е Я имеем впр (В (х)~ = зпр — > 11ш — =-, — 1<Ь<1.
(х!" , (х!" 1 ве(-1,Ь] ~е( 1 ь) 1 — х *-+-1+о 1 — х 2' Следовательно, 111п впр )В„(х) ! вЬ О. Согласно теореме 2.2, яЕ(-1,Ь) В (х) еа О, а в силу теоремы 2.4 и сам рлд 2 х" 1 сходится (-1,Ь) и=\ на ( — 1, Ь', -1 < 6 < 1, также неравномерно. Факт отсутствия равномерной сходимости функциональной последовательности (В (х)) к тождественно равной нулю функции в промежутках (-1, 1) и (-1, 6], — 1 < Ь < 1, можно проиллюстрировать геометрически: из рис. 2.2 ясно, что при е < 1/2 графики функций р = В (х) = х"/(1 — х) не лежат целиком в е-окрестности („е-трубкеа) графика предельной функции у = О. (и нечетное) (и четное) Рис. 2.2 Пример 2.13. Рассмотрим функциональный ряд 136 2.
ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ В соответствии с признаком Леббкииа (см. теорему 1.13), этот ряд сходится в каждой точке х Е Х = К. В силу следствия 1.4 имеем следующую оценку суммы остатка этого экакочередующегосл при каждом х е К р,яда: 1 1 Следовательно, в силу свойства точной верхней грани О < япр)В„(х)) <, п Е М. 1 ,ен 1п(п+ 2) ' Поскольку 1пп 1/1п(к+2) = О, то и 1пп япр)В„(х)( = О. Это о-+< ~ 14~00 хан означает, что последовательность сумм остатков функционального ряда равномерно на Х = К сходится к тождественно равной нулю функции (В (х) ==гО).
Таким образом, исход- Ж ный функциональный рлд сходится равномерно во всей областии определекил Х = К. Необходимым признаком поточечной сходимости функционального ряда является поточечная сходимость к нулю общего члена этого ряда. Для равномерной сходимости имеет место аналогичное свойство. Теорема 2.5 (необходимый признан равномерной сходимоспзи фунниионального ряда). Если ряд 2 у„(х) схои=1 дится равномерно на множестве Х, то последовательность его членов (Д„(х)) равномерно сходится на множестве Х к нулю: ~„(х) ==а О, к -+ оо.
Х < Согласно определению 2.8 равномерной сходимосги функци- онального ряда, имеем 2.2. Раввомервая еходимоеть фуввввоввяьяыя рядов, 137 где Я„(х) и Я(х) — частичная сумма и сумма функционального ряда соответственно. Но тогда для всех и > 1т'(в) и всех х Е Х получаем )~„+1(Х)! = ~Я„+1(Х) — Яо(ХИ < < (Яо+1(Х) — Я(Х))+ ~Я„(Х) — Я(Х)( < — + — = В. Следовательно, )в(х) ==к О. ~ Х Если для функционального ряда на множестве Х не выполнен необходимый признак равномерной сходимости, то этот функциональный ряд не является равномерно сходящимся на Х.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
