IX Власова Е.А. Ряды (1081388), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Пример 2.14. Рассмотрим функциональный ряд ~ х" о=1 В примере 2.12 показано, что этот геометрический ряд при ф < 1 сходится, но неравномерно. Последнее можно доказать и с помощью необходимого признака равномерной сходимости. Действительно, для общего члена Ях) = х" 1 этого ряда имеем впр (~'„(хИ = впр (х") = 1, и Е М. Отсюда следует, что яв(-1,1) яв(-1,1) 1пп впр ~Д„(х)) = 1 ф О, и, значит, („(х) =-~в О.
Необходив-ьоояв( 1 О (-1,1) мый признак равномерной сходимости функционального ряда на Х = ( — 1, 1) не выполняется, следовательно, исходный ряд не является равномерно сходящимся в интервале ( — 1, 1). Сформулируем простой для проверки достаточный признак равномерной сходимости функциональных рядов. Для этого введем следующие понятия. Определение 2.9. Числовой ряд ~ а„с неотрицательные=1 ми членами а„> О, н Е 1(, называют мажорирующим рядом или числовой мажорантпой на множестве Х для функционального ряда ~,,)„(х), х Е Х, если для всех х Е Х справедливы в=1 неравенства )Ях)~ < а„, и Е Я. 138 2.
ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ Теорема 2.6 (признан Вейерштпрасса равномерной сходимостпи Ярннционааьноео ряда). Если функциональный ряд ,'1 У„(х) имеет на множестве Х сходящуюся числовую в=1 мажоранту, то этот ряд сходится на множестве Х равномерно и абсолютно. н Пусть числовой ряд ~ а„, а„> О, п 611, является мажорирующим для функционального ряда 2 у„(х) на множестве Х. в=1 Тогда в силу признана сравнения ряд ), ~~„(х)~ сходится на ОО в=1 множестве Х, т.е.
ряд ~; т"„(х) сходится на Х абсолютно. в=1 СО Из абсолютной сходимости ряда ~ ув(х) на множестве Х в=1 следует, что на Х сходится сам ряд ~, у„(х) и каждый его п-й 00 в=1 остаток: В (х) = 2 )й(х), хЕ Х, пбг1. Кроме того, в силу я=в+1 00 сходимости знаноиоложительного ряда ~ а„последовательв=1 ность сумм его остатков стремится к нулю при п — й оо, т.е. 1те > О 311(е) е И Чп >1т'(е): О < ~~1 ай < -. 2 я=в+1 Выберем произвольное е > О. Тогда для любого номера п > 1т'(е) и любого натурального числа р имеем в+р +1(х) + +~ +р(х)~ < л~1 ~ )й(х)~ < й=в+1 в+р ОО е < ~ ай< ~ ай<-, хЕХ. 2' й=в+1 й=в-1-1 В случае произвольных фиксированных х Е Х и и > М(е) в неравенстве ~Дв+1(х) +... + ~„+р(х) ~ < е/2 перейдем к пределу 2.2. Равномерная еходнмоеть фунннмонаяьньп~ рядов 139 при р — е оо.
При этом для любых п > М(е) и х Е Х получим (П„(я) ~ = ,'С Ь(х) < -' < е, я=о+1 где М(е) зависит только от е и не зависит от х е Х. Следовательно, В (х) =-аб,п -+ со,и функциональный ряд ~,,1„(х) Х я=1 сходится на множестве Х равномерно (см. теорему 2.4). ~ Пример 2.15. Докажем, что функциональный ряд сових Е пэ о=1 сходится равномерно на всей числовой прямой К. Действительно, для всех х Е Й и п Е 1Ч справедливо неравенсоних ~ 1 со ство ~ ~ < —. Поскольку рлд Днрняде ~„— сходится, то, пг ~ - пг п2 согласно признаку Вейерштрасса, данный функциональный ряд сходится на всей числовой прямой равномерно и абсолютно. Итак, функциональный ряд со сходящейся числовой мажорантой сходится равномерно и абсолютно.
Причем из хода доказательства признака Вейерштрасса ясно, что при этом ряд ~, ~Ях)~ сходится на Х также равномерно. Однако условие =о существования сходюцейся числовой мажоранты для функционального ряда является только достаточным условием для его равномерной и абсолютной сходимости, но не является необходимым условием. Понятия абсолютной и равномерной сходимости, вообще говоря, не связаны между собой.
Так, равномерная сходимость ряда на множестве Х может иметь место и без абсолютной сходимости на этом множестве. Кроме того, может оказаться, что ряд ~ ~„(х) сходится абсолютно и равномеро=1 140 г. фуыкционлльныж ряды но на множестве Х, а ряд ~; ~Ях)~ — неравномерно на этом и=1 множестве. Приведем соответствующие примеры. Пример 2.16. Рассмотрим функциональный ряд ( 1)и 2 Е С. и=1 Для любых фиксированных я Е С имеем ! (-1)и 1 1 1 и + ~я~г 1 и + ~я~г и " + ~' Так как гармонический рлд ~; 1/и расходится, то в соответи=1 стени с предельным признаком сравнения ряд из модулей членов исходного ряда расходится на всей комплексной плоскости С.
Однако сам функциональный ряд ~ ( — 1)и/(и+ ~я~г) схои=1 дится на всей комплексной плоскости С, поскольку при всех я Е С удовлетворяет признаку Лейбница. Действительно, этот ряд является знакочередующимся,и для любого х Е С последовательность модулей его членов ~( — 1)и/(и+ 12)г)~ = 1/(и+ )я(2) монотонно стремится к нулю при и -+ оо.
Таким образом, областью сходимости данного функционального ряда является вел комплексная плоскость С. Покажем, что данный ряд сходится на множестве С равномерно. Согласно следствию 1.4 об оценке остатка ряда, удовлетворяющего условиям признака Лейбница, имеем Ф (Я)1 = ~; 1< !/+11= (-1)и 1 < —, лЕС. я=и+1 ф21 и и+ 1+)я~г и+ Следовательно, 0 < вар~В (я)) < 1/(и+ 1) для всех п Е М. Полес скольку 1пп 1/(и+ 1) = О, то и 1пп зпр(Ви(я)~ = О.
В силу и — >оо и-+со дес 2.2. Равномернав еходнмоеть функнвонвяьвык рядов 141 теоремы 2.2 получаем В„(л) ==вО и, значит, функциональный СО С ряд 2 ( — 1)"/(и+ ~я~2) сходится равномерно на множестве С в=1 (см. теорему 2.4). Итак, рассматриваемый функциональный ряд сходится равномерно на всей комплексной плоскости, но при этом не явю~- ется сходящимся абсолютно ни в одной ее точке. Пример 2.17. Докажем, что на Ж функциональный ряд ~; (-1)"х2/(1+х2)" сходится равномерно, а функциональньпя вкн ряд ~; х /(1+ х2)", составленный из модулей членов первого в=1 ряда, сходится при каждом х Е Ж, но неравномерно на Й.
В самом деле, при каждом х Е К ряд 2м ( — 1)"х2/(1+ х2)" ввн удовлетворяет признаку Лейбница, так как является знакочередующимся, и последовательность модулей его членов (-1)в 21 х2 (1+х2)в ~ (1+ х2)в монотонно стремится к нулю при п — > оо для каждого х Е Й. В силу следствия 1.4 об оценке остатка ряда, удовлетворяющего признаку Лейбница, имеем для любого действительного х Ф 0 х2 )В (х)) < ~/„+1(х)~ = х2 х2 1 < 1+ (и+ 1)х2+... + х21в+1) (и+ 1)х2 и+ 1 (здесь мы воспользовались формулой бинома Ньющова для представления выражения (1+х2)"+1 в виде суммы). Кроме того, очевидно, что для любого п Е М имеет место следующее равенство: В (0) = О. Таким образом, !В„(х)~ < 1 хЕИ, нбвд%.
1 и+1 142 г. т'нкционлльнык ряды Отсюда, как и в примере 2.16, заключаем, что В„(х) =я О. ОО К Следовательно> ряд Я ( — 1)"хз/(1+х2)" сходится равномерно п=1 на всей числовой прямой Ж. Рассмотрим функциональный ряд, составленный иэ модулей членов исходного ряда: 00 2 ОО 2~ > ~(1+.). — >О (1+.
)- 0=1 0=1 Этот ряд при х ф 0 является геометрическим с параметром >1 = 1/(1 + Х2) (см. пример 1.4). Поскольку >1 = 1/(1+ х2) Е (О, 1) при всех х е Ж, х ф О, то этот ряд сходится при всех х е Ж~ (0). При х =0 имеем 2 Х2/(1+Х2)" = „'1, '0 =0. Таким образом, 0=1 0=1 исходный функциональный ряд 2' ,( — 1)"х2/(1+ х2)" сходится 0=1 абсолютно в каждой точке х Е В. Докажем, что сходимость ряда ,'1, 'х2/(1+Х2)" на множе0=1 стае Ж не является равномерной. Обозначим и-й остаток этого ряда В„(х). Очевидно, что ВО(0) = О. При х ф 0 имеем х2 Х2 х2 (1 + х2)О+1 (1 + х2)О+2 (1 + х2)О+з х2 1 1 ('1+ + (1+ х2)"+' ~ 1+ х' (1+ х')2 +Л= х2 1 1 (1-~- х2)О+1 1 1 (1-~- х2)О 1+ХО (см.
пример 1.4). Отсюда для всякого номера п 6 11 получаем вар~В„(х)~ = 11шВ„(х) = 1пп =1, О->0 х->О (1+Х )" 2.2. Равномерная сходнмость функциональных рядов 143 и, следовательно, 1пп вар[Ля(х)[ = 1 ~ О. Согласно теореме " ~оо яЕЖ 2.2, это означает, что Л„(х) =~В О, т.е. последовательность Е (Л (х)) остатков ряда сходится к нулю иа множестве* К неравномерно. Тогда из теоремы 2.4 следует, что и ряд 2 , 'х2/(1+ хх)" сходится иа К неравномерно. о=1 Замечание 2.1. Из равномерной сходимости функционального ряда иа множестве Х следует его равномерны сходимость иа любом множестве У С Х.
Действительно, если рнд ~, Ях) я=1 сходится к функции /(х) равномерно на множестве Х, то для любого е > О найдется такой номер М(е) Е Ь), что при всех и > Ф(е) выполняется неравенство ~ ~; /л(х) — /(х)~ ( е длн любого х Е Х. Но тогда зто неравенство будет справедливо и длн любого х Е У С Х. И, значит, ряд 2 /ь(х) равномерно схоя=1 дитсн па У С Х. Обратное утверждение неверно. Существуют ряды, сходящиеся, например, равномерно иа любом отрезке, ио неравномерно иа всей числовой прямой.
Пример 2.18. Покажем, что функциональный ряд ',[ х"/и! в=1 сходится равномерно иа любом отрезке [а, Ь) С И и иеравиомерио па всей прямой !к. Рассмотрим произвольный отрезок [а, Ь[ с И и положим д = щах([а[, [Ь[) > О. Тогда числовой рнд 'С, 'дв/и! является в=1 00 мажораптой длл исходного функционального ряда ~; х"/и! веп иа отрезке [а, Ь]. Зиакоположительный числовой ряд ~, д"/и! выл сходится при а > О в силу иредельноео признана Даламбера, Из доказательства ясно, что (Л„(х)) будет сходиться неравномерно на любом подмножестве Й, содержащем некоторую окрестность точки х = О. 144 х.
ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ поскольку и+1 и Бш — = 11ш =0(1, д)0. и-+оо 1 (и+ 1)! п! / и-+со и+ 1 Следовательно, согласно признаку Вейерштрасса равномерной сходимости (см. теорему 2.6), ряд 2 хи/и! сходится равнои=1 мерно на любом отрезке [а, Ь] С К. Поскольку ряд 2,' хи/и! сходится на любом отрезке [а, Ь] С и=1 С К, то он сходится и на всей числовой прямой К.
Покажем, что эта сходимость на К не является равномерной. Действительно, 1пп [/и(х)[ = 1пп ]хи/и!] = +со Дла всЯкого и Е 1"!. ПоэтомУ х-+со х-+оо при каждом фиксированном ть Е !'! функция ]/и(х)[ является неограниченной на К, следовательно, впр]/и(х)[ = +со, и Е !Ч.
хеи Отсюда 1пп впр[/и(х)[ ф О. В соответствии с теоремой 2.2 и~оо хен /и(х) = хи/и! =си О, т.е. не выполняется необходимый признак и равномерной сходимости функционального ряда (см. теорему 2.5). Поэтому исходный ряд сходится на К неравномерно. Признак Вейерштрасса равномерной сходимости функциональных рядов очень прост, но для его применения необходим сходящийся числовой ряд, мажорирующий данный функциональный ряд.
Непосредственно „увидеть" такой ряд не всегда удается. Очевидно, что наилучшей числовой мажорантой для фУнкционального РЯДа 2,' /и(х) на множестве Х ЯвлЯетсЯ чиоо и=1 еловой ряд ~, впр Щх)[, требующий умения находить точные и=1 хЕХ верхние грани функций на множестве. Одним из способов нахождения (или оценки) точной верхней грани модуля общего члена функционального ряда является исследование его на экстремум. Проиллюстрируем это на примере. 4.4. Равноыериак еходиыоеть функциональных рядов 145 Пример 2.19.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
