IX Власова Е.А. Ряды (1081388), страница 21
Текст из файла (страница 21)
при ф = 1/2, данный ряд расходится, так как последовательность ~сиги~ не стремится к нулю при и -+ оо. Действительно, ~с гп~ ~2п( /и 1 1)гп! — 2п)~/и 1 1) ~г)п оо 1 = 2",/.:Т+ 1 — =,,Я 2п Итак, ряд сходится абсолютно при ~г~ < 1/2 и расходится при ф > 1/2.
Пример 2.22. Найдем область сходимости степенного ряд 5п п (2.18) п=1 167 2.4. Комплексные степенные ряды Согласно свойству 1.4, этот ряд можно рассматривать как степенной, если представить его в виде 2 сья~, где се = бь при я=1 к = пз, и Е И, н сь = О при всех остальных и. Таким образом, получаем, что бесконечное число коэффициентов сь этого ряда равны нулю, и поэтому применение формул (2.16) и (2.17) для вычисления радиуса сходимости этого ряда в данном случае невозможно. Однако если ряд (2.18) рассматривать не как степенной, а как обычный функциональный ряд, то к ряду из модулей этого ряда вполне можно применить предельные признаки Даламбера и Коши. Применим предельный признак Коши: 1пп " (5и'яи'! = 1пп Щ" И-+00 И-Ьое При ~л~ ( 1/5 последний предел равен нулю (меньше единицы), и, значит, ряд абсолютно сходится, а при ~я~ ) 1/5 предел равен +со (больше единицы), и, значит, ряд расходится. Следовательно, радиус сходимости В = 1/5.
На границе круга сходимости ряд расходится, так как при ф = 1/5 все члены ряда по модулю равны единице, и не выполняется необходимый признак сходимости ряда. Пример 2.23. Найдем область сходимости степенного ряда и=О Согласно формуле (2.16), имеем и! . 1 В= 1пп ' = 1пп — =О. и-+со (и+ 1)! и-+оо и+ 1 Следовательно, ряд сходится только в одной точке г = О.
Пример 2.24. Найдем область сходимости степенного ряда 168 2. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ Центром данного ряда является точка ге =1. После замены тд = г — 1 получаем ряд ~, (пг/п)" с центром в нуле. Используя а=1 формулу (2.17), находим радиус сходимости ряда 1 В= = 1пп и=+ос. Ию /1/пн н-+о Таким образом, ряд 2 (в/п)и сходится в любой точке комн=1 оо плексной плоскости С, следовательно, и ряд ~; (г — 1)" /п" схон=1 дится всюду на комплексной плоскости С.
Пример 2.25. Исследуем на сходимость степенной ряд (г — 1+1)" п2н и=\ с центром в точке гб = 1 — 1. После замены тр = г — гб = = г — 1+1 получаем ряд 2, 'тдн/(п2н) с центром в нуле. Ддя н=1 него, применяя формулу (2.16), находим радиус сходимости (п + 1) 2нт~ В= 1пп "-н'м. п2н Отсюда получаем, что ряд ~; игн/(п2н) сходится абсон=1 лютно в круге ~тд~ < 2, и, значит, ряд ~; (г — 1+1)" /(п2") и=1 сходится абсолютно в круге ~г — 1+1~ < 2 радиуса 2 с центром в гб = 1 — 1 (рис.
2.4). Выясним, сходится ли ряд абсолютно на всей границе ди- Точка условной сходимости Круг абсолютной сходимости Рмс. 2.4 169 2.4. Комплексные степенные ряды круга сходимости, т.е. в точках комплексной плоскости, удовлетворяющих условию ~« — 1+1~ = 2. Для всех таких точек ряд, составленный из модулей членов исходного ряда, имеет вид 2п 1 п=1 п=1 Полученный ряд является гармоппческпм (см.
пример 1.10) и, следовательно, расходится. Поэтому на границе круга сходимости исследуемый степенной ряд не является абсолютно сходящимся. Однако среди точек этой границы могут быть точки, где ряд расходится, и точки, где ряд сходи1пся условно. Выясним, сходится ли ряд в конкретных точках «1 = 3 — 1, «2 = — 1 — 1 и «г = 1+ 1', лежащих на границе круга сходимости. При « = «1 = 3 — 1 имеем гармонический ряд (3 — 1 — 1+ 1)п ~ 1 п2п л и п=1 п=1 Следовательно, в точке «1 исходный ряд расходится. Пусть « = «2 = — 1 — 1.
Тогда имеем ряд С;- (-1-1 — 1+ ')и (-2)п (-1)п п2п л п2п л- и п=1 п=1 п=1 который сходится условно в соответствии с признаком Лейбница (см. теорему 1.13). Точка «2 — точка условной сходимости исходного ряда. Пусть теперь « = «з = 1+1. Тогда ряд принимает вид (1+1 1+1)п ~~.~ 2п1п ~Ч» еп п2п п2п п=1 п=1 п=1 Поскольку 12е = (-1)", Р' 1 =1( — 1)" 1, л Е М, и действительные ряды 2' (-1)ь/2л, 2 ( — 1)" 1/(2л — 1) являются условно й=1 Ь=1 170 2. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ сходящимися вследствие признака Лейбница, то в силу свойств 1.5 — 1.7 имеем 1н 22ь-1 2ь ( 1)ь ( 1)ь-1 Й-'=к( — '.Ч =Й="Й о=1 я=1 я=1 я=1 Таким образом, согласно замечанию 1.б, комплексный ряд ~ г"/и является условно сходящимся.
Следовательно, точка о=1 хз — точка условной сходимости исходного ряда. 2.5. Действительные степенные ряды В этом параграфе рассмотрены дейспзеигпеяьные степенные ряды, т.е. ряды вида ~~) а„(х-хо) > где х Е К, а центир ряда хо и ноэФФициентпы ряда а„— заданные действительные числа., Рассмотрим этот же ряд (с теми же коэффициентами и с тем же центром), но не от действительного переменного х, а от комплексного переменного я (такую операцию называют выходом в комплексную плоскость): ~) а„(г — хо)", г Е С. о=о Как показано в 2.4, этот комплексный степенной ряд имеет некоторый радиус сходимостпи В, 0 < Н < +со, т.е.
абсолютно сходищся внутри открытого круга Кя = (г е С: )х — хо~ < В) в комплексной плоскости (В > 0) и расходитпся вне замкнутого круга КЯ= (г е С: )х — хо! < Л) (при )х — хо! > В, В<+со). Поскольку множество действительных чисел К является подмно- 2.5. Действительные степенные ряды 171 жеством (действительной осью) комплексной плоскости С, то исходный ряд ~ а„(х — хе)" от действительного переменного п=е г = х е К с С абсолютно сходится в интервале (хе — В, хе+ В) с с Кя (т.е. при ]х — хе] < В, В > 0) и расходится вне отрезка (хе — В хе+ В] (т.е. при ]х — хе] > В, В < +ос).
Таким образом, для всякого действительного степенного ряда ~, а„(х — хе)" существует единственное число В, 0 < п=е < В < +со, такое, что этот ряд сходится, причем абсолютно, на интервале (хе — В,хе + В) с К и расходится вне отрезка (хе — В, хе + В]. При этом, если В = О, то ряд ~', а„(х — хе)" в=О сходится в единственной точке хе = О, а при В = +со обласщью сходимостаи ряда является вся числовая прямая К.
Радиус сходимости В, 0 < В < +со, ряда ~ а„(е — хе)" от п=е комплексного переменного г е С называют радиусом сходимосгаи действительного степенного ряда ~ а„(х — хе)", а п=е интервал (хе — В, хе+ В) с К вЂ” инеаераалом сходимоспии этого ряда. Не ограничивая общности рассуждений и получаемых результатов, далее будем рассматривать в основном только действительные степенные ряды ~ а„х" с центром в нуле (хе = 0).
в=О Поскольку множество действительных чисел является подмножеством комплексных чисел, то сформулированная ниже теорема является следствием теоремы 2.15 о комплексных степенных рядах. Теорема 2.16. Пусть  — радиус сходимости действительного степенного ряда 1 а„х". Тогда этот рлд сходиеасл п=е равномерна и абсолютно на любом отрезке ( — г,г], целиком лежащем в интервале сходимости: ( — г, г] С ( — В, В) Ф 172 г.тнкцнонлльныкряды Следствие 2.1. Сумма всякого действительного степенно- го ряда ~', апхп является непрерывной функцией в интервале п=в сходимости ( — В, В). Теорема 2.17. Радиусы сходимости действительных степенных рядов а) ~~1 апХ", и+1 00 б) ~~1~, в) ~~1 напхп 1 (2.19) п=в п=1 п=в равны. < Обозначим через В1, Вг и Вз радиусы сходимости рядов (а), (б) и (в) соответственно и заметим, что !"* Хп+1 ! (]х]]инхп] (х ]апахп ], н ЕМ, х Ей. и+1 Из этих неравенств и признана сравнения (см.
теорему 1.4) следует, что сходимость ряда (в) в некоторой точке хв Е К обу- словливает сходимость в этой точке ряда (а). А из сходимости ряда (а) следует сходимость ряда (б). Это означает, что (2.20) Вз (В1 (Вг. Докажем, что Вг ( Вз, т.е. что из сходимости ряда (б) следует сходимость ряда (в). Пусть хв ф 0 и хв Е ( — Вг, Вг), 1 Рассмотрим произвольный отрезок ( — г, г] С ( — В, В). Согласно теореме 2.16, ряд 2 апхп на отрезке ( — г, г] сходится равноп=в мерно.
Так как степенные функции уп(х) = апхп непрерывны, то в силу теоремы 2.10 о непрерывности суммы равномерно схоДлщегосв РЯДа с непРеРывными членами сУмма РЯда 2 апхп п=в является непрерывной на отрезке (-г,т]. Поскольку отрезок [ — г, г] С ( — В, В) произволен, то сумма ряда непрерывна в л1обой точке интервала ( — В, В). ~ 173 2.5. Дейотннтеяъные отененные ряды т.е. в точке хо ряд (б) сходится. Покажем, что в точке хо ряд (в) также сходится. Поскольку ~хо~ < Аг, то найдется такое т > О, что (хо( < г < Вг. запишем модуль общего члена ряда (в) в точке хо в виде п(п + 1) ~ а„т" +1 ~ ~ хо (о+1 хо В соответствии с необходимым признаком сходимости ряда из сходимости ряда (б) в точке х = г (зта точка принадлежит интервалу сходимости, поскольку О < г < Вг) следует, что общий член ряда (б) стремится к нулю: ах+1 н-+со~ и+ 1 В частности, последовательность Ца„т"+1)/(и+ 1Ц ограничена, т.е.
существует такое число М > О, что верно неравенство ~ <М, пЕИ. Пусть д = )хо/г(. Отметим, что О < о < 1, поскольку )хо) < г. Тогда п(п+ 1) ХО Обозначая через с„правую часть последнего неравенства, по- лучаем с„. 1 . (п+ 1)(п «-2)Мд"+гхг хи+ 2 11ш — Бш — 11ш о — = д < 1. и-+оо С и-+оо П(П+ 1)М17н+1Х~ ~о-+оо П Следовательно, в силу предельного признака Даламбера энакопояожитеяьный ряд ); с„сходится. Согласно признаку ораве=о оо пения (см. теорему 1.4), сходится и ряд ~ ~панхо ~. Итак, о=1 Ряд (в) в точке хо сходится, причем абсолютно.
Это означает, 174 2. ФУНКЦИОНАЛЪНЫЕ РЯДЫ что Вз < Вз. И, наконец, учитывая (2.20), получаем требуемое равенство: В1 = Вз = Вз. ° Следствие 2.2. Ряды (а), (б), (в) из (2.19) сходятся равномерно на любом отрезке [ — г, г], целиком содержащемся в вх общем интервале сходимости ( — В, В). Заметим, что членами ряда (б) из (2.19) являются интегралы на отрезке [О, х] от членов ряда (а) из (2.19): | апх"+ а„х" дх= ", и=0,1,21..
и+1 о Членами же ряда (в) являются производные членов ряда (а): (авх")'=на„х" ', пЕМ. Так как ряды (а), (б) и (в) имеют один и тот же интервал сходи- мости ( — В, В) и равномерно сходятся на любом отрезке [ — г, г[, г Е (О, В), то иэ теорем 2.12 и 2.13 следует, что любой степенной ряд на всем его интервале сходимости можно почленно интегрировать и дифференцировать. Поскольку при ночленном интпеерировании и дифференцировании степенных рядов получены степенные ряды с теми же интервалами сходимости, то к ним можно применить теорему 2.17.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
