IX Власова Е.А. Ряды (1081388), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Следовательно, операции дифференцирования и интегрирования степенного ряда внутри интервала сходимости можно повторять сколь угодно много раз, получая при этом степенные ряды с теми же интервалами сходимости. Сформулируем сказанное в виде теорем. Функцию 1(х), определенную в некоторой окрестности точки хв, называют бесконечно дифференцируемоб в этой точке, если в ней она имеет производные любого порядка. Функция ~(х) бесконечно дифференцируема в интервале, если она бесконечно дифференцируема в каждой точке этого интервала.
175 2.5. Дейетвнтвяъные степенные ряды Теорема 2.18. Для всякого действительного степенного ряда ~ аихи с суммой я(х) и радиусом сходимоств В справеди=о лино равенство ~е(он=~(1 ~ )в=о, е(-я,в), о =о =о " причем радиус сходимости ряда справа также равен В. Теорема 2.19. Сумма Я(х) действительного степенного РЯДа ~, аихи с РаДиУсом схоДимости В Явлаетсн бесконечно и=о дифференцируемой в интервале (-В, В) функцией, причем имеет место равенство г 00 ;1 оо я(х) = ~~~ аихи~ = ~~~ паихи, х Е ( — В,В), и=о и=1 где радиус сходимости ряда справа также равен В.
Дифференцирование и интегрирование часто применяют для нахождения сумм степенных рядов. Пример 2.26. Найдем сумму степенного ряда хз хо хг ( — 1)и гхги 1 Я(х)=х- — + — — — +...+ +.. 3 5 7 2п — 1 оо ( 1)п-1хгп-1 Применим к ряду ~; предельный признак Да2п — 1 ламбера: ( Цихг(п+1)-1 2п 1 хг(2п 1) =х. 11ш 11ш и-+оо 2(п+1) — 1 ( — 1)и гхги 1 и-+оо 2п+1 Согласно предельному признаку Даламбера, этот ряд сходится (а исходный ряд сходится абсолютно) при хг < 1 и расходится 176 2.
ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ при х2 > 1. Следовательно, (-1, 1) — это интервал сходимости исходного ряда. Рассмотрим ряд, полученный нэ данного ряда почленным дифференцированием в интервале ( — 1, 1): 1 — х2+х4 — хе+ +( 1)я-1х2и 2+.. На основании теоремы 2.19 полученный ряд сходится в интервале ( — 1, 1) к функции о'(х). Заметим, что члены последнего ряда образуют геометрическую прогрессию со знаменателем (-х2), и поэтому сумма этого ряда может быть легко найдена (см. пример 1.4): я=О Тогда при х Е ( — 1, 1) Г Нх о'(х) = / = агс16х+ С.
/ 1+х2 Постоянную С найдем нэ очевидного условия о'(0) = 0 (при х = 0 все члены исходного ряда равны нулю). Следовательно, С=О и о'(х) = агс16х, х Е ( — 1, 1). Рассмотрим точки, принадлежащие концам интервала сходимости: х = 1 и х = — 1. Прн х = 1 исследуемый ряд имеет вид 2 ( — 1)" 1/(2п — 1). Этот ряд сходится в силу признака а=1 Лейбни44а (см. теорему 1.13). Его сумма подсчитана в 3.11: '"' ( 1)е — 1 = — = агс161. я=1 При х = — 1 имеем ряд = — — = агс16( — 1).
" (- )"-'(- ) " (- )"-' 2и-1 2п-1 4 п=1 и=1 2.б. Ряд Тейлора 177 Таким образом, при всех х Е [ — 1, 1] ХЗ ХО (-Ци ~Х2Я 1 х — — + — — ... + +... = атеях, 3 5 2п — 1 а при х ф [ — 1, 1] этот ряд расходится. Примеры вычисления сумм рядов с помощью почленного дифференцирования и интегрирования рассмотрены также в 2.7, 2.8. 2.6.
Ряд Тейлора В этом параграфе рассмотрены действительные функции действительного переменного и функциональные ряды, членами которых являются степенные функции действительного переменного. Определение 2.11. Пусть функция Дх) задана в некоторой окрестности точки хо и имеет в этой точке производные любого порядка. Тогда степенной ряд УОО(хо) (х — хо)", х Е К, я=о называют р.ядом Тейлора функции ~(х) в точке хо. При хо = 0 ряд Тейлора называют рядом Маклорена. Возникают следующие вопросы: каков интервал сходимости ряда Тейлора функции Дх) в точке хо? сходится ли он к функции ~(х), и если да, то существует ли другой степенной ряд, сумма которого на этом интервале совпадает с ~(х)? Определение 2.12.
Дебсгпвишельную функцию У(х) действительного переменного называют анаяиянинеской в точке хо, если она определена в некоторой окрестности точки 178 2. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ хе и ее можно представить в этой окрестности некоторым сходящимся степенным рядом: 1(х) = ~~) а„(х — хо)", х е (хе — е,хе+с), е > О. ««в Такое представление аналитической функции называют ее раз- ложением в стеиенной р*д в окрестности точке хе. Следующая теорема показывает, что разложение аналитической функции в степенной ряд единственно и этим рядом является ее ряд Тейлора. Теорема 2.20. Если в некоторой окрестности точки хе для функции 7'(х) справедливо разложение Дх) = у а„(х — хе)", х е (хе — е, хе + е), е > О, «=0 то функция 1 (х) бесконечно дифференцируема в этой окрестности и у~ ~(хо) в«вЂ” и=0,1,2,...
и! 00 < Пусть 7" (х) = 2,' а„(х — хе)" — некоторое разложение функ«=0 ции 7" (х) в степенной ряд в окрестности (хе — е, хе + е) точки хе и  — радиус сходимости этого ряда. Тогда (хе — е, хе+ е) С С (хе — В, хе+ В), и следовательно, В > О. Согласно свойствам действительных степенных рядов (см.теорему 2.19), этот ряд можно иочленно дифференцировать в интервале сходимости (хе — В, хе+ В) любое число раз. Поэтому для любого числа х Е (хе — с, хе+с) имеем ,)00(х) = ~~> «(«.— 1)...(л — и+1)аь(х — хе)ь ", и=0,1,2, ...
ь=« 2.6. Ряд Тевлора 179 Полагая в этих равенствах х = хе,получаем У(хо) =ао, У'(хо) =а~,,!'Я(хе) =2!аэ, ~!")(хе) =п!а„, Следовательно, У!"!(хе) а„=, п=0,1,2,... п! что и требовалось доказать. ~ Таким образом, аналитическую в точке хе функцию можно определить как функцию, которая в некоторой окрестности точки хе является суммой своего ряда Тейлора. Теорема 2.20 утверждает, что всякая аналитическая в точке хе функция бесконечно дифференцируема в некоторой окрестности этой точки.
Однако не всякая бесконечно дифференцируемая в окрестности точки функция является аналитической в этой точке, т.е. сумма ряда Тейлора бесконечно дифференцируемой в окрестности точки хе функции может не совпадать с ней ни в какой окрестности точки хе. Это иллюстрирует следующий пример. Пример 2.27 (пример Коши). Рассмотрим функцию е ~~* х Ф 0; О, х = О. К"(х) = — — е ~* + — е х4 хб Применяя метод математической индукции, нетрудно показать, что производная функции К(х) произвольного порядка и имеет вид К!"!(х) = Р„( — )е х Эта функция бесконечно дифференцируема в любой точке х р~ О. Докажем, что эта функция бесконечно дифференцируема и в точке хе = О.
При х ~ 0 производные функции К(х) вычисляются по формулам К (х) зе 180 2. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ где Р„(1/х) — некоторый многочлен относительно 1/х, т.е. КОО(х) представляет собой линейную комбинацию слагаемых вида 1 ! х — е ~х 0<т<т„, х~х где хп„— степень многочлена Р„(1/х). Делая замену $ = 1/х~, убеждаемся в том, что 1 ы х 11ш~ — е ~ = 11ш — =О. -1/х~ ~ х-+О х'" 1 с-++со е~ Следовательно, для всех и = О, 1, 2, 1ппКОО(х) = 11шР„~-)е ~~* =О. (2.21) х-+О х->О Х Используя (2.21), с помощью метода математической индукции докажем, что функция К(х) в точке хе = 0 бесконечно дифференцируема и что для всех и = О, 1, 2, ...
КОО(0) = О. (2.22) Действительно, при п = 0 зто равенсто верно, поскольку по условию К(0) = О. Верно зто равенство и при и = 1, так как К'(0) = 11ш = 1пп — = 1пп = О. К(х) — К(0) . К(х) . е 1~х -+О Х вЂ” 0 х+О Х х+О Х Предположим, что равенство (2.22) имеет место для всех натуральных и < й, й Е М. Докажем, что равенство (2.22) имеет место и для и = й + 1: ' -!'.О х — 0 х-+О Х х-+О х *-+О ~х/ 181 2.б. Рлд Тейлора где Я(1/х) — многочлен от 1/х степени, на единицу большей степени многочлена Рь(1/х). При этом последний предел равен нулю, поскольку (2.21) верно не только для многочленов Р (1/х), но и вообще для всех многочленов Я(1/х) от 1/х. Следовательно, функция К(х) имеет в точке хо = 0 все производные, и для всех и = О, 1, 2, ...
выполняется равенство (2.22). Покажем, что функция К(х) не является аналитической в точке хо = О, т.е. ни в какой окрестности точки хо = 0 она не является суммой своего ряда Тейлора (см. теорему 2.20). Действительно, в силу (2.22) все члены ряда Тейлора функции К(х) в любой окрестности точки хо = 0 тождественно равны нулю. Следовательно, сумма ряда Тейлора в этой окрестности также равна нулю и, значит, не совпадает с функцией К(х). Таким образом, рассматриваемая функция К(х) бесконечно дифференцируема на множестве И, но не является аналитической в точке хо = О.
ф Этот пример показывает также, что различные бесконечно дифференцируемые функции могут иметь один и тот же ряд Тейлора. Действительно, функция К(х) из примера Коши и не совпадающая с ней ни в одной точке, кроме хо = О, нулевая функция д(х) ив в 0 имеют один и тот же ряд Тейлора в точке хо = О, у которого все коэффициенты нулевые: 2 0 х".
Ота=о метим, что этот ряд сходится на всей числовой прямой 2, т.е. его радиус сходимости бесконечен. Кроме того, существуют бесконечно дифференцируемые в любой точке х Е К функции, ряды Тейлора которых имеют нулевой радиус сходимости (см. задачу 2.17). Найдем условия, при которых бесконечно дифференцируемую функцию можно представить своим рядом Тейлора. Из курса математического анализа известно, что если функция /(х) бесконечно дифференцируема в окрестности (хо — г, хо+ г) точки х = хо, то для нее в этой окрестности справедлива фор- 182 2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
