IX Власова Е.А. Ряды (1081388), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Если функция Р(х,у, у') из правой части (2.28) в некоторой окрестности точки Р(хд, уо, у1 ) Е ж~ удовлетворяет определенным условиям гладкости' по совокупности независимых переменных х, у и у', то можно показать, что существует решение (общее или частное) уравнения (2.28), и это решение является 210 2. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ действительной аналитической фуикииеб в некоторой окрест- ности точки хе, т.е.
его можно представить в этой окрестности в виде степенного ряда у(х) = ~ а„(х — хе)". (2.30) Для этого необходимо, по крайней мере, существование в некоторой окрестности точки Р(хе, уе, у1) всех частных производных функции Г(х,у,у') любого порядка по всем переменным. Если точка Р(хд, уе, у1) является неособой для уравнения (2.29), т.е.
р(хе) ф О, то при тех же ограничениях на функцию Р1(х,у,у'), и при условии аналитичности функции р(х) в некоторой окрестности точки хе, существует решение у = у(х) (общее или частное) уравнения (2.29), и это решение является в этой окрестности действительной аналитической функцией, т.е. его можно представить рядом (2.30). Если же р(хс) = О, то в указанных условиях в окрестности точки Р(хд, уе, у1) может существовать решение в виде обобифеииоео сгпепеииоео ряда у(х) = Я а„(х — хе)~+" = (х — хе)т ~ а„(х — хе)", (2 31) ь=е Метод последовательных дифференцирований.
Этот метод проиллюстрируем на задаче Коши у" = Г(х,у,у'), у(хз) = уе у (хо) =у1, (2.32) где у — некоторое (не обязательно целое и положительное) действительное число. (Таких решений может быть, вообще говоря, несколько.) Ниже описаны два конкретных метода нахождения решений уравнений (2.28) и (2.29) в виде степенного ряда и в виде обобщенного степенного ряда. 9.9. Иятегрвровавие дифференциальных уравнений 211 ;де функция Р(х,у,у') такова, что решение у = у(х) этой задачи в некоторой окрестности точки хс существует, единственно и является аналитической функцией (в частности, функция Р(х,у,у') в некоторой области Р С й~, содержащей точку Р(хе,ус,у1), имеет все частные производные любого порядка по всем переменным х, у и у').
Тогда решение у = у(х) можно представить в этой окрестности своим рядом Тейлора у = у(хо) + у (хо Кх — хо) + (х — хо) + " / у (хо) .. + (х - хс) + " (2 33) у("1(хо) и! Чтобы явно найти это решение, достаточно вычислить значения всех производных у~")(хе) функции у(х) в точке хе. В соответствии с начальными условиями имеем У(хо) =Ус У(хо) =Ум а используя дифференциальное уравнение у" = Р(х, у, у'), находим у (хо) =Р(хе,у(хе),у(хо)) =Р(хе,уо,у1) Далее, продифференцировав уравнение у" = Р(х,у,у') по переменному х, получим у»' = Р.'(х,у,у')+ Р„'(х у,у') у'+ Р9 (х у У') У" откуда при х = хс У (хо) = Р*(хо Уо У1) + + Р9(хе,уо,у,) у'(хе) + Рв~(хо,уо,у1) УЯ(хо), где у'(хс) = уы а у" (хе) — вычисленное выше значение.
Продолжая процесс дифференцирования уравнения у" = Р(х,у,у'), 212 2. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ последовательно находим все производные функции у(х), выраженные через частные производные функции г'(х,у,у') и производные функции у(х) меньших порядков. Подставляя в ряд Тейлора (2.33) значения полученных производных в точке хо, получаем полностью определенный степенной ряд Тейлора функции у = у(х). Наконец, остается найти иншереал (хо — В, хо + В) сходимости полученного ряда и выяснить, при каких значениях х из этого интервала сумма полученного ряда (2.33) является решением задачи (2.32). Полученное решение задачи Коши, разумеется, существенно зависит от начальных условий, т.е.
у(х) = у(х,уо, у~). Если числа уо и у1 в задаче Коши (2.32) рассматривать как произвольные постоянные С1 и Сз, то полученная описанным вьппе способом функция у = у(х уо,у1) =у(х,СОСз) будет общим решением дифференциального уравнения (2.28). Этот способ можно применять и для решения дифференциального уравнения любого порядка, разрешенного относительно старшей производной: у~"~ = г'(х,у,у',...,у~" ~). Не следует, однако, переоценивать возможности данного метода интегрирования дифференциальных уравнений.
Теоретически здесь никаких проблем не возникает, однако на практике они могут появиться. Дело в том, что для нахождения всех производных необходимо получить функциональную или рекуррентную зависимость производной у~")(хо) от своего порядка п. Однако реально выявить такую зависимость удается не всегда. В этом случае нельзя определить весь ряд, задающий решение дифференциального уравнения. Будет известна только часть степенного ряда, которая определяет не точное решение задачи, а приближенное. Однако в инженерных задачах, когда вполне достаточно найти приближенное значение, 2.9. Интегрнронанне лнфференннап них уравнений 213 этот метод является эффективным способом решения задачи Коши. Пример 2.37.
Найдем пять членов разложения в рлд Маклорена решения задачи Коши н ю у =хуу, у(О) =1, у'(О) = 1. Решение у(х) данной задачи имеет разложение ун(0), УОО(О) „ у(х) =у(0)+у'(0)х+, х +...+ х" +.. Вычислим значения производных УОО(0), и = О, 1, 2, Используя начальные условия, получаем у(0) = 1, у'(О) = 1. Подставляя эти значения в уравнение ун = хуу', находим ун(0) =0 у(0) у'(0) =О. Дифференцируя уравнение уо = хуу' по х и учитывая при этом, что у и у' являются функциями от х, находим у =уу +х(у) +хуу, и, следовательно, уе~(0) = 1.
далее дифференцируем уравнение ун' = уу'+ х(у')з+ хуу": У = (у ) +уун+(у') +2ху'ун+уун+ху'ун+хуу"' = = 2(у') + 2уун + Зху'ун + хуун'. 214 г. функционлльнык ряды Подставляя сюда х = 0 и известные значения у(0) = 1, у'(0) = = 1, у«(0) = О, у"'(О) = 1, получаем У~4) (0) = 2. Затем находим у~~) = 4У'у«+ 2у'у«+ 2уу«'+ Зу'у«+ 3,( «)г+3 ~ и+ ю+ ~ «~+ (4) 9 1 «+3 а+3 ( «)2+3 ! а+ ~ ю+ (4) откуда у(о)(0) = 3. Таким образом, искомое разложение решения задачи Коши имеет вид хз 2х4 Зхо у(х) =1+х+ — + — + — +...
3! 4! 5) Метод неопределенных коэффициентов. Этод метод проиллюстрируем на примере нахождения частного решения уравнения (2.29), т.е. при решении следующей задачи Коши: р(х)у« = Р1(х,у,у'), У(хо) = Уо У (хо) = Ум (2.34) где функция г'1(х,у,у') удовлетворяет тем же условиям, что и функция Г(х,у,у') в задаче (2.32), а р(х) — действительная аналитическая функция в некоторой окрестности точки хо. Метод заключается в том, что решение задачи ищут в виде обычного степенного ряда (2.30) (или обобщенного степенного ряда (2.31), если хо является нулем функции р(х)) с неопределенными коэффициентиамв.
Чтобы найти неопределенные коэффициенты, нужно: 1) дважды продифференцировав ряд (2.30) или ряд (2.31) с неизвестными коэффициентами, найти разложения в степенной (или обобщенный степенной) ряд для производных у'(х) и у«(х), а.9. Ивтегрироаавие лифферевииальвых ураавевви 215 а также найти разложение в степенной ряд аналитической функции р(х); 2) подставить полученные для у(х), у'(х), ув(х) разложения с неопределенными коэффициентами и разложение р(х) в уравнение р(х) ув = г"1 (х, р, у'); 3) представить получившееся при этом выражение Р1(х, у, р') в виде степенного ряда (это возможно, если функция Г1 (х, у, у'), как функция от трех независимых переменных х, р и у', удовлетворяет определенным условиям гладкости, о которых говорилось выше); 4) иэ полученного равенства степенных рядов, приравнивая коэффициенты при равных степенях х — хо, получить рекуррентные уравнения; из этих уравнений найти коэффициенты а„; 5) если решение ищется в виде обобщенного степенного ряда (2.31), то сначала, приравнивая коэффициенты при наименьшей степени х — хе, найти значение (или несколько значений) неизвестного параметра у;после этого для каждого найденного значения у определить неизвестные коэффициенты а„, как описано выше; 6) полученные ряды необходимо исследовать на сходимость; в области своей сходомосгви ряды являются решениями задачи Коши (2.34).
Как правило, этот метод применяют при решении линейных дифференциальных уравнений рв(х) уе+ р1 (х) у +рэ(х) у = дх) (2.35) с аналитическими коэффициентами ра(х), р1(х), р2(х) и аналитической же правой частью 1(х). Приведем без доказательства две теоремы. Теорема 2.23. Пусть в уравнении (2.35) коэффициенты Рс(х), р1(х), рз(х) и правая часть Дх) являются действительными аналитическими функциями в окрестности точки хе, причем ро(хо) Ф О.
Тогда в некоторой окрестности точки хо решение задачи Коши ро(х) у" + рд (х) у' + рэ(х) у = 1 (х), у(хо) = уо, У (хо) = Уд существует, единственно и его можно представить в виде степенного ряда у(х) = ~ а„(х — хо) с некоторыми коэффициентами а„ Е К. ;К Отметим, что при выполнении условий теоремы 2.23 общее решение уравнения (2.35) также можно представить в виде степенного ряда и найти по правилам, изложенным выше, если положить у(хо) = Сд, у'(хо) = Сэ, где Сд, Сэ — произвольные постоянные.
Прежде чем сформулировать вторую теорему, напомним, что точка хо является кулем ирапдхоспди э Е 1Ч аналитической в окрестности точки хо функции р(х), если в этой окрестности функцию р(х) можно представить в виде р(х) = (х — хо)'д(х), где д(х) — также аналитическая функция в окрестности точки хо и Ч(хо) Ф О Теорема 2.24. Пусть функции ро(х), рд(х) и рз(х) являются действительными аналитическими функциями в окрестности точки хо и точка хо является нулем кратности о функции ро(х). Пусть, кроме того, точка хо является нулем кратности не менее о — 1 функции рд(х) (при о > 1) и нулем кратности не менее о — 2 функции рэ(х) (при л > 2). Тогда существует по крайней мере одно нетривиальное решение уравнения ро(х) у д+ рд(х) уд+рэ(х)у = О, (2.36) 2.9.
Иитегрировавие дифференлиальяых уравнений 217 которое можно представить в виде обобщенного степенного ряда у(х) = Яа„(х — хо)т+" = (х — хо)ч ~~~ а„(х — хо)", (2.37) о=о где ао ~ О, а у — некоторое действительное число, не обязательно целое или положительное. Руководствуясь теоремой 2.24, для линейного однородного дифференциального уравнения (2.36) всегда можно найти нетривиальное частное решение у1(х) вида (2.37), определенное в некоторой окрестности (возможно проколотой или односторонней) точки хо при р(хо) = О. Как известно (Ч???), общим решением уравнения (2.36) является совокупность всех линейных комбинаций двух линейно независимых частных решений. Второе решение уз(х), линейно независимое с у|(х), в некоторых случаях также можно представить в виде (2.37) или в виде произведения обобщенного степенного ряда и функции ?п(х — хо).
Отметим, что теорема 2.24 не гарантирует существования какого-либо нетривиального решения всякой задачи Коши ро(х) уа + р1 (х) у'+ рз(х) у = О, у(хо) — уо У (хо) = У| в виде обобщенного степенного ряда, поскольку, например, может не существовать ни одного решения вида (2.37) уравнения (2.36), определенного в точке хо (например, в случае, когда 7(0). Пример 2.38. Найдем решение задачи Коши у" +ху = О, у(0) = О, у'(0) =1 218 2. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ у(х) = ~~й а„х (2.38) я=о Из начальных условий следует, что а1 = у (0) =1. ао =у(0) =О, Учитывая (2.38), представляем функции ху(х) и у"(х) в виде степенных рядов: ху(х) =х~аййх = ~~ а„х"+ = =у ал (х~, ~й= в+ 1 ( йй=о ((=о й=( 00 й(! 00 00 у"(х) = ~Я а„х") = ~ (а„х") = ,''й п(п — 1)а„х" ~ = =о (й=о я=в = [„ ~ = 1,(й й 2((й й й( й Й=о = 2аг+ ~,(л+ 2)(к+ 1)аь+гх" Подставляя эти разложения в уравнение у" + ху = О, получаем равенство 2аз+~~> ((1+2)((й+1)аь+з+аь 1)х" =О, Iй=1 в виде суммы ряда и определим область сходимости полученного решения.
Поскольку коэффициенты ро(х) = 1, р1(х) н 0 и рз(х) = х уравнения у" + ху = 0 являются аналитическими функциями и значение функции ро(х) в точке хо = 0 отлично от нуля, то на основании теоремы 2.23 решение этой задачи можно представить в виде обычного степенного ряда с центром в нуле: г.я. Интегрнрование днфференцнааъных урввненнй 219 выполняющееся в некоторой окрестности точки хо = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
