IX Власова Е.А. Ряды (1081388), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Это равенство верно только в случае, когда аг и все коэффициенты пря членах х равны нулю: в аг = 0; ()4+2)(а+1)ае+г+аь 4 =О, Й ЕМ. Осуществляя замену п = Й вЂ” 1, а также учитывая полученные ранее значения для ао и а4, получаем систему ао=О, аг=О, а4 =1, (2.39) а„ (и+ 3)(п+ 2) ' Отсюда следует, что ао = О, аг = О, ао = 0 и т.д., т.е. агв = О, а =0,1,2, ..., а также аг =О, ао =О, ао = 0 ит.д., те. аг„+г= О, п = О, 1, 2,... Подсчитаем, используя рекуррентную формулу (2.39), первые несколько коэффициентов аг„» 4 с номерами 1, 4, 7, а4 — — 1; а| 1 а4 = 43 34' а4 1 7.6 (3 4) (6 7) ' аг 1 10 9 (3 4)(6 7)(9 10)' Эти вычисления позволяют сделать предположение, что для любого натурального п верна формула (-1)" (3 ° 4) (6 ° 7) (Зп(Зп+ 1)) Докажем истинность этой формулы методом математической индукции.
При п = 1, 2 и 3 формула верна. Предположим, 220 3. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ что она имеет место и для и = т, и покажем, что тогда она справедлива и для и = т+ 1. Используя рекуррентную формулу (2.39), имеем ОЗт+1 3(та+1)+1 = 3 '+4 (Зт+ 4)(Зт+ 3) ( 1)ть (3 4)(6 7) (Зт(Зт+1)) (Зт+З)(Зп1+4) ( 1)ы+1 (3 4) (6 7) (Зт(Зп1+ 1)) (3(та+1) (З(т+1) + 1)) ' что и требовалось доказать. Следовательно, формула (2.40) верна при всех и Е М. Итак, решением задачи Коши является (в области своей сходимости) ряд ( цп .За+1 х-,"3 4 6 7.... Зп (Зп+1) Найдем область сходимости полученного ряда, пользуясь предельным признаком Даламбера и формулой (2.39).
Для всех х Е ( — со, +со) О Х31н+1)+1 3 = 11ш = 0 < 1. и-+ос~ азне1хЗ"+1 ~ н-+ьь (Зп+4)(Зп+3) ~ Таким образом, ряд сходится (и является решением задачи Коши) на всей числовой прямой. Пример 2.39. Решим задачу Коши С (х — 1) у" — 2ху'+ 2у = 2 1п(1+ х) +— 1+х у(О) = О, у'(О) =1. Коэффициенты ра(х) = х — 1, р1(х) = -2х, рз(х) = 2 и правая часть 7" (х) = 21п(1+х)+ (1 — Зх)/(1+х) дифференциального 2вв Ивгегрировавие двфферевциааъвых ураввеввй 221 уравнения этой задачи являются аналитическими функциями в окрестности точки хО = О, причем значение функции ре(х) в точке хе = 0 отлично от нуля (ре(0) = — 1 Ф 0).
Поэтому на основании теоремы 2.23 решение этой задачи можно представить в виде степенного ряда с центром в нуле: у(х) = 2,' с„х". =О Согласно теореме 2.19, в области сходимости этого ряда у~(Х) = ~ С ПХп 1 И рв(Х) = ~~1 С П(п — 1)Х ' п=1 Функция 1п(1+ х) имеет следующий ряд Маклорена: 1п(1+х) = ~~> (-1)п 1 —, х Е (-1, 1). п п=1 Разложим в ряд Маклорена функцию (1 — Зх)/(1+ х): 1 — Зх 4 — 3(1+ х) 4 = -3+ — = 1+х 1+х 1+х = -3+4~( — 1)пхп =1+ у ( — 1)п4х", х Е (-1, 1).
(2.41) п=О п=1 Подставив полученные разложения в дифференциальное урав- нение задачи Коши, получим равенство (х2 — 1)~~» с п(п — 1)хп 2 — 2х~) с пхп 1+2~~ с х п=О п=1 п=2 00 =2~~~ ( — 1)п 1 — +1+ ~ ( — 1)п4х", и п=1 верное в некоторой окрестности точки хе = О. 222 2. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ Умножим ряды в левой части равенства на соответствую. щие козффициенты, а ряды в правой части сложим: ( ц и ~1~ ~( ц и-2 Ч~ ~2 и+ п=1 п=2 2 + ~~1 2спхп = 1+ ~ (4 — — ) ( — 1)" х". п=о п=1 Сделаем во втором ряде левой части равенства замену перемен- ного к = п — 2, чтобы его общий член содержал степень х": 1 спп(п — 1)хп ="> сь12(й+2)(й+1)х" = п=2 я=о = ,'1 оп+2(П+ 2)(П+ 1)Хп Теперь, возвращаясь к исходному равенству, получаем ~СпП(П вЂ” 1)ХΠ— 2 Оп+2(П+2)(П+1)хп— п=2 п=о и и — ~~> 2сппхп+~> 2спхп= 1+~~> (4 — — )( — 1)пхп п=1 п=о п=1 Наконец, в рядах равенства выделим члены с номерами и = 0 и и = 1, а преобразованные таким образом ряды сложим: 2(со — с2) — без х+ + ~~1 (спп(п — 1) — с„е2(п+ 2)(п+ 1) — 2спп+ 2сп)хп = 1 2х, ~Ч,--(4 )( 1)п,п п=2 2.9.
Иитегрироааяие диффереяциааьиых урааиеиий 223 Поскольку последнее равенство верно в некоторой окрестности точки хе = О, то остается приравнять коэффициенты при одинаковых степенях в левой и правой частях: 2~ х": с (и — 2)(и — 1) — с +2(и+2)(и+1) = ( — 1) (4 — — /, и ) 2.
Используя начальные условия для функции у = у(х) = 2 с х", я=О находим се = у(0) = О, с1 = у'(0) = 1. Из равенств, полученных выше, имеем сз = — 1/2 и сз = 1/3, а при и ) 2 (и — 1)(и — 2)с„— (4 — — ) (-1)" (и+1)(и+ 2) Иэ полученной рекуррентной формулы найдем несколько первых коэффициентов помимо уже известных: С4 = — 1/4, се = = 1/5, Итак, се =О, с1 = 1, Судя по вычисленным значениям, можно предположить, что Общая формула для определения коэффициентов с имеет вид (2.42) Докажем методом математической индукции, что данная формула действительно верна.
Для номеров и = 1, 2, 3, 4 и 5 формула (2.42) справедлива. Пусть она верна при некотором хе: 2(се — сз) = 1; -бсз = -2; (и — 1) (и — 2) (4и — 2) ( — 1) "+1 (и+1)(и+2) и(и+1)(и+2) 1 1 С2= — — ) Сз= —, 2' 3' 224 г. ФункциОнАльные Ряды и = т. Докажем ее истинность для номера и = т+ 2. Дла этого в рекуррентную формулу для с +г подставим значение ( цш+1 1 (т — Ц(т — 2) ( — Ц™+1 (4т — 2)( — Ц"+' (т+ Ц(т+ 2) т тп(т+ Ц(т+ 2) ( — Ц'"+1((т — Ц(т — 2) + 4т — 2) т(т+ Ц(т+ 2) Ц~а+1(тг+т) ( Ц +1 ( Цп+З т(т+ Ц(т+ 2) т+ 2 т+ 2 Значит, формула (2.42) справедлива и для и = т+ 2. Так как формула (2.42) верна для и = 1, она истинна для всех нечетных и Е И.
А поскольку формула (2.42) верна также и для и = 2, то из доказанного следует, что она истинна для всех четных и Е 1ч. Таким образом, формула (2.42) справедлива для всех натуральных и. Итак, решение поставленной задачи Коши можно представить в окрестности нуля следующим степенным рядом: ~( — ц"+' „ и а=1 Заметим, что этот ряд представляет собой ряд Маклорена функции 1п(1+ х) (см. 2.7), причем областью сходимости этого ряда является полуинтервал (-1, 1]. Подставляя в исходное дифференциальное уравнение функцию у = 1п(1+ х), окончательно убеждаемся, что она действительно является решением данной задачи Коши, причем на всем интервале х Е (-1, +ос).
Замечание 2.6. Пример 2.39 показывает, что решение дифференциального уравнения, найденное с помощью рядов, является, вообще говоря, решением этого уравнения только о.9. Интегрирование Лифферннниаввных уравнений 225 в некотоРой окРестности точки хО, но не ЯвлЯетсЯ Решением этого уравнения в максимально возможной области изменения переменого х. Пример 2.40.
Найдем решение дифференциального уравнения хун — — у +ху = 0 2 (2.43) в промежутке (О, +со) с начальными условиями у(0) = 0 и у'(0) = 0 в виде обобщенного степенного ряда. Коэффициенты РО(х) = х, р1(х) = — 3/2 и рз(х) = х уравнения (2.43) являются аналитическими функциями на множестве К, а точка хО = 0 является нулем функции рО(х) порядка н = 1. Значит, уравнение (2.43) в окрестности точки хО = 0 удовлетворяет условиям теоремы 2.24 и имеет по крайней мере одно нетривиальное решение уравнения (2.43), которое можно представить в виде обобщенного степенного ряда У(х) = ~авх~+" =х'"~~ анхо, аО ~0> УЕВ.
н=О Заметим, что, поскольку в данной задаче требуется найти решение, проходящее через точку х = О, необходимо, чтобы 'у > О. При этом, если у — целое или рациональное число с нечетным знаменателем, то фУнкциЯ Р(х) = хУ 2 анх" опРеде- н= лена во всей области сходимости степенного РЯда ~',анхо, в О=О противном случае — только в неотрицательных точках этой области (х > 0). Поскольку степенной ряд ~', анхо можно почлеано диффе- н=О Ренциронать в интервале сходимости, то, применяя правило дифференцирования произведения, во всей области определения решения у(х), за исключением точки х = 0 при 7 < 1 и, 226 2. ФУНКЦИОНАПЬНЫЕ РЯДЫ возможно, граничных точек, имеем 00 СЮ 00 У'= (Х~2 аиХ") = УХ" ~~> аиХи+Х2Д аиХ") = и=с и=О и=О ='уаОХ" 1+~ уаиХ"+2 ~+Х~ЯаиПХ" 1 = и=! = уаОХ2 + ~~1 (у+ П)аиХ"+7 = ~~1 ( у+ П)аиХО+Ч и=О Отметим, что если РЯД У(х) = ,'1 аихи+т пРоДиффеРенЦиРо- и=О вать почленно, то получится ряд, который был найден выше для у'(х).
Поэтому обобщенные степенные ряды, как и обычные степенные ряды, в области сходимости (за исключением, возможно, точки х = О и граничных точек) можно почленно дифференцировать. Таким образом, почленно дифференцируя обобщенный степенной ряд для функции у'(х), во всей области определения решения у(х), за исключением точки х = О при у ( 2 и, возможно, граничных точек, имеем и ~~ ~( + )(,+ Ц и+1 2 и=с Подставив полученные ряды для у(х), у'(х) и уи(х) в дифференциальное уравнение (2.43), получим равенство, которое выполняется в некоторой окрестности нуля (возможно, проколотой окрестности или правой полуокрестности): ~( + )( + ц и+1-1 и=О 3 СЮ вЂ” -(у+п)аих"+2 1+ ~аих"+2+ = О. (2.44) 2 и=О и=с 2.9.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
