IX Власова Е.А. Ряды (1081388), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Коэффициенты этого ряда в комплексной форме записи (3.23) можно вычислить непосредственно, минуя нахождение аь и бь по формулам (3.15). Используя соотношения 256 3. РЯДЫ ФУРЬЕ (3.20) и (3.15), для любого натурального й находим 1 . 1 Г сь = -(аз -йь) = — ~ Г(х)(совйх — 1зшйх)дх = 2 2./ -л = — ( Г(х)(соз( — йх)+1яп( — йх))дх= — ~ Г(х)е ' *дх; 1 Г 2и( 2к/ 1, 1 Г с ь = -(аз+ йь) = — ( Г(х)(совйх+1зшйх)дх = 2 2х( = — / Г(х)е'~' дх = — / Г(х)е '( "*)Нх.
2я! 2т / Кроме того, се = аз/2 = (1/(2к)) ) Г(х) Нх. Следовательно, для любого целого числа й справедлива формула 1 Г сь = — / Г(х) е ' *Их, й Е Ж. 2к / (3.24) Ряд (3.23) с коэффициентами (3.24) называют рядом Фурье в комплексной фор.ме функции Г(х) и используют запись Г(х) ~~ сье' * з=-со 3.3. Ряды <3эурье по тригонометрической системе Пусть Г(х) — произвольная действительная функция, интегрируемая на отрезке [ — х,к]. Рлд Фурье (3.14) функции Г(х) по триеонометрическоб системе (3.5) с коэффициентами, вычисляемыми по формулам (3.15), можно рассматривать 3.3.
Ряды Фурье по тригонометрической системе 257 Теорема 3.8. Пусть тригонометрический ряд ао — + ~(а„соз их + 6„зги их) о=1 (3.25) сходится равномерно на отрезке [ — гг, 1г] к некоторой функции ~(х). Тогда этот ряд является рядом Фурье функции г" (х) по тригонометрической системе (3.5). ~ Из теоремы о непрерывности суммы равномерно сходящегося функционального ряда с непрерывными слагаемыми (см. теорему 2.10) следует, что функция Дх) непрерывна на [ — х, я], как функиионаяьньгг1 ряд, заданный на отрезке [ — гг, х]. Изучим ряды Фурье с точки зрения их погпочечной сходимосгпи. Несмотря на то что ряд Фурье и строится по функции г (х), но априори нет оснований считать, что этот функциональный ряд в какой-то точке х Е [ — 1г, гг] будет сходипгься, и тем более, что он будет сходиться к значению Дх). Однако в математической физике и ряде других разделов математики важную роль играет вопрос об условиях, при выполнении которых тригонометрический ряд Фурье функции Дх) сходится в точке х отрезка [ — гг, 1г] именно к значению Дх).
еще в конце прошлого века было известно, что существуют непрерывные на отрезке [ — гг, гг] функции, удовлетворяющие условию у (-гг) = Дгг), шригономегпричесние ряды Фурье которых расходягпся в наперед заданной точке отрезка [ — гг, з ] (или даже расходятся на бесконечном множестве точек отрезка [ — гг, гг]). Таким образом, даже непрерывность функции Дх) на отрезке [ — х, гг] без дополнительных условий не обеспечивает равномерную сходимосгпь (часто используемое свойство функциональных рядов) тригонометрического ряда Фурье этой функции на указанном отрезке, более того, сходимость этого ряда в наперед заданной точке данного отрезка.
Анализ поточечной сходимости рядов Фурье по тригонометрической системе начнем со следующей теоремы. 258 3. РЯДЫ ФУРЬЕ кроме того, Г (-я) = г (я). Значит, она принадлежит евклидову пространству Ео[-я,я] и может быть разложена в ряд Фурье по тригонометрической системе (3.5). Найдем ноэ44ициенты Фурье этого разложения. Поскольку, согласно условию теоремы, ,г" (х) = — + ~~ (апсовпх+ б„вшпх), х Е [ — сг, х], ао п=1 то для всех Й Е М имеем равенства Г(х)совlсх = — совгсх+ ао 2 + р (апсовпхсовгсх+бпвшпхсовйх), (3.26) п=1 ао . г'(х) вшгсх = — вгпйх+ 2 + ~ (опсовпхвгпйх+ бп вшпхвшнх).
(3.27) п=1 Докажем, что ряды справа сходятся равномерно на отрезке [ — х, я]. Так как ряд (3.25) сходится на [ — я, сг] равномерно, то, согласно нригперию Коши равномерной сходимости функционального ряда (см. теорему 2.7), для любого е > 0 найдется такое гг"(е) 6 11, что для любых т > йГ(е), р Е М и х Е [ — я, гг] выполняется неравенство где Я + (х) и о,п(х) — частичные суммы ряда (3.25). Обозначим У (х) и огп+р(х) частичные суммы с номерами т и т+р ряда (3.26), а У (х) и Уп+р(х) — соответствующие частичные 3.3. Ряды Фурье по тригонометрической системе 259 суммы ряда (3.27). Поскольку для любых и Е г1 и х Е [ — я, я] верны оценки ] сов йх] < 1 и ]вгпях] < 1, для всех х Е [ — я, я] имеем ~Бт+Р(Х)»т(Х)] = 1 (ааСОВПХСОВГСХ+6азгПНХСОВГСХ) = а=т+1 аг+р й, 1 ~» *+»а а=т+1 ]совйх] ф +р(х) Я (х)] < ]Я +р(х) Я (х)] и аннлогично ~$т+р(х) — Ят(х) [ < в, х Е [ — я, я].
Отсюда, согласно критерию Коши равномерной сходимости функционального ряда, ряды, стоящие в правых частях равенств (3.26) и (3.27), сходятся равномерно на отрезке [ — к, я]. Следовательно, на отрезке [ — т, я] их можно почленно инпгегрнровагаь (см. теорему 2.12). Проинтегрируем обе части равенств (3.26) и (3.27) на отрезке [-я, я]: ~л ао Г Г(х) совяхдх = — / совкхг1х+ 2 ./ л л ~.1 (»| „.ма*~»/,ь„ма), а=1 -л л л | по Г. Г(х) в1п1схсЬ = — ~ вгпгсхг1х+ 2 / -л -л л л +1 ( „| ' мь*~»| ' *е мь*) а=1 — л 260 3. РЯДЫ ФУРЬЕ Учитывая, что тригонометрическая сисгпема является орто- нормированной, т.е. при всех Й, и Е 1%0 (О), Й Ф и, | сових сояйхах = О, -л | вгпнх соя ххах = О, -л ягппх яшяхдх = О, а при всех Й Е 1Ч л л я ~ ~ ~ я ~~ | сов'Мхах = вгп~ йхдх = я, приходим к формулам В следующей теореме приведены достаточные условия равномерной сходимости общих тригонометрических рядов.
Теорема 3.9 (гаеорема о равномерной сходимосгаи ттьригономегпринеского ряда). Если для последователь- Аналогично, проинтегрировав на отрезке [ — гг, гг] равномерно сходящийся ряд (3.25), получим | Дх) Нх = яае. Таким образом, все козффициенты аь и бь тригонометрического ряда (3.25) совпадают с соответствующими козффициентами Фурье разложения функции |(х) по тригонометрической системе (3.5) (см. формулы (3.15)). Следовательно, согласно теореме 3.5, ряд (3.25) является рядом Фурье функции |(х) по тригонометрической системе (3.5).
~ З.З. Ряды Фурье ио тригонометрической системе 261 настей козффициентов (а„)'~ е и (Ь„)'„ 1 ряд ~; ()а„~ + )Ь„!) о=1 сходится, то тригонометрический ряд ао — + у (а„сових+Ь„вшпх) и=\ сходитпся абсолютпно и равномерно на всей числовой прямой. м Для любого действительного х выполняется неравенство (а„сов пх+ Ь„в1ппх~ < ~а„~ ) сов пх) + )Ь„) ) вшпх! < )во~ + ~б„~. Следовательно, ряд (ао)/2+ ~', ()о„,)+ )Ь„)) является мажорно=1 руюи4им для рядов ае/2+ ~; (а„совпх+ Ь„вшпх) и ~ао)/2+ .=1 + 2 (~а„совпх~+)б„в1ппх)). Согласно признаку Вейерштрасса и=1 равномерной сходимости убункционаяьного ряда (см.
теорему 2.6), зти ряды сходятся абсолютно и равномерно на К. > Используя результаты теоремы 3.8, непосредственно получаем следствие теоремы 3.9. Следствие 3.3. Если для некоторых последовательностей КОЗффИЦИЕНтОВ (ао)'„~ О И (Ьо) о 1 РЯД 2 ((а„( + )Ь„)) СХОДИТ- о=1 ся, то тригонометрический ряд ае/2+ 2 (а„совпх+ б„вшпх) о=1 является рядом Фурье своей суммы на отрезке [ — я, к]. Замечание 3.2. Из условий теоремы 3.9 также следует, что ряд — + ЯЦаосовпх~+ ~б„вшпх~) )ао! 2 (3.28) и=1 сходится равномерно на всей числовой прямой. 262 3.
РЯДЫ ФУРЬЕ 1 Р„(х) = — +созх+ сов2х+... + сових. (3 29) 2 Для всех х ф 2ягп, т Е Ж, ядро Дирихле можно записать в виде зш(п+ -)х Р„(х) = 2яп*- г (3.30) так как х х с . х х 2зш — Щх) = яп — + ~ 2яш — созйх = в1п — + 2 " 2 2 2 + ~~> ( яш (й+ — ) х — яп (й — — ) х ) = яп (и+ — ) х. 2 2 у 2 Отметим, что — ( Р„(~) Н~ = 1. 1 Г (3.31) Это следует из равенства / соя(пх)Их=О, верного для всех и Е М, и определения (3.29) ядра Дирихле. Выясним условия, которым должна удовлетворять функция у (х), чтобы ее ряд Фурье по тригонометрической системе сходился к ней.
Ниже приведено несколько достаточных признаков сходимости тригонометрических рядов Фурье, содержащих такие условия. Прежде всего покажем, что любую частичную сумму ряда Фурье всякой кусочно непрерывной (на самом деле любой интегрируемой) на отрезке [ — я, я) фуюсвии можно представить в виде некоторого интегрального выражения. Для этого введем следующую функцию, которую будем называть ядром Дирнхле: 3.3. Ряды Фурье по трю овометритесяой свстеме 263 Лемма 3.1. Для любой 2ег-периодической и кусочно непрерывной на отрезке [-гг, гг) функции Г" (х) частичную сумму Я„(х) = — +~~ (аьсовйх+оьвшйх) (3.32) 2 Гг=1 ее тригонометрического ряда Фурье в форме ( . ) (3.14) можно представить следующим образом: я ( )= — ~(д '- )~-д*- ЯР,( )ь, *ее. (3.33) о ~ Подставляя в формулу (3.32) выражения для аь и Ь| из формул Фурье (3.15), находим „~4= — г Ф 1 Г 2гг,/ и + ~~ ~- ~,г(г) сов(йг) й сов йх+ (- /'У(г) вгп(йг) ж вгпйх / 1ГГ„~ в=1 -л — я = — /,г (ь) ~ — + ~ы(совйЬсовйх+вшйсвшйх) Ж = ,г' 1,2 1 Г У($) — + ~~» соей(Ф-х) ~ггг = — / Дг)Р„(г — х)пг = вш(п+ -) (с — х) 1 Г (,) 2 7Г 2вш -л 2 3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
