IX Власова Е.А. Ряды (1081388), страница 32
Текст из файла (страница 32)
РЯДЫ ФУРЬЕ 264 в у гг 1 вшпп+ -~п — у(и+х) „Ии = 2) 7г 2вш -я 2 г~ 1п(п+ ~)и вш(п+ -~и = — г' у(и+х), „да+ — / у(и+ ) „~ Ии= я/ 2вш 7г 2 в1п— о 2 -в 2 (сделаем замену переменных во втором интеграле п = -у, у = = — и, йю = — Ну, затем переобозначим переменное у вновь на и) в1п(п+ Чи .г (х+ а) + г (х и) я/ 2вш— о 2 Сформулируем еще одну вспомогательную теорему, доказательство которой приведено в Д.3.1. Теорема 3.10 (лемма Рилаана). Если функция Г'(х) кусочно непрерывна на отрезке [а, б), то Ь Ь 1пп г' у(х) сов(Сх) с~х = 1пп /,г'(х) в1п(4х) дх = О. ~ (3.34) г-+со,/ (-+00 „г О а Для формулировки основной теоремы введем следующие понятия. Обобщенной левой производной функции у(х) в точке хо называют значение предела у (хо-гг) — У(хо-О) А 1пп л-++о если такой существует, и обозначают его у"' (хо — О).
Аналогично обобщенной правой производной функции у(х) в точке (сделаем замену переменных: п = $ — х, 2 = х+ и, й = дп, преде- лы интегрирования можно не менять, так как подынтегрвльная функция периодическая, а замена линейная) 3.3. Ряды Фурье по тряговометрической системе 265 хо называют значение предела Дхо+гг) — у (хо+0) 1пп Ь-++О Ь если такой существует, и обозначают его ~+'(хо+0). Напомним, что г'(хо — 0) = 1пп г(хо — е) и г'(хо+0) = 1пп ~(хо+а). Если с-++О с-Ф+О функция г'(х) дифференцируема в точке хо, то обе обобщенные производные существуют и равны производной у'(хо), т.е.
1' (хо — 0) = ~+(хо+0) = г"(хо). Теорема 3.11. Пусть функция 1(х) удовлетворяет следующим условиям: 1) г" (х) определена при всея х Е К и имеет период 2к; 2) У(х) кусочно непрерывна на отрезке ( — я, я]; 3) в любой точке х Е К существуют конечные обобщенные правая и левая производные. Тогда тригонометрический ряд Фурье функции Дх) сходится в любой точке х е К и имеет в этой точке сумму, равную фх+О) + Дх — О)) /2. Составим для функции Дх), удовлетворяющей условиям теоремы 3.11, тригонометрический ряд Фурье в форме (3.14): 1(х) — +~~1 (алсооьх+бьогпьх), 2 я=1 где аь, Ь| — коэффициенты Фурье функции Дх). В силу леммы 3.1 частичную сумму Я„(х) (3.32) ряда Фурье функции г' (х) можно представить в виде (3.33). Иэ условия 2 теоремы 3.11 следует, что в любой точке х е К существуют односторонние пределы г(х+0) и г(х — 0) функции г(х).
Используя соотношение (3.31), запишем: т / Дх+0)+г(х — 0) — 1 1;г(х+0)+1(х — 0) ш~ 2/ 2 я,г 2 О1по 2 266 3. РЯДЫ ФУРЬЕ Введя обозначение В„(х) = о„(х) — Щх+ О) + Г(х — О))/2, из равенств (3.33) и (3.35) будем иметь 1 Г в.( ) = Дл.+.)+л — ~)- о 1 2 в1п(п+-)и -(,Г(х+О)+~(х-0))~ . „' Ыи= 2вш 1Дл ~ )-л.~о) ° ) . ( 1), о 2 я и/ 1, М о 2 = — / д1(и,х) вш(п+ — )иди+ — / д2(и,х) в1п(п+ — )идти. о о Согласно условию теоремы, функция Г(х) является кусочно непрерывной в любом конечном промежутке из И и в каждой точке х Е К существуют обобщенные левая и правая производные функции Г(х). Кроме того, 1пп," = 1. Следовательно, ' а-+О 2в!пи/2 обе введенные выше функции Г(х+и) — ~(х+О) и д1(и,х)— о 3 Ю 2вш 2 Г(х — и) — Г(х — О) и д2(и, х)— и ~ и 2вш 2 как функции переменного и при фиксированном переменном х, удовлетворяют условиям теоремы 3.10 (являются кусочно 3.3.
Ряды Фурье ио тригонометрической системе 267 непрерывными). Поэтому с учетом леммы Римана имеем [' /(х+ 0) + /(х — 0) '] о-гоо 1 2 / и — +оо 1 1~ = 1пп — 1 (дг(и,х)+дг(и,х) ) з1пгп+-)иди = О. о-+со я,Г 2г' о (Параметр ( здесь соответствует величине и+ 1/2, стремящей- ся к бесконечности при п — г со.) ~ Таким образом, если для функции /(х) выполняются условия теоремы 3.11, то в каждой точке, где она непрерывна, ее тригонометрический ряд Фурье сходится к значению самой функции в этой точке (поскольку в этих точках /(х) = = [/(х+0) + /(х-0)) /2), а в каждой ее точке разрыва тригонометрический ряд Фурье сходится к среднему арифметическому значений пределов этой функции в точке слева и справа.
Если функцию /(х) выбрать из евклидова пространства Яе[ — я, гг] (периодически продолжив с периодом 2я на всю числовую прямую), то при выполнении условий теоремы 3.11 тригонометрический ряд Фурье функции /(х) будет сходиться к этой функции в каждой точке х е К. Отметим два очевидных следствия теоремы 3.11.
Первое из них относится к кусочно дифференггпруемым на конечном отрезке [а, б] функциям, т.е. к таким функциям, для которых отрезок [а,б] можно разбить на конечное число частичных промежутков, внутри которых функция дифференцируема, на концах имеет предельные значения и обобщенные левую и правую производные соответственно. Следствие 3.4.
Если функция / определена на К, имеет период 2я, кусочно дифференцируема на отрезке [-я, гг], то ее ряд Фурье сходится в каждой точке х Е К и его сумма равна [У(х+0) + /(х — 0)) /2. 268 3. РЯДЫ ФУРЬЕ Следствие 3.5. Если 2я-периодическая функция всюду дифференцируема на Ж, то ее тригонометрический ряд Фурье всюду на К сходится к функции 1 (х). Замечание 3.3. Если функция у удовлетворяет условиям 1 и 2 теоремы 3.11 и в некоторой точке х Е [ — я, я[ существуют конечные обобщенные левая и правая производные (не обязательно в любой точке х Е К, как в условии 3), то тригонометрический ряд Фурье сходится в этой точке и имеет сумму фх+0) + ~(х-0))/2.
Это ясно из доказательства теоремы 3.11, в которой свойства функции 1(х), обозначенные в условии 3, использованы только применительно к конкретной точке х, в которой исследуется сходимость ряда Фурье. На самом деле имеет место так называемый принцип локализации Римана: сходимость или расходимость в точке х Е Ж тригонометрического ряда Фурье функции у(х) зависит только от поведения этой функции в любой малой окрестности этой точки х. Действительно, поскольку частичная сумма ряда Фурье функции 1 (х) имеет вид (3.33), то О1п(п+-) и о(х) 11П1 ~п(х) 11ш (1(х+и)+1(х н)1 ° и Й4= в-+ео а-+со я у 2ош о 2 о1п(о+ -)и = - -') (л.+ ) ~л -»)) о - - -')'(л ) -л*-.)) 2 = 11ш — / (1(х+и)+~(х-п)1 „Йю.
а-+соя / 2ош О 2 Здесь б — произвольное положительное число, а предел в предпоследней строке равен нулю на основании теоремы 3.10, так как подынтегральная функция кусочно непрерывна на отрезке [б, я] в силу кусочной непрерывности функции У(х). З.З. Ряды Фурье яо трягояометрячесясй сястеме 269 Кроме того, последний предел зависит только от значения функции 1(х) в д-окрестности точки х, а с произвольное положительное число. ф Сформулируем еще один достаточный признак сходимости тригонометрических рядов Фурье (подробнее см. Д.З.2). Функцию 1(х) называют кусочно моиоггьонкоб на отрезке [а, Ь], если существует конечное число точек а = хс < хг <... <х„=6, таких,чтовинтервалах(х г,х ), г =1,п,функция г'(х) монотонна (не убывает или не возрастает). Теорема 3.12 (гьризгсагс Днрпхле).
Пусть функция Г'(х), определенная на Й, удовлетворяет условиям: 1) имеет период 2я," 2) кусочно непрерывна на отрезке [ — я, х]; 3) кусочно монотонна на отрезке [ — я, гг]. Тогда тригонометрический ряд Фурье функции у(х) сходится в любой точке х Е К и имеет в этой точке сумму, равную (~(х+О) + Дх — О)) /2. ф Признак Дирихле называют также гтгеоремог1 Дгьрнхле. Условия 2 и 3 теоремы 3.12, накладываемые на функцию г'(х), часто называют рсловнлмгь Дприхле и говорят, что функция 1(х) удовлетворяет условиям Днрихле.
Условие 3 признака Дирихле иногда заменяют требованием конечности числа локальных экстремумов на отрезке [-гг, гг], что для кусочно непрерывной функции эквивалентно условию 3. Действительно, если функция Г(х) кусочно непрерывна на отрезке [ — я, гг] и имеет на этом отрезке конечное число точек локального экстремума, то на отрезке [ — гг, тг] можно указать конечное число точек — х= хе <хг « х„=я, таких, что в интервалах (хй г,ху), 3 = 1, п, функция г'(х) ограничена, непрерывна и монотонна, причем на отрезке [ — х, я] функция у (х) имеет разрывы только первого рода,что означает кусочную непрерывность и кусочную монотонность функции 1(х) на отрезке [ — я, гг]. С другой стороны, очевидно, что если функция кусочно монотонна на отрезке [-я, х], то она на этом отрезке имеет конечное число точек локального экстремума.
270 3. РЯДЫ ФУРЬЕ 3.4. О порядке малости коэффициентов Фурье Как показано в 3.1, для функций 7'(х) из евклидова пространства Ее[ — п,п] их ноэффиииенгиьг Фурье а„и Ь„(см. формулы (3.15)) по гаригономегпричесной системе (3.5) стремятся к нулю при н-+ос. Оказывается, что скорость сходимости козффициентов Фурье к нулю (т.е. порядок их малости) зависит от степени гладкости (дифференцируемости) разлагаемой в тпригономегпрический ряд Фурье функции. Говорят, что функция г" (х) имеет на отрезке [а, Ь] нусочно непрерывную производную', если существует конечное число точек а = хо < хг « х„= Ь, таких, что в интервалах (х г, х ), у = 1, н, существует и непрерывна производная у'(х), а в самих точках х существуют конечные односторонние пределы 1пп у'(х) и 1пп у'(х). Будем говорить, что функция *,+о л-+лу — О 1 (х) имеет на отрезке [а, Ь] кусочно непрерывную производную порядка и > 1, если функция г'г" ~1(х) (функция у (х) при н = 1) имеет на отрезке [а, Ь] кусочно непрерывную производную.
Теорема 3.13, Если функция у(х) непрерывна на отрезке [ — н, и], удовлетворяет условию Г ( —;г) = 7 (и) и имеет на [ — и, и] кусочно непрерывную производную, то тригонометрический рлд Фурье функции у(х) сходипгсл равномерно на отрезке [ — я, и] к самой функции у(х). Более того, ряд, составленный вз модулей членов тригонометрического ряда Фурье функции 7(х), также сходится равномерно на отрезке [ — я, гг].
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
