IX Власова Е.А. Ряды (1081388), страница 35
Текст из файла (страница 35)
1 Ь„=— гг Впрочем, иногда удобно, наоборот, определять коэффициенты тригонометрического ряда Фурье (2к)-периодической функции Г(х) с помощью ее значения на каком-либо отрезке [а, а+2я]: | Дх) сов йх г(х, а а+2л | Г(х) втйхах, а й = О, 1, 2,... (3.42) 1 Ьь =— гг й = 1, 2, ... Поскольку функции в(пнх и сових периодические с периодом Т = 2я, то в силу соотношения (3.41) рассматриваемая тригонометрическая система (3.5) будет ортонормированной в любом евклидовом пространстве Ее[а, Ь], Ь вЂ” а = 2гг, или, другими словами, будет ортонормированной системой функций на любом отрезке [а, а+ 2я], являющемся сдвигом отрезка [-к, я]. Если функция Дх) определена на всей числовой прямой К и является периодической с периодом 2я, то соотношение (3.41) позволяет вычислить коэффициенты Фурье ее ряда Фурье по нолног1 ортонормированной (тригонометрической) сисгаеме (3.5) на отрезке [а, а+ 2я] с помощью значений функции Г(х) на отрезке [-я, я]: 288 Э.
РЯДЫ ФУРЬЕ Пример 3.4. Найдем разложение в ряд Фурье на отрезке [ — гг, гг] функции, определенной следующим образом: 1х+2я, — гг<х<0; у(х) = х, 0<х<гг. гг 2гг э 2и — / г"(х)йх = — / хйх = — — = 2гг, ,/ 2 -гг О гг 2и 1 1 — /,Г'-(х) совпхйх = — ) хсовпхйх = — гг о 2в 1 г' гйппх 1 — х — — ( вшпхйх о о гг 2и 1 1 — / 1(х) в1ппх йх = — ~ х в1ппх йх = -л о 2и 1 г' совпх 1 Г + — ~ совпхйх о О ао = а„= Продолжим функцию у(х) на всю числовую прямую до периодической (с периодом 2гг) функции Г'(х).
Тогда разложения функций г (х) и г (х) в тригонометрический рлд Фурье на отрезке [-гг, т] будут совпадать. В интервале (О, 2гг] функция г'(х) совпадает с функцией х. Поскольку аналитическое выражение функции Г'(х) на отрезке [О, 2гг] более простое Щх) = х), чем выражение этой функции на отрезке [-гг, гг] (Г" (х) = Г" (х)), то для вычисления коэффициентов Фурье функции г" (х) (и, значит, функции г'(х)) удобнее испольэовать значения функции на отрезке [О, 2гг] и формулы (3.42). При этом значение функции г"(х) в единственной точке разрыва х = 0 на ее разложение в ряд Фурье никак не влияет.
В результате получаем: 289 3.7. Сдает отрезка раможекяа 1 1 ,г (х) Я(х) = я — 2~агах+ -згп2х+... + — згппх+...). 2 п Наконец, так как функция Дх) удовлетворяет условиям теоремы 3.15, то [,г(х), хб[ — я,я], хфО; зг, х=О, а вне отрезка [ — я, к] функция Я(х) продолжается периодически. Графики функций Дх), Дх) и Я(х) представлены на рис. 3.6 — 3.8 соответственно. Рис. 3.6 Рис. З.Т Рис. 3.3 Таким образом, функция у(х) на отрезке [ — к,тг] имеет следующий ряд Фурье: 290 3. РЯДЫ ФУРЬЕ 3.8. Разложение функций в тригонометрические ряды гРурье на отрезке [ — 1, 1] Теорию гпригономегпринеских рядов Фурье 2к-периодических функций и функций, определенных на отрезке [ — гг, я], с помощью линейного отображения (замены переменного) у(у) ° — + ~~> (а„сов пу ао 2 и=1 1 Г а„= — / у(у) сов пу Йу, 1 Ь„= — 1 гр(у) вшпуду, + Ь„вшпу); п=0,1,2, и =1,2, Выполняя обратную замену переменного у = ях/1 в тригонометрическом ряде Фурье и заменяя функцию ~р(л.х/1) функцией /(х), заключаем, что 21-периодической функции /(х) соответствует ряд Фурье вида /(х) — + ~ (а„сов — + Ь„вш — ) .
(3.43) можно перенести на случай произвольных 21-периодических функций и функций, определенных на произвольном отрезке [ — 1, 1]. Действительно, при замене переменного х = у1/зг функция /(х) становится функцией р(у) = /(у1/гг), т.е. 2я-периодической, если /(х) была 21-периодической, или определенной на отрезке [-я, гг], если /(х) была определена на отрезке [ — 1, 1]. Рассмотрим тригонометрический ряд Фурье функции ~р(у) = = /(юг) на отрезке [-я, я]: 3.8. Разложение функннй в ряды Фурье на отрезке [ — Г, Г] 291 В формулах для коэффициентов Фурье ан и Ьо также можно перейти от функции ~р(у) к функции у(х): ао = — / У~ — )созпуду= З 1 Г пях 1/ = — / Дх)сов — Их, (3.44) п=0,1,2, 5о = — ~ ~~ — ]зшпрду= -к 1 Г , пнх = — / у(х)вш — гЬ, п= 1,2, ...
(3.45) Этот же ряд можно получить иначе: рассмотреть евклидово пространство Ев[-1,1] и по.аную ортионормированную систему функций 1 1 ях 1 , нх — — сов —, — зш ~/21 Д 1 Д 1 пггх — соз —, Д 1 1 . пггх — зш Д (3.46) в нем (с помощью замены у = ггх/1 доказательство полноты и ортонормированности этой системы в Ев[ — 1,1] сводится к доказательству полноты и ортонормированности системы (3.5) в Ео[ гг,7г]) ° Поскольку между 2н-периодическими функциями (функциями, определенными на отрезке [-н, гг]) и 2г-периодическими функциями (функциями, определенными на отрезке [ — 1, 1]) существует взаимно однозначное соответствие, задаваемое строго монотонной, сколь угодно раз дифференцируемой линейной заменой переменных у = нх/1, то все изложенные вьппе факты теории тригонометрических рядов Фурье вида (3.14) можно 292 3.
РЯДЫ ФУРЬЕ 1 Г Йггх аь= — ~ /(х)соз — Их, 6=0,1,2,...; г 1 Г . Йях Ьь= — / /(х)згп — г(х, й=1,2,3,... -1( (3.47) перенести на тригонометрические ряды Фурье вида (3.43). В частности, для тригонометрических рядов Фурье вида (3.43) 21-периодических функций и функций, определенных на отрезке [-1, г], верны соответствующие аналоги всех теорем и утверждений из 3.3-3.7 относительно тригонометрических рядов Фурье вида (3.14) 2я-периодических функций и функций, определенных на отрезке [ — х, гг]. Эти аналоги теорем и утверждений получаются простой заменой условия 2х-периодичности условием 2г-периодичности, отрезка [ — гг, х] — отрезком [ — г, 1], условий функции в точках — х и я — условиями функции в точках — 1 и 1, и, наконец, заменой тригонометрического ряда Фурье (3.14) тригонометрическим рядом Фурье (3.43).
В частности, если таким образом изменить содержание 3.7, то получим теорию тригонометрических рядов Фурье на произвольном отрезке [а, 6]. В самом деле, произвольный отрезок [а, 6] можно рассматривать как сдвиг отрезка [ — 1, 1], где 1 = (Ь вЂ” а)/2. А поскольку функции ип(пях/1) и соз(пггх/1) являются 2г-периодическими, то в силу соотношения (3.41) тригонометрическая система (3.46) является ортонормированной системой не только на отрезке [ — 1, 1], но и на любом сдвинутом отрезке [а, а+ 21]. Следовательно, для функции /(х) можно построить тригонометрический ряд Фурье вида (3.43) на произвольном отрезке [а, 6] = [а, а+ 21], где 1 = (6 — а)/2. Кроме того, если функция /(х) определена на всей числовой прямой й и является 2г'-периодической, то в силу того же соотношения (3.41) ее коэффициенты Фурье по тригонометрической системе (3.46) на сдвинутом отрезке [а, а+ 21] можно определить с помощью значений функции /(х) на отрезке [ — 1, 1]: З.В.
Разложение фуккякй в ряды Фурье кв отрезке [ — 1, Ц 293 к=+со У(х) у сье' ! . вкт сь= — /(х)е ' ~ ах, ЙЕЖ. 21,/ -! Если функция /(х) определена только на отрезке [а, Ь] = = (а, а+ 21], 1 = (Ь вЂ” а)/2, то коэффициенты ее ряда Фурье (3.43) по тригонометрической системе (3.48) можно получить с помощью интегралов на этом отрезке, а также на отрезке [ — 1, 1], предварительно продолжив эту функцию периодически с периодом 21 на всю числовую прямую И.
Для такого продолжения требуется, чтобы выполнялось условие /(а) = /(Ь). Если функция /(х) не удовлетворяет этому усювию, то ее следует переопределить в точках а и Ь = а+ 21, положив /(а) = /(Ь) = С, где С вЂ” произвольная константа. Интегралы в (3.47) при таком переопределении не изменяются, значит, не изменяется и ряд Фурье (3.43) функции /(х). Итак, если 21-периодическвя функция /(х) удовлетворяет усювиям аналогов теорем 3.11 или 3.12, то ее тригонометрический ряд Фурье (3.43) будет сходиться в каждой точке х Е К к значению (/(х+О) + /(х-О))/2. Если же функция /(х) определена только на отрезке [а, Ь] = [а, а+ 21] и удовлетворяет на нем условиям аналогов теорем 3.17 или 3.18, то ее ряд Фурье (3.43) будет сходиться в каждой точке х Е [а, Ь], причем во всех внутренних точках этого отрезка — к значению (/(х+0) + /(х — 0))/2, а на его концах х = а и х = Ь вЂ” к значению (/( — а+О) + /(Ь вЂ” О))/2. Сумма Я(х) тригонометрического ряда Фурье (3.43) функции, определенной только на отрезке (а, Ь] = [а, а+ 21], так же как и сумма ряда Фурье 21-периодической функции, определенной на К, определена на всей числовой прямой Ж и является 21-периодической.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
