IX Власова Е.А. Ряды (1081388), страница 38
Текст из файла (страница 38)
3.21 представлены графики частичных сумм у = = Я„(х), х Е [-2,2], с номерами п = 1,3,5,10,20 и 100. Из рисунка ясно, что во всех точках отрезка [ — 2, 2], являющихся точками непрерывности функции 7'(х), последовательность 3.10. Разложение в рады Фурье по синусам и по косинусам 309 Рис. 3.21 1Я„(х)) сходится к функции Дх), а в точках разрыва (точках х = -1 и х = 1) такой сходимости нет. Итак, функция Дх) на отрезке [О, 2] в ряд по косинусам разложена. Разложим Дх) в ряд по синусам.
Функция (рис. 3.22) О, -2<х<-1; -1, -1<х<0; О, х=О; 1, 0<х<1; О, 1 <х< 2, Рис. 3.22 нечетная и определена так, что Дх) = Ях), х Е (О, 2]. Отметим, что кусочно посгпояннал на отрезке [ — 2, 2] фдикпил Ях) удовлетворяет аналогу теоремы 3.17 для отрезка 310 3. РЯДЫ ФУРЬЕ [ — 2, 2] (1 = 2).
Используя формулы (3.51) при 1 = 2, получаем птгх Г, птгх Ьп = У г(Х) 61П вЂ” Гтх = / ОШ вЂ” ГГХ = 2 г' 2 О О 2 птгх[ 2 г птгд =- — соя — ~ = — ~1-сов — ~, 2 ~ ~~~ 2)' Поскольку функция Д„(х) непрерывна во всех точках интервала (О, 2), кроме точки х = 1, то в силу аналога теоремы 3.17 для отрезка [ — 2, 2]) при всех х Е (О, 1) 1.1 (1, 2) получаем 2 г птг~ . птгх Г(х) = Ях) = Я(х) = ,'т — ~1 — сов — ) О1п —.
птг~ 2) 2 п=1 В точке разрыва х = 1 и на концах х = 0 и х = 2 отрезка [0,2]имеем ~„(1+ 0)+ У„(1- О) О+1 2 2 2' ~у(0+ О) + ~я(0 О) 1 1 2 ) ~м( — 2+0)+~в(2 — 0) 0+0 2 2 в то время как г" (1) = 1, г'(0) = 1, г" (2) = О. Следовательно, сумма полученного тригонометрического ряда Фурье совпадает со значением исходной функции у (х) в точке х = 2 и не совпадает вточкахх=Оих=1. График периодической с периодом Т = 4 функции о(х)— суммы тригонометрического ряда Фурье функции г"„(х)— изображен на рис.
3.23. Пример 3.9. Разложим функцию г" (х) = хз в ряды Фурье по косинусам и по синусам в интервале (1,2). Разложение построим так, чтобы сумма о(х) получившегося ряда Фурье имела наименьший период. 3.10. Реелохекие в рады Фурье ко свяусам к ко косккусаы 311 Рис. 3.23 Для того чтобы разложить функцию у(х) в ряды по синусам или косинусам, ее необходимо продолжить до нечетной нли четной на каком либо отрезке [ — 1, 1[. Это можно сделать многими способами, но сумма Я(х) У ряда Фурье будет иметь наименьший период, равный 2, только в том случае, если доопределить функцию 1(х) так, чтобы функция у(х+ 1) стала четной или нечетной на отрезке [-1, Ц.
Период функции Я(х) при этом будет равен 2. Сначала разложим функцию 1(х) по косинусам, доопределив ее в интервале (О, 1) до четной относитель- 0 1 г к но х = 1 (см. 3.9) функции Ях) (рнс. 3.24): Рис. 3.24 (х — 2)г, 0<х<1; Уч(х) = х, 1 < х < 2. Коэффициенты Фурье четной относительно х = 1 функции Ях) можно вычислить по формулам (3.52) при 1 = 1. Сперва находим коэффициент ао.
г хэ 18 1~ 14 ао = 2 / х Их = 2 — = 2 ~- — — ! = —. 3 , ~3 3! 3 ' 1 312 3. РЯДЫ ФУРЬЕ Остальные коэффициенты вычисляем двукратным интегрированием по частям: 2 2 Г 2 2х2. [ 4 Г а77=2/ х совп7гхг1х= — вшп7гх~ — — / хвшп7гхдх= П77 П7Г 1 1 2 4х 4 Г 4(2 — ( — 1)") = — сов п7гх — — / совпяхг1х = пай. пг,„2 1 пг„г / 7г2п2 1 Поскольку у(х) = Гч(х), х Е (1,2), и функция Г"„(х) удовлетворяет аналогу теоремы 3.18 для отрезка [О, 2) (является непрерывной и кусочно монотонной на этом отрезке), и, кроме того, Г„(0) = Я2) (значения на концах отрезка разложения совпадают), то функция Г(х) = х2 на всем отрезке [1, 2) может быть представлена своим тригонометрическим рядом Фурье, который имеет вид 7 4(2 — ( — 1)") х = Г (х) = о'(х) = — +~ совтигх, хЕ [1,2].
График суммы о'(х) этого ряда, определенной на всей числовой прямой Ж и периодической с периодом Т = 2, изображен на рис. 3.25. Рис. 3.26 3.10. Разложение а рады Фурье по синусам и по косинусам 313 РаЗЛОжИМ даННуЮ фуНКцИЮ Г(Х) = Хг на отрезке [1, 2] в ряд по синусам. Для этого доопределим ее в интервале [О, 1) до нечетной относительно точки х = 1 функции Г„(х) (рис.
3.26): -(х-2)2, О < х < 1; О, х=1; хг, 1 <х< 2. Уа(х)— Функция Гн(х) отличается от Г(х) в точке Рис. 3.26 х = 1, но это не влияет на разложение этих функций в ряд Фурье. Используя формулы (3.53) при 1 = 1, вычисляем коэффициенты Фурье функции Г,(х): 2 г 2хг ! 4 Г Ь„=2 1 х вшггихдх = — — совпих~ + — ~ хсовггихг1х = 2 ггя гг7Г 1 1 2 2(4 — ( — 1) ) 4 . 4 + хвшпих — ~ вшюгхдх = гиг гиг 112и2 / 1 1 2(4 — (-1)") 4 + сов гигх юг „3„3 1 (-1)"2 — 8 4(1 — (-1)") + пз„з ПосколькУ У(х) = Гн(х) пРи х Е (1, 2), а Ге(х) — кУсочно монотонная и кусочно непрерывная на отрезке [0,2] функция (т е.
удовлетворяет аналогу теоремы 3.18 на отрезке [О, 2]), причем непрерывная в интервале (1, 2), то тригонометрический ряд Фурье функции Г(х) = хг в каждой точке интервала (1, 2) сходится к ней самой. Таким образом, разложение функции ,г'(х) = хг в тригонометрический ряд Фурье в интервале (1, 2) 314 3. РЯДЫ ФУРЬЕ имеет вид Г ( — 1)" 2-8 4(1-(-1)") 1 = о(х) = ~~> ~ + ) з1птигх, х Е (1, 2). пя „з„з ) п=1 В точках х = 1 и х = 2, согласно аналогу теоремы 3.18 для отрезка [О, 2], имеем У„(1 — 0) + У„(1+ 0) -1+ 1 2 2 ЯО+ 0) + Я2 — 0) — 4+ 4 2 2 в то время как у (1) = 1 и у (2) = = 4. Поэтому сумма полученного тригонометрического ряда Фурье в точках х = 1 и х = = 2 не совпадает со значением исходной функции Дх) = хз в этих точках. График суммы о(х) этого ряда, определенной на всей числовой прямой Й и периодической с периодом Т = 2, изображен на рис.
3.27. Рис. 3.27 3.11. Вычисление сумм числовых рядов с помощью рядов <Фурье В этом параграфе рассмотрено несколько примеров, в которых показано, как можно испольэовать разложение функций в тригонометрические ряды Фурье для вычисления сумм некоторых числовых рядов. Если выше (см. 1) мы в основном касались вопросов сходимости числовых рядов, то теперь можем найти и суммы некоторых из них.
3.11. Суммироваиие чисеоемх рядов с помоигью рядов Фурье 315 Пример 3.10. Вычислим суммы следующих числовых рядов: В примере 3.2 функция 11х) = х, х Е ( — я, я), была разложена в тригонометрический ряд Фурье г цп+1 х = 2(вшх — — вш2х+ -вшЗх —... + вшох+...). 2 3 п Если положить в данном равенстве х = я/2, то получим я 1 ( — 1)п+1 — =2(1 — — +...+ +" ), 2 3 2о — 1 т.е. ( цп+1 Е 2гг-1 4 п=1 Для вычисления суммы второго ряда можно использовать равеисгвво 1гарсева л (3.18) для ряда Фурье функции Дх) = х: 1Г, 4$ — = — ! х Их. гг я/ п=1 Отсюда находим Е.= ео 1 1 .3 е 2 ггз 4я 3 6 пьц Пример 3.11. Разложим функцию Дх) = х2 в промежутке 'г-я, и) в ряд Фурье.
Функция является четной, следовательно, С- (-1)"+'. 2о — 1 ' пе1 00 Е— пьц 3Ы 3. РЯДЫ ФУРЬЕ в соответствии с формулами (3.48) имеем: 2„г ао= — /х гтх= —, тг.т 3 о 2Гг 2хг . [ 4 а„= — ~ х совпхдх = — вшпх1 — — ~ хвтпхг)х = я~ о о о 4х 4 = — совпх — — ~ совпхг(х = пг,„ и х,/ 4( — 1)" 4 . 4( — 1)" — — в1ппх пг пзт пг о Поскольку функция хг дифференцируема на [ — тг, х] и ее значе- ния на концах этого отрезка совпадают, имеем разложение г г „сових х = — +4~~т ( — 1)", х Е [ — тг, н[. 3 пг о=1 Положив в этом равенстве х = О, найдем „з сю ( 1)о оо ( ц +г г 0 = — +4~~ — <=о 3 л пг пг 12' о=1 п=1 Если же записать равенство Парсеввля для данного разложения функции хг, то получим формулу 1 2яг г " 1 2 Г 4 -( — ) +"Š— =-("'* „р .l Следовательно, Е 4 4 + п4 72 40 90' 3.11, Суммяровввие числовых рядов с помощью рядов Фурье 317 Пример 3.12.
Вычислим суммы рядов 1 1 1 1 1 1+ — — — — — + — + — —... 5 7 11 13 17 1 1 1 1 1 1 — — + — — — + — — — +... 5 7 11 13 17 я ч (1 — (-1)") я1пих. в=1 (3.54) Действительно, в соответствии с (3.49) имеем ( 1)в 6„= — ~ — в1пнхдх = — — сових и Е М. к,/ 4 О Положив х = я/2 в равенстве (3.54), получим ( 1)в+1 -'=1--+---+--...=~ 4 3 5 7 9 ~-' 2н — 1 Умиожим ряд ~; ( — 1)в+1/(2п — 1) иа 1/3 и добавим к нему в=1 нули следующим образом: 1 1 1 1 О+ — +О+О- — +О+О+ — +О+О- — +О+О+.. 3 9 15 21 Согласно свойствам 1.4 и 1.5 числовых рядов, этот ряд сходится и его сумма равна я/12.
различающихся лишь знаками своих членов. Для этого используем разложение Яункпии /(х) = я/4 в интервале (О, к) в тригонометрический ряд Фурье ио синусам. Такое разложение можно получить, если в тригонометрический ряд Фурье иа отрезке [-1г, я] раскладывается функция, полученная иэ /(х) путем ее продолжения иа [ — к, к] до нечетной (см.
формулы (3.49)). Поскольку функция /(х) = к/4 диффереицируема в интервале (О, х), то ее разложение в тригонометрический ряд Фурье по синусам имеет вид (см. теорему 3.17) 318 3. РЯДЫ ФУРЬЕ Сложим этот ряд с рядом, из которого он был получен: ( 1 1 1 О+-+О+О- — +О+О+ — +О+О+" )+ 3 9 15 1 1 1 1 1 1 1 1 1 +(1 + +- — — + — — — + — — +...) = 3 5 7 9 11 13 15 17 19 (О+1)+(- )+(О+ )+(О )+( + )+ 1 1 1 1 1 1 ( 11) ( 13) (15 15) ( 17) ( 19) 1 1 1 1 1 1 5 7 11 13 17 19 Согласно свойству 1.6 числовых рядов, сумма последнего ряда равна я/12+ и/4. Итак, 1 1 1 1 1 я 1+ — — — — — + — + — —...
= —. 5 7 11 13 17 3 Положим х = гг/3 в равенстве (3.54): ( 1)п /3 /3 ГЗ /3 2 2 5 2.7 2 11 /3 /3 /3 г + — +...= — (1--+- — — + — — — +...). 2 13 2 17 2 ~ 5 7 11 13 17 Тогда 1 1 гг + — — — +" = — Ф 13 17 2~ГЗ 1 1 1 1 — — + — —— 5 7 11 Раскладывая в тригонометрические ряды Фурье (в общие или по синусам, или по косинусам) другие (кусочгго ггеирерывггме) функции /(х), выписывая для них равенство Парсеваля и подставляя в полученные соотношения различные конкретные значения х = хе, можно найти суммы и других числовых рядов.
Данный способ вычисления сумм числовых рядов требует определенного искусства и, вообще говоря, применим не для всех рядов. 319 3.12. Дискретное ореобразоваяяе Фурье 3.12. Дискретное преобразование Фурье. Быстрое преобразование Фурье Пусть функция 11х) с периодом 21 = Т непрерывна на всей числовой прямой и имеет кусочно непрерывную на Ж производную. Тогда она удовлетворяет условиям аналога теоремы 3.13 для 21-периодических функций (см. 3.8) и ее можно разложить в тригонометрический ряд Фурье на всей числовой прямой. Ее ряд Фурье сходипься в каждой точке х Е й к значению функции 1(х). Итак, для любой точки х Е К имеет место равенство ге 1Ь 11х) = ~~~ сье " 'г (3.55) где 1 — мнимая единица, а козффициенты разложения сь можно вычислить, используя следующие формулы: тГг т 1 Г гЫ* 1 Г гене се= — / Г(х)е т дх= — ( ~(х)е 1 дх, ФЕЕ. (3.56) -т ./ Т) -тГг в )сь~ = (св)+ ~) ()с ь(+(сь!) (+со.
Зафиксируем некоторое натуральное число 1е и рассмотрим значения функции Г1х) на сетке из действительньпс точек Здесь мы использовали запись тригонометрического ряда Фурье для 21-периодической (21 = Т) функции в комплексной форме (см. 3.2 и 3.8) и свойства определенных интегралов от периодических функций (см. 3.7). Кроме того, поскольку функция 1 1х) имеет кусочно непрерывную на Ж производную, то, согласно аналогу теоремы 3.13 для 21-периодических функций (см. 3.8), ряд Фурье функции Г'1х) сходится абсолютно и равномерно на И, причем 320 3. РЯДЫ ФУРЬЕ х ' = ЗТ/г/, у = О, сс/ 1: Дх1) = ~ сье~лс~х2/~ = ~ сьелл1~1/~ 2 =О,/Г/-1. (3.57) Так как ряд Фурье функции /(х) сходится абсолютно в каждой точке, то его члены можно переставлять любым способом, сохраняя при этом сумму (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
