IX Власова Е.А. Ряды (1081388), страница 42
Текст из файла (страница 42)
Пусть й — произвольное натуральное число, большее 1/а~. Выберем некоторое натуральное число т и рассмотрим разбиение 0 = хо < хг « х,„«.з = а отрезка [О, а] ~=«!,/й+ «-Т:, =«, «-«, р точками экстремума функции соо(я/х~). При этом «Р(х;) = = ( — 1) +'"+~ '/(й+ги+1 — 1). Следовательно, 1 1 ]гр(х;.г.г) — 1о(хг)] — . + поскольку значения функции «р(х) в соседних точках х; проти- воположны по знаку. Суммируя, находим ~]«Р(х;.г.г — «Р(х,)] = ~> (, + .)— й+г«г й+т««-1 ~~) ( — + — )= — + +2 г=й+1 г=й+1 344 3. РЯДЫ ФУРЬЕ 3.4.
Почленным интегрированием разложения х = 2~ ( — 1)"~~ —, х Е ( — я, и), гг в=1 получите ряды Фурье функций хэ, хэ и х4. 3.5. Разложите в ряд Фурье на отрезке [ — я, я] заданную функцию /(х), постройте графики функции /(х) и суммы ее ряда Фурье; найдите сумму ряда Фурье в указанной точке хе. -Зх, 0<х<гг, г) /(х) = -1, — я<х< — гг/2; х — я/3, — я/2 < х < я/2; гг — х> я/2 ( х ( я, хе = гг/3; д) /(х) =е*, хЕ [-я,я], хе= — я. 3.6.
Разложите в ряд Фурье заданную функцию /(х) в укаэанном промежутке; постройте графики функции /(х) и суммы ее ряда Фурье: ] а, — я/2<х<я/2; / я Зя~ ~(б, я/2<х<Зя/2, ~ 2' 2 /' б) /(х) =хэ, (0,2я); в) /(х) =]х — г], (0,2я). 3.3. Не вычисляя коэффициенты Фурье функции /(х) = = кх — х]х], выясните, сходится ли ряд Фурье этой функции на отрезке [-я,я] равномерно.
Постройте графики сумм продифференцированного и дважды продифференцированного ряда Фурье данной функции. 345 Вопросы и задачи 3.7. Разложите в ряд Фурье функцию /(х) в промежутке ( — 1, 1) и постройте графики функции Дх) и суммы ее ряда Фурье: а) /(х) = ' ' 1=3; б) У(х) =х~+1, 1=1; — 1, — 4<х<-2; в) /(х)= 1, — 2<х<2; 1=4. О, 2~<х<4. 3.8. Разложите в ряд Фурье функцию /(х), периодически продолженную на всю числовую ось с периодом 3, постройте графики функции Дх) и суммы ее ряда Фурье: х, 0<х<1; У(х) = 1, 1 <х< 2; З-х, 2<х<3.
3 8 Найдите комплексную форму ряда Фурье периоди ской с периодом я функции ) сов х, 0 < х < я/2; О, к/2<х<и, и сумму полученного ряда в точке х = я. 3.10. Разложите в ряд Фурье в комплексной форме периодическую с периодом 3 функцию 1/2, х=О; 1, 0<х<1; 1/2, х= 1; О, 1<х<3. /(х) = 3.11. Разложите в ряд Фурье следующие функции на отрезке [-т, я]; постройте графики функций и сумм их рядов Фурье: а) аш'х; б) хсоах; в) х'.
346 3. РЯДЫ ФУРЬЕ 3.12. Разложите в ряд Фурье следующие функции на отрезке [ — 1, 1]; постройте графики функций и сумм их рядов Фурье; а) хз, 1 = 1; б) вЬх, 1 = 2> в) с1гх, 1 = 2. 3.13. Разложите в ряд Фурье на отрезке [а, Ь] функцию /(х), постройте графики функции и суммы ряда Фурье: а) /(х) = [х — 2], а = 1, Ь = 3; б) /(х) = (х-2)з, а = О, Ь = 4. 3.14. Разложите в ряд Фурье заданную функцию. Построй- те графики функции и суммы ее ряда Фурье: ( ешх, 0 < х < л/2; а) /(х) = ~ / В интервале (О л) по синусам; л/2 < х < гг, 2, 0(х(2; б) /(х) = -2, 2 < х < 3; на отрезке [О, 4] по синусам; О, 3 <х< 4, в) /(х) = 0<х<1; 1<х<3; 3<х<6, О, 1 — х, -2, на отрезке [О, 6] по косинусам; г) /(х) = 0<х<1; 1<х<2, на отрезке [О, 2] по косинусам; д) /(х) = О, 0<х<1; х — 1, 1 < х < 2; в интервале (О, 3) по синусам; 1, 2<х<3, е) /(х) = х в интервале (л/2, л) по косинусам.
3.16. Разложите функцию /(х) = е~*, 0 < х < л, в ряд Фурье по косинусам и в ряд Фурье по синусам. 3.17. Докажите, что Зх2 — блх+ 2лз ~~ сових 12 ~ из х Е [О, л]. и=1 3.15. Разложите функцию /(х) = яшах, О < х < л, в ряд Фурье по косинусам. 347 Воиросы и задачи 00 1 г 3.18. Докажите равенство 2,, = ~, используя раз=1 (~гг венство Парсеваля для функции ~' — гг/4, -гг < х < 0; ~ я/4, 0 < х < я. 3.19.
Докажите равенство 2, = —, используя раз- 3 — (-1)" 7ггг иг 1г ' ложение в ряд Фурье функции -х, -я<х<0; 1х~/я, 0<х<гг. 3.20. Докажите равенство Я вЂ” = —, используя разло- 1 1 1 4ггг — 1 2' жение в ряд Фурье функции /(х) = ~ з1пх~. 3.21. Используя сумму ряда Фурье функции /(х) = ~х~, х Е ( — 1, 1), вычисленную в точке хе = 1/4, докажите тождество 00 2 2п — 1 я (4гг — 3) з (4п — 1) г 321/2 3.22. Используя разложение по синусам функции /(х) = = х(х — гг) в интервале (О, я), докажите равенство 4.
ИНТЕГРАЛ сРУРЬЕ При изучении рядов Фурье речь шла о представлении действительных периодических функций, определенных на всей числовой прямой (или функций, заданных на отрезке), тригонометрическим рядом вида — + Я (аь сов шкх + Ьь вш шах), ао 2 в=1 где ю — константа, обратно пропорциональная длине отрезка разложения. В этой главе изучается интеграл Фурье, который можно считать обобщением ряда Фурье на случай непериодической действительной функции, определенной на всей числовой прямой, при котором операция суммирования по дискретному параметру Й Е 1'( заменяется операцией интегрирования по непрерывному параметру А е К. Интеграл Фурье, впервые введенный в 1822 г. Ж.
Фурье в книге „Аналитическая теория тепла" для решения некоторых задач математической физики, в настоящее время широко используют в прикладной математике. 4.1. Определение интеграла сь урье Действительную Функцию ~(х), заданную на бесконечном промежутке Х С К, назывиот пбсояютпно интегрируемой на Х, если она интегрируема на любом конечном отрезке [а, Ь] С С Х,и сходится несобственный интеграл ) ((х) ! Ых. х 349 4.1, Определение интеграла Фурье В качестве промежутка можно взять, например, бесконечный полуинтервал [а, +со) или всю числовую ось ( — оо, +со). В последнем случае также говорят, что функция абсолютно интегрируема на числовой оси.
Заметим, что абсолютно интегрируемые на К функции являются непериодическими" Для абсолютно интегрируемой на К функции Г(х) рассмотрим следующие несобственные интегралы с параметром Л > 0: 1 Г 1 Г а(Л) = — / 1(1)совЛ1й, Ь(Л) = — / Г(1)в)пЛ1й. (4.1) Формулы (4.1), по которым вычисляют функции а(Л) и Ь(Л), Л > О, называют формулами Фурье.
Поскольку для всех Л е [О, +со) и х е К верны оценки [У(х) сон Лх[ < [Г(х)[, [Г(х) ивЛх[ < [Г(х)[, и интеграл / [1(х)[ах сходится, то на основании признака Вейерштрасса равномерной сходимостн интеграла по параметру [Ч1] несобственные интегралы (4.1) также сходятся, причем абсолютно и равномерно по параметру Л на полуинтервале [О, +оо). Поэтому функции а(Л) и Ь(Л) корректно определяются формулами (4.1) для любого Л Е [О, +со).
Функции а(Л) и Ь(Л) непрерывны в промежутке [О, +оо). Это вытекает из следующего утверждения. Теорема 4.1'*. Пусть функция Г" (х) абсолютно интегрируема на К, функция двух переменных д(х, Л) непрерывна на множестве Р=Кх[а,Ь) =1(х, Л) ЕК:хЕК, ЛЕ[а,ЬЦ 3а исключением вырожденных функций, почти всюду на К равны" нулю (см. 7.1). "Доказательство теоремы см. Д.4.1. 350 4. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ и ограничена на нем, т.е.
существует такое число М > О, что [д(х, Л)[ < М для всех (х, Л) е Р. Тогда функция у(Л) = д(х, ЛЩх) с1х непрерывна на отрезке [а, Ь]. ф Поскольку функции двух переменных сов Лх и в1пЛх непрерывны и ограничены на К~, значит, и на всяком множестве Р = К х [а, Ь], а функция Дх) абсолютно интегрируема на К, то на основании теоремы 4.1 функции а(Л) и Ь(Л) являются непрерывными на всяком отрезке [а, Ь] С [О, +со), а следовательно, в любой точке промежутка [О, +со). Для абсолютно интегрируемой на числовой прямой К функции Дх) в соответствии с формулами (4.1) построим непрерывные на [О, +ос) функции а(Л) и Ь(Л).
Поскольку функция а(Л) сов Лх+ Ь(Л) вшЛх, как функция от Л, непрерывна на множестве [О, +ос) и, значит, интегрируема на любом конечном отрезке [О, А] С [О, +ос), то можно рассмотреть следующий несобственный интеграл: Ф~ ) / ~ Я Л+ЬЯ % Л)ЫА, *я Я, (42) о который в зависимости от значений параметра х может как сходиться,так и расходиться. Определение 4.1. Пусть У(х) — произвольная абсолютно интегрируемая на К функция и функции а(Л) н Ь(Л), Л > О, определены формулами Фурье (4.1). Несобственный интеграл (4.2), являющийся функцией параметра х Е К, называют инте- аралом Фурье функции Дх).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
