IX Власова Е.А. Ряды (1081388), страница 37
Текст из файла (страница 37)
В этом случае сдяьва Я(х) полученного ряда будет я-периодической функцией. Во-вторых, можно доопределить данную функцию в полу- интервале [ — |г, 0) произвольным образом, лишь бы полученная функция на отрезке [ — х, я] продолжала удовлетворять условиям теоремы 3.17 или теоремы 3.18. Разложим эту функцию в тригонометрический ряд Фурье на отрезке [ — я, х] и, рассмотрев сумму данного ряда только на отрезке [О, я], получим еще одно представление исходной функции г(х) на отрезке [О, я] в виде тригонометрического ряда Фурье. В этом случае сумма Я(х) полученного ряда будет 2я-периодической функцией.
Наконец, в-третьих, можно доопределить данную функцию на произвольном отрезке [ — 1, 1], содержащем отрезок [ — я, я], так, чтобы полученная функция продолжала удовлетворять на отрезке [-1, 1] условиям аналогов теорем 3.17 или 3.18, разложить доопределенную функцию в тригонометрический ряд Фурье на отрезке [ — 1, 1] и рассматривать его сумму только на отрезке [О,я] С [ — г,1]. Сумма этого, третьего, варианта тригонометрического ряда Фурье функции 7" (х) на отрезке [О, я] будет 2Р-периодической функцией, причем 2М ) 2я. Приведенные варианты разложений определенной на отрезке [О, я] функции 7'[х) в тригонометрический ряд Фурье, вопервых, имеют различные периоды своих сумм, а во-вторых, зависят от того, каким образом функция 7'[х) доопределяется на отрезке [ — я, я] или отрезке [ — 1, 1], содержащем отрезок [О, я]. Поэтому, чтобы получить для функции 7" [х) не просто какоето разложение в тригонометрический ряд Фурье, а разложение со специальными свойствами [разложение специального вида), необходимо, во-первых, уяснить требуемую периодичность суммы ряда Фурье (и, следовательно, определить отрезок разложения — [О, я], [ — я, х] или [ — 1, 1] Э [О, я]), а во-вторых, подобрать такое продолжение функции г [х) на [ — я, я] или [-1, 1] Э [О, я], с помощью которого можно получить желаемый результат.
3.10. Реедовгепие в ряды Фурье по спвусвм и по косппусва 303 Итак, пусть функция 7(х) задана на отрезке [О, и] и удовлетворяет на нем усювиям теоремы 3.17 или теоремы 3.18. Рассмотрим два специальных разложения функции у (х) в 2п-периодические (т.е. полученные с помощью разложения на отрезке [ — х, гг]) тригонометрические ряды Фурье. Первое разложение — зто разложение в 2ег-периодический тригонометрический ряд Фурье, не содержащий членов с синусами, т.е. в ряд, у которого все коэффициенты Фурье Ь„равны нулю.
Такое разложение функции называют разложением в тригонометрический ряд Фурье но косинусам кратных дуа (или но косинусам). Второе разложение — это разложение в 2п-периодический тригонометрический ряд Фурье, не содержащий свободного члена и членов с косинусами, т.е. в ряд, у которого все коэффициенты Фурье а„равны нулю. Такое разложение функции называют разложением в тригонометрический ряд Фурье но синусам кратных дуг (или но синусам).
Как показано в 3.9, такие разложения имеют четные и нечетные на отрезке [ — я, х] функции соответственно. Поэтому для разложения функции у(х), определенной на отрезке [О, я], по косинусам кратных дуг (и с 2гг-периодической суммой ряда Фурье) необходимо продолжить функцию у(х) на промежуток [ — и, 0) по четности, т.е. положить у(х) = у(-х), х Е [-я, 0). Построим на отрезке [ — я, и] тригонометрический ряд Фурье полученной четной функции (см. (3.48)) и, рассмотрев его сумму только на отрезке [О, х], получим разложение исходной функции г" (х) на отрезке [О, х] по косинусам. Для разложения функции у" (х), определенной на отрезке [О, х], по синусам кратных дуг (и с 2гг-периодической суммой ряда Фурье) необходимо продолжить функцию Г" (х) на промежуток [ — я, О) по нечеткости, т.е. положить 304 3.
РЯДЫ ФУРЬЕ Пример З.Т. Разложим по косинусам и синусам функцию ] х, 0<х<к/2; ~к/2, гг/2<х<к. Доопределим сначала функцию /(х) на отрезке [-к, гг] до четной функции /„(х) (рис. 3.15): к/2, -к < х < — з /2; -х, -к/2<х<0; х, О < х < гг/2; з /2, к/2 < х < к. Рис. 3.15 Функция /ч(х) на отрезке [ — к, к] удовлетворяет условиям теоремы 3.15, поскольку она непрерывна, в любой точке интервала ( — гг,к) имеет левую и правую производные, в точке х = — к имеет правую производную (/„',+( — я) = 0) и в точке х = гг имеет левую производную (/;, (к) = 0).
Кроме того, /„( — гг) = /„(к) = /„( — гг+0) = /4гг-0) = к/2. Поэтому, согласно формулам (3.48), получаем следующие коэффициенты Фурье При этом, возможно, потребуется переопределить значение функции в нуле, поскольку для всякой нечетной функции /(О) = = О. Это никак не повлияет на ряд Фурье функции /(х). Построим на отрезке [-к,к] тригонометрический ряд Фурье полученной нечетной функции (см.
(3.49)) и, рассмотрев его сумму только на отрезке [О, к], получим разложение исходной функции /(х) на отрезке [О, к] по синусам. Аналогично можно разложить функции, заданные на произвольном отрезке [О, 1], в 21-периодические тригонометрические ряды Фурье, содержащие только косинусы или только синусы. В первом случае функцию необходимо доопределить в промежутке [ — 1, 1] до четной функции и воспользоваться формулами (3.50). Во втором случае функцию следует доопределить до нечетной на [ — 1, 1] функции и применить формулы (3.51).
3.10. Раэяоиеяяе в ряды Фурье по сияусвм и по косинусам 305 для четной функции Г,,(х): 2 ае = — / хдх+ / — сь = — + — = —, я1.1' ,г' 2 ) и О 2 4' 0 в' 2хвшгьх 2 2 к 21' Г Ги а„= — / хсовгьхдх+ / -совгьхдх ,/ 2 0 к О 2 2 к 2 Г. вшггх " 1 . гиг 2 12 — 81пггхгЬ+ — = -вгв — + — совггх д гг гг 2 ггвя 0 2 1. гиг 2 1 гиг — — вш — = — ~сов — — 1), гг Е 1Ч. вя~ Поскольку функция Ях) непрерывна на отрезке ( — я, я] и, кроме того, Г„(-я+О) = Г (я — О) = я/2, то в силу теоремы 3.17 для любого х б (0, я] верно разложение Зя 2 г гиг 1(х) Уч(х) Ях) = + ~~1 ~сов 1) сов ггх.
В гьвгг ~ 2 в=1 График суммы ряда Фурье Я(х), определенной на всей чисвовой прямой, представлен на рис. 3.16. Рис. 3.16 300 3. РЯДЫ ФУРЬЕ Разложим функцию Г(х) в ряд Фурье по синусам, доопределив ее до нечетной на отрезке [ — тг, тг| функции /„(х) (рис, 3.17): — тг/2, -тг < х < — тг/2; х, -л/2<х<л/2; тг/2, тг/2 < х < тг. г'н(х)— Рис.
3.17 Вычислим коэффициенты Фурье функции /„(х) по формулам (3.49): 2 л л 2/ Г Гтг . 1 2хсовпх з Ьн = — / хвшпхг1х+ ~ — вшпхгЬ + и ~ .т' „т' 2 пл' о тг 1 1 туг 2 . птг (-1)" — — сов птг+ — сов — = — 81п — —, и Е ггг. п и 2 пзтг 2 и Функция /н (х) на отрезке (-л, тг) также удовлетворяет условиям теоремы 3.17 и является непрерывной, поэтому для любого х Е (О, тг) имеем ( цн'( У(х) тн(х) о(х) т ~ 81п вгппх. Поскольку /и( — и+ О) + /н(л — О) 1 Г тг л~ и 2 то в точке х = тг сумма ряда Фурье не совпадает со значением функции Г(х).
2 2 2 Г сов пх 1 тиг + — т совпхдх- — = --сов— л и л 2 + — вшпх~ пзл о 3.10. Раэяожение в ряды Фурье ло синусам и но косинусам 307 График суммы Я(х) ряда Фурье изображен на рис. 3.18. Рис. 3.19 Пример 8.8. Разложим в тригонометрические ряды по косинусам и по синусам на отрезке [О, 2) функцию /1, О<и<1; '10, 1<х<2. Четная функция (рис. 3.19) О, -2 <х<-1; У„(х) = 1, -1 < х < 1; О, 1 < х < <2, Рис.
3.19 определена на отрезке [ — 2, 2] так, что у(х) = у„(х), х Е [0,2[. Используя формулы (3.50) при 1 = 2, получаем ао = у„(х) дх = г1х = 1, о о 2 1 ггих г' ггих а„= / Ях) соо — дх = ( соо — Ых = 2 / 2 о о 2, ггих~ 2 . гиг ~1 — — — — гь Е И. 308 В. РЯДЫ ФУРЬЕ Поскольку функция г (х) непрерывна во всех точках интервала (О, 2), кроме точки х = 1, то, согласно аналогу теоремы 3.17 для отрезка [ — 2, 2], получаем 1(х)=уч(х)=Я(х)= — + У вЂ” в1п — сов —, хб[0,1)0(1,2].
1 2 . пя тпх 2 юг 2 2 В точке разрыва х = 1 имеем ~,(1+0) + ~„(1 — 0) О+ 1 1 2 2 2' в то время как Г'(1) = 1. Следовательно, сумма полученного тригонометрического ряда Фурье в точке х = 1 отличается от значения функции в этой точке. График периодической с периодом Т = 4 функции о(х), являющейся суммой ряда Фурье, представлен на рис. 3.20, Рис. 3.20 Для геометрической иллюстрации свойства сходимости последовательности (Я„(х)), 1 2, )ггг Ьгх Я„(х) = — +~ — в1п — сов —, хЕ [ — 2,2], частичных сумм тригонометрического ряда Фурье функции ,г'„(х) на рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
