IX Власова Е.А. Ряды (1081388), страница 33
Текст из файла (страница 33)
~ Пусть функция у(х) непрерывна на [ — и, и], удовлетворяет условию у ( — и) = г'(и), а ее рядом Фурье является ряд — + ~ (аьсовйх+Ььвшйх). 2 (3.36) а=1 'Отметим,что условие существования кусочно непрерывной производной сильнее, чем условие кусочной дифференцируемости: если выполняется первое условие, то выполняется и второе. Однако кусочно дифференцируемал функция может и не иметь кусочно непрерывной производной.
3.4. О порядке иаяости коирфигпгеиток Фурье 271 Докажем, что сходится числовой ряд — + ~~» (1аь)+ )Ь|(). (3.37) Гг=г Согласно условию теоремы, производнзл Гг(х) существует всюду на отрезке [-я, я) за исключением конечного числа точек — я = хо < хг « х„= я, причем в каждом интервале (ху г, хо), у = 1, гг, функция Г"(х) непрерывна, а в точках х существуют односторонние пределы этой функции. Доопределим функцию Г'(х) в точках х произвольным образом (тогда получим кусочно непрерывную на ( — л, я] функцию) н рассмотрим ее тригонометрический ряд Фурье его/2+ ~ (сгьсозйх+г3ггз1пйх). Ггха Используя формулы (3.15), коэффициенты Фурье сгь и гуь функции Г'(х) при й Е Я можно вычислить следующим образом: л х.
г г ггь = — / Г'(х)созйхсгх = — у / Г (х)созйхдх = — гг 3=г хг 1 Г 1 хе — / сов йхг(Г(х) = — ~~ Г(х) сов йх~ + я хг 4=1 .. 3=1 хг + — ~~г ~,Г(х) згпйхс(х = — /,Г(х) зшйхдх = ййы 4 — хг 1 '=1 -л гг В гугг = — /,Г'(х)зшйхдх = — ~г / ~'(х)згпйхдх = =1 -л хг хг. 1 Г / зшйхг(Г(х) = — у Г(х)зшйх~ гг хг у=г,. о=г хг хг л й й à — (,Г(х) сов йхдх = — — ~ Г'(х) сов йхггх = — йаь =1 4- хг 1 -гг 272 3. РЯДЫ ФУРЬЕ (здесь использованы правило интегрирования по частям и усло- вие /(-я) = /(я)). Следовательно, при всех й Е 1Ч !ай!+ !Ьй! = — +— !ггй! А! й й и доказательство сходимости ряда (3.37) сводится к доказательству сходимости ряда 2,' (!ггй!/Й+ !г3й!//с).
ййа Используя неравенство а~+Ь~ !аЬ! <, а, Ь Е К, 2 получаем — ~ (— (сгй+ — з), — < (— (Дй+ — з), й Е гг. !гй! 1 2 1 !гй! 1 2 1 — + ~~г (!аг,!+ !Ьй!) = — + ,'г ( й=г ййа 2 2 < — +-~» (ой+ !ао! 1 г' г !ао! 1 = — +— 2 2 + )< !ай! А! Ь й 00 1 00 00 ~~г ггй + — ~~> рй + ~~г — „< й=г ййп ййа Итак, ряд (3.37) сходится. Следовательно, согласно теореме 3.9, тригонометрический ряд Фурье (3.36) и ряд — + ~ (!ай соя йх!+ !Ьй зшйх!) !ао! 2 й=г Поскольку ряды ,'> , '1/гг~, 2 , 'сгйз, ~; Я сходятся (последние два ййп ййа ййа в силу раоенстпва Парсееалл (3.18) для /'(х)), то и ряд (3.37) также сходится: 3.4.
О порядке малости коэффициентов Фурье 273 гэв=йЬь, Д= — йаь, ЬЕМ, (3.38) где ав и Ьь — коэффициенты Фурье функции у'(х), а гэв и Дь — коэффициенты Фурье функции уг(х) (фуикция г(х) удовлетворяет условиям теоремы 3.13). Теорема 3.14. Пусть функция 1(х) имеет иа отрезке [-я, я] непрерывные производные до порядка т включительно и кусочно непрерывную производную порядка т+ 1, причем выполняются условия: 1(™) ( — я) = ~~~~ (л).
(3.39) Тогда сходится ряд /с~[]ав[+ ]Ьг,]), я=1 (3.40) сходятся равномерно иа И и, кроме того, ряд (3.36) является тригонометрическим рядом Фурье своей суммы (см. теорему 3.8). Обозначим сумму ряда (3.36) через Я(х). Функция Я(х) непрерывна иа [ — я, я] как сумма равномерно сходящегося функционального ряда с непрерывными слагаемыми (см. теорему 2.10). Кроме того, Я(х) является периодической функцией с периодом 2я, поскольку таковыми являются все члены тригоиометрического ряда Фурье (3.36), и, значит, Я( — я) = Я(я). Отсюда следует, что функция Я(х) принадлежит евклидову пространству Ео[ — я,я]. Непрерывная функция Дх) с условием Д вЂ” я) = у" (я) также принадлежит евклидову пространству Ео[ — я,я]. Так как тригонометрические ряды Фурье функций Дх) и Я(х) совпадают, то в силу полноты трнгонометрической системы в евклидовом пространстве Ео[ — я, я] из теоремы 3.5 следует, что и сами функции Дх) и Я(х) совпадают, и, значит, тригонометрический ряд Фурье (3.36) функции Дх) сходится иа [ — я, я] к самой функции Дх).
~ь Замечание 3.4. В ходе доказательства теоремы 3.13 для функции Г (х) и ее производной у'(х) были получены формулы 274 3. РЯДЫ ФУРЬЕ где аь и Ь| — коэффициенты тригонометрического ряда Фурье функции /(х). ~ Доопределим функцию /(~+1)(х) в точках разрыва произвольным образом.
Тогда у( +1) (х) будет кусочно непрерывной на отрезке [ — я, я], а все функции /(")(х), й = 1, т, будут непрерывны на [-я, к[. Для каждой иэ этих функций выполняются условия теоремы 3.13. Следовательно, можно испольэовать формулы (3.38). Обозначим через а,', /3,', я = 1, т+1, козф(в) (8) фициенты тригонометрического ряда Фурье функций ~(')(х).
Тогда в соответствии с формулами (3.38) получим (.+1) /, (.) яг ( -1) Оь = 1'ь (-1)(~+1)/гй~+1аь, т нечетное; ( — 1)~/~/с + Ьь, т четное. Аналогично „( +1) /, ( ) /,г„( ~-1) >ъ ~ь >ъ 1)( +1)/г/, +1Ь„ 1) (та+2)/2/ст+1 т нечетное; т четное. СлеДовательно,[о~, )[ + [/Зь( )[ = й + ([а1,[ + [Ь1,[) и (ил+1) [ [ 3(та+1) [ й ([аь[+ [Ья[) = " + Как и в доказательстве теоремы 3.13, устанавливаем, что ряд ~; ([а)~~~~[/я+ [/Зь~~ ~[/й) сходится.
Следовательно, схоЬ=1 дится и ряд 2 /с'"([аь[+ [Ь1,[). ~ я=1 Используя равенство [аь + ~[+ [/Зь [ = й + ([аь[+ [Ьь[) и (а-1-1) свойство стремления к нулю коэффициентов Фурье а~~ и /З„при Й -1 оо, получаем следующее утверждение о порядке (та+ 1) малости коэффициентов Фурье. Зл. Диффвревцировввве и ивтегрироввлие рвдов Фурье 275 Следствие 3.6. Если функция 1(х) удовлетворяет условиям теоремы 3.14, то ее коэффициенты Фурье по тригонометрической системе (3.5) удовлетворяют соотношениям: аь = о(,), Ьь =о(,), к-+ со.
3.5. Дифференцирование и интегрирование тригонометрических рядов <лтурье С условиями гладкости (дифференцируемости) разлагаемой в гпригономегпрический рлд Фурье функции (и, значит, с условиями малости ее коэффициентов Фурье) непосредственно связана такая важная задача, как почленное дифференцирование тригонометрического ряда Фурье. Теорема 3.15. Пусть функция 1(х) удовлетворяет условиям теоремы 3.14. Тогда тригонометрический ряд Фурье функции 1(х) можно гп рзз почленно дифференцировать на отрезке [ — я, я), т.е.
для любых х Е [ — я, я) 1(')(х) = ~~> (аьсозрбкх+ 6ьзгп('1кх), з = О, гп, я=1 где аь и 6ь — коэффициенты Фурье функции У(х). < Для каждого з = О, гп рассмотрим ряды: (аьсозрбкх+6ьгйпрбкх) = Ь=1 =1'ж'[, (ж ~ — '*)+ьв (в + — ")).
я=1 Здесь использованы тригонометрические формулы яп 1 яп1 зшОО(х) = згп(х+ — ), созрб(х) = соз(х+ — ), и Е М. 276 3. РЯДЫ ФУРЬЕ Все эти ряды на всем отрезке [ — я, тг] махсорирутотася сходящимся рядом (3.40) (см. теорему 3.14). Поэтому, согласно признаку Вейерштрасса равномерной сходимостпи утункиионаяьноео ряда (см. теорему 2.6), каждый из этих рядов (при всех в = О, тп) сходится равномерно на отрезке [ — тг, тг]. Это означает, что все эти ряды (и их суммы) удовлетворяют условиям теоремы 2.13 о почленном дифференцировании функционального ряда. Применяя эту теорему поочередно ко всем рядам (для в = О, тп — 1), получаем, что исходный тригонометрический ряд Фурье функции у(х) можно тп раз почленно дифференцировать, причем каждый раз сумма полученного ряда будет совпадать с производной функции у(х) соответствующего порядка (в силу теоремы 3.11 сумма исходного тригонометрического ряда Фурье функции т" (х) на [ — тг, тг] равна самой функции у(х)).
т» Изучим возможность почяенного инптегрирования тригонометрических рядов Фурье кусочно непрерывных функций. Мы допускаем, что тригонометрический ряд Фурье функции у(х) может расходиться в некоторых точках отрезка [ — к, тг], а в точках сходимости его сумма может отличаться от у(х). Теорема 3.16. Для любой кусочно непрерывной на отрезке [ — я, тг] функции т" (х) ее тригонометрический ряд Фурье у(х) — + ~(а„совпх+ Ь„вшпх) п=г можно почленно интегрировать на любом промежутке [а, Ь] из этого отрезка: Г у(х)дх= — х +~~т ( — Ь„+а — ) [а,Ь]с[ — тг,я]. 2, " п и в=1 < Рассмотрим функцию г'(х) = у(1)Ж, хЕ [ — к,к], о З.в.
Дифферевиироввиие и иитегрироввиие рядов Фурье 277 которая является непрерывной на отрезке [ — я, я] и дифференцируемой в каждой точке непрерывности функции г" (х) [Ч1]. Производная функции и (х) за исключением, быть может, конечного числа точек существует и совпадает с кусочно непрерывной функцией у(х). Кусочно непрерывную производную будет иметь и непрерывная на отрезке [ — я, я] функция Ф(х) = и (х) — — х, ао = — ~,г"(1) Ж. ао 1г 2 ' я/ Функция Ф(х) удовлетворяет условию Ф(и) = Ф( — я), поскольку Ф(гг) — Ф( — и) = и'(и) — и'(-я) — яао = ,г(й)гй —,г'(1)й — яао = У(й)Ж вЂ” яао =О Таким образом, функция Ф(х) удовлетворяет условиям теоремы 3.13. На основании этой теоремы тригонометрический ряд Фурье функции Ф(х) сходится к Ф(х) равномерно на отрезке [ — я,и]: Р(х) — — х = Ф(х) = — + ~(А„сов пх+ В„о1ппх), х е [ — я, я].
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
