IX Власова Е.А. Ряды (1081388), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Интегрирование дифференниааьных уравнений 227 Заметим, что со о+ -1 3 Я(7+ пИ7+ и -1)а.х""-'- Я -(7+ „)а ха+7— 2 о=о а=О (7+ и) (7+и — — )аах"+ =7(7 — — )аох" 1+ ) а1Х7+ ~~~ ( у + П) (7+ П вЂ” — ) а Хо+7-1 2 2 = 7(7 — — ) аох7 + (7+ 1) (7 ) а,х7 + 5 3 2 2 +(7+ 1)(7 замена + ~~~~,(7+ Й + 2) (7+ й — — ) ай+гха+7+1. Й=О Поэтому, возвращаясь к равенству (2.44), имеем 7(7 — — )аох7 +(7+1)р — — )а1х7+ 7-1 у 3~ 2) г) 1~ .« ~ ~ь .«Й .«2«(« .«Й — - «щ «- «) * ~' = О.
Вио 2) Приравияем нулю коэффициенты при всех степенях х: х: 7(7 )ао =О« 3~ (7+ ц (7 - ) а1 = о; 21 1~ х7+~+'. (7+ й+ 2) (7+ й — — )аь+г+ аь = О, (2.45) lс = О, 1, 2, Учитывая, что ао „-~ О, из первого уравнения получаем либо 7 = 5/2, либо 7 = О. Если у = О, то иэ начального условия р(О) = 0 следует, что ао = О, а этого быть не может. 228 2. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ Итак, пусть 7 = 5/2 и ао ф О.
Заметим, что при 7= 5/2 функция у(х) = хо~2 2 а„х" удовлетворяет начальным условна=о ям у(0) = 0 и у'(0) = 0 при любых значениях коэффициентов а„. Поэтому эти начальные условия никак не влияют на определение коэффициентов а„. Далее, иэ второго уравнения системы (2.45) делаем вывод, что а1 = О. Используя третье уравнение, получаем рекуррентную формулу аь (й+ 2)(я+ 9/2) ' Так как а1 = О, то аб = 0 и аб = 0 и т.д., т.е.
аь = 0 для всех нечетных номеров я = 2п+ 1, и = О, 1, 2,... Если же я — четное число, т.е. я = 2п, и= О, 1, 2, ..., то ао„ а2 (2п+ 2)(2п+ 9/2) (и+ 1)(4п+ 9) Вычислим значения первых нескольких коэффициентов а2„: оо а2 аО ао=- —; а4=- — = 9' 213 2!913' а4 оо аб оо 3 17 3! 9 13 17' 4 21 4! 9 13 17.21 По найденным значениям строим формулу (-1) "ао и!'9'13'17' ° ..'(4 +5)' оЕ, (247) истинность которой докажем методом математической индукции.
Для начальных значений и от 1 до 4 эта формула справедлива (покозано выше). Предположим, что она справедлива при и = т, и докажем, что она верна и при и = т + 1. Для 2.9. Интегрироввиие дифференниавъных уравнений 229 зтого достаточно в рекуррентную формулу (2.46) подставить выражение для азв, из (2.47): ао (тп+ 1Н4тп+ 9) (-1)™ао (та+1)(4тп+9) тп! ° 9 ° 13 17 °... (4тп+5) (-1)™м ар (тп+ 1)! ° 9 ° 13 17 (4тп+5) (4(тп+1) + 5) Таким образом, искомое решение имеет вид вяц 00 ( 1)в ввн где С = ао вй 0 — произвольная константа. Чтобы найти область сходимости степенного ряда, воспользуемся, учитывая рекуррентную формулу (2.46), предельным признаком Даламбера.
Получим, что хз!в+О+о 1 ~= 'ц =0(1 в-+се! азвхов+в ! в-+ее (т1 -1- 1)(4п -1- 9) при всех х е ( — оо, +со). Так как множитель х~7~ определен при х > О, то полученный обобщенный степенной ряд (2.48) определен и является решением рассматриваемой задачи Коши при всех х > 0 и произвольной константе С = ао Ф О. Итак, дифференциальное уравнение (2.43) имеет бесконечное множество решений, удовлетворяющих начальным условиям у(0) = 0 и у'(0) = О, которое описывается формулой (2.48). Все эти решения определены при х > 0 и отличаются лишь множителем С = ао ф О, который может принимать произвольное 230 2. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ значение.
Отметим, что при С = 0 формула (2.48) дает нулевую функцию у(х) = О, которая также является решением поставленной задачи Коши. Обратим внимание на то, что начальное условие у'(0) = 0 нашей задачи Коши никак не влияет на полученные решения. Дело в том, что в соответствии с видом дифференциального уравнения (2.43) всякое его решение, имеющее в точке х = 0 значение у(0) = О, всегда имеет значение производной у'(0) = О. В частности, дифференциальное уравнение (2.43) с начальными условиями у(0) = 0 и у'(0) = 1 не имеет решения. Дополнение 2.1. Остаточный член формулы Тейлора в интегральной форме Теорема 2.25. Пусть функция у(х) имеет в некоторой окрестности точки ха непрерывную производную (и+ 1)-го порядка.
Тогда для любого х из указанной окрестности точки хв имеет место формула Тейлора ~~")(") 1(х) = Дха) + ~'(ха)(х — хе) +... + (х — хе)" + В (х) с остпатпочным членом В„(х) в интпеерильной форме: < Пусть точка х принадлежит указанной в условии теоремы окрестности. Поскольку все производные до (и+ 1)-го порядка включительно непрерывны на отрезке (хе, х), то, согласно формуле Ньютона — Лейбница, имеем У(х) — У(хе) = 1'Я й = — У'(1) о)(х — 4). хо хо Д.2.1. Оетатотвый твев в вятеграеьяой форме 231 Используя правило интегрирования по частям, получаем Пх)-У(хе) =- У'И)4 -1) = то =-~'(и*- )1*+ Ь*- Ивя = то то = у'(хе)(х — хе) + (х — й),Кв(1) ей. ео Снова применяя правило интегрирования по частям, находим ~(х) — Дхе) = у'(хе)(х — хе) — — 1/вой(х — 1) 2,/ ео =~'(хо)(х — хо) — — ~вя(х — 8) ~ + — /(х — 8) ~в(1)й= 2 !та 22 то = Ихе)( — хе) + -1(хе)( - хе)'+ — ~(х - 1)'уге(~) н1 2 2,/ то и т.д.
Применяя интегрирование по частям в и-й раз, оконча- тельно получаем 1(х) У(хе) — У (хе)(х хе) + (х хе) + " 1 ув(хе) У ( о) ) ~" 1+Ц(,)( А зто и есть утверждение теоремы. ~ гзг 2. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ Вопросы и задачи 2.1. Найдите области сходимости заданных функциональ- ных рядов. Исследуйте ряды на абсолютную сходимость: ОЭ а) ~16"х; б) ~' ( †) в) ~~~ — з ( †) г) Е г а=1 а=1 и=1 и=1 д) ~ ( — ) е) ~~»; ж) ~З (пх)"; з) ~3" 1я — „; п=1 00 1 00 1 ОО "'~=" ':С(")- '~-( — )- 2.2. Найдите область абсолютной сходимости функционального ряда 00 ~-(.')- а=1 Сходится ли данный ряд в точках я = О и г = 1 — з? (х+1)" агс1д(1+пх) , [-2,0]; 00 хя д)Е з [ 11[ я=1 б) (-1)"х [, 1).
е) ~~~ >~, (О, +со); в=1 ж) ~~>, ( — оо, +со); агс1япхз а=1 в) ~~> 1в(1+ пх) пз '('+~' ,в!яих з) ~, [О, +со); и=1 г) ~~> , (О, +со); ~пп44+ х~ 2.3. Докажите равномерную сходимость следующих функциональных рядов в заданных промежутках: 233 Вопросы я задачи со и) ~) — агсС8 —, ( — ~,+~); п=1 е " совп(х+1) к) 2.~ 5 п=1 с 1п(1 +пг) л) Е ( 1)( г )' [О + ) п=1 »- пг+хг' [ 2' 21' 2.4. Докажите, что если члены равномерно сходящегося на множестве Х функционального ряда 2 у„(х) умножить на одп=1 ну и ту же ограниченную на Х функцию у(х), то равномерная сходимость ряда не нарушится.
2.5. Найдите круг сходимости следующих степенных рядов: а) у ( — 1)п п=1 ~~ ~ п (1 + 1) зп (2п — 1)) п=1 2.6. Найдите круг сходимости степенного ряда при произвольном значении параметра )х. Выясните, сходится ли ряд в точках »1, »г, »з, »4 при указанных значениях )»1 и аг параметра а. Если ряд сходится, то уточните, как — абсолютно или условно. Нарисуйте круг сходимости. Выполните эти задания для следующих рядов: "[-1)" п)1),ч)),-п)'" )г, =5, и=1, и=24.1 9"-' п=1 3 )' 11, 4=- — + ~3- — )1; 1Г2 1Г2 »г = 1»з = 3+ 31> б) 2п(» + 3)гп ~--:-(-" г п=1 5 1 »з= — -+-, »4= — 3+ 2 2' м) ~ 1п(1+ — „), [0,2[; п=1 1Я)1~ + хг 1 а1= 2, с»г =8, »1 =-3+ —, »г = — 2, 2' 234 2.
ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ 2.7. Найдите области сходимости следующих действительных степенных рядов: п1хп г) ~~>, где (2п — 1)!! =1 3 5 .... (2п — 1). (2п — 1)!! ' 2.8. Укажите области сходимости следующих функциональных рядов и найдите их суммы: (,3 1)в+1 а) ~~» пх2" ~; б) ~~>~; в) ~ в=1 в=е в=1 2.9. Разложите по степеням х следующие функции и укажите интервалы, в которых зти разложения справедливы (если функция не определена при х = О, то доопределите ее по непрерывности): 1+ х2 а) х 1п(1+х ); б) 1п~/ — (2 — *)Д вЂ” х х д) хсовх2; е) вгсГЕх; ж) х~агсГЕх; з) х агсяпх; и) сов(хз-3); хв Г в!п21 к) ; л) 1п(х + ~/Р+ 1); м) агссовх; н) ( — г1; Я+х~ О хсовх — япх | о) г2 с1гга; п) х2 О 2.10.
Разложите в ряд по степеням х — хе следующие функции и укажите интервал сходимости полученного разложения: 1 а) 1п(бх+3), хе=1; б) 1пх, хо=1; в) „, хе=2; х я 2 г) ~/2х ххе=2 д) вш-, хе= — ', е) вгсвш(-2х — 4х — 2),хе = — 1. 3' 2' 235 Вопросы и задачи 2.11. Найдите первые четыре члена разложения в ряд Тейлора в окрестности точки ХО для следующих функций: х 1 а) ах, хе=1; б) фаях, хе= —; в), хе=1; 4 ' (1+ х2)з ' Г) Е~/х+1 Х = — -' д) пасса!аз Х О.
Е) 1 Г $й ) О г / 1 (1+4)~ О хе=1. О 2.12. Используя значения радиусов сходимости рядов Тейлора основных элементарных функций, укажите интервалы сходимости разложений в ряд Тейлора в окрестности точки ХО следующих функций: а) 1п(5+Зх ) хо =0; б), хо = — 2; 2 х+5' 1+х г) 1п 2 ХО=-1. 2+ 2х+Х2' в) е*+,ХО=О; 2.13. Применяя различные приемы, найдите суммы следующих функциональных рядов: Оо 2а+1 б~ -1" ) ~ащ( ) (2П + 1)1(2 + 1) ' 00 а) 7 Е....
(2.+1). о=О 1 3 ... (2п — 1) х2"+1 в) х+'з 2 4.... 2п 2п+1 а=1 2.14. Вычислите укаэанные значения с заданной точно- СТЬЮ Е: 1 ж) 1п 3, е = 10 4. з) агс15 —, е = 10 2. 1 а) —,, е 10 — з. 4(е 1 г) з с=10 АЗОВ' б) сое10', е = 10 4; в) О1п1, с = 10 ~; д) агсе1п —, е = 10 э; е) ~/250, е = 10 э; 2. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ 235 2.15. Вычислите интегралы с точностью до 10 2: 1 1/2 г* б) О1пх дх; в) /; г) 1 — г1х; ~(1 — х~ О О 1 1/2 1/2 1 1 — соох )/,гг+ а.; )1' о о а) — г1х; о 0,1 Г е* — 1 д) / — ггх; х О 2.16.
Для заданных функций найдите значения производных порядка и в точке х = О, пользуясь разложениями этих функций в ряд Маклорена, которые получены с помощью разложений основных элементарных функции: г а) х21г'1+ х, и = 5; б) хо агс28х, и = 12, 13; в) —, и = 10; х~ Зх — 5 г) х 1п(1 — — ), и = 17; д), и = 5, 48. 3 ' х2 — 4х+3 2.18. Применяя метод последовательных дифференцирований, найдите указанное число ненулевых членов разложения в степенной ряд решений следующих дифференциальных уравнений при укаэанных начальных условиях: а) у" = х +у2, у(0) =О, у'(0) = 1 (четыре члена); б) у" = (у') +ху, у(0) = 4, у'(0) = — 2 (пять членов); 1 — х2 в) у' = — +1, у(0) = 1 (пять членов); у г) у" = е" Огпу', у(я) = 1, у'(я) = я/2 (пять членов); д) уг 1=ху+у'х2, у(0) =у'(О) =у"(О) =угл(0) =1 (семь членов).
2.17. Докажите, что функция 7'(х) = 2,' е "сов изх является о=1 бесконечно дифференцируемой на числовой прямой Ж Найдите Р азложение этой функции в ряд Маклорена и покажите, что радиус сходимости полученного ряда равен нулю. 237 Вопросы и задачи 2.19. Найдите в виде степенного ряда решение уравнения уо — ху = О, удовлетворяющее начальным условиям: а) у(0) = 1, у'(0) = 0; б) у(0) = О, у'(0) = 1.
2.20. С помощью степенных рядов проинтегрируйте следующие дифференциальные уравнения при заданных начальных условиях: а) уп+ху'+у=1, у(0)=0, у'(0)=0; б) (1 — х )уп — ху=О, у(0) =О, у'(0) =1; в) (1 — хз)уп — 5ху' — 4у=О, у(О) =1, у'(0) =О. 2.21. Решите задачи Коши: уп + 4ху'+ у = 4х соя х — 9х — 5х — 2, а) у(0) = О, у'(о) = о; (х — З)уп — 2ху'+ 2у = (5 — х ) соях+ 2хяшх, у(0) =1, у'(о) = о. б) 2.22. Найдите частные решения следующих дифференциальных уравнений в окрестностях их особых точек: а) хзуп+ху'+х~у= 0, у(0) =1, у'(О) =0; б) хуп+у'+ху=О, у(0) =1, у'(О) =0; в) хуп+2у'+ху=О, у(0) =1, у'(О) =О. 3. РЯДЫ с)1э'УРЬЕ Примерно с середины ХЧП1 в.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
