IX Власова Е.А. Ряды (1081388), страница 30
Текст из файла (страница 30)
Для любого элемента ~ Е Е и любой ортонормированной в Е системы (фь)ь~ при всех п Е М верно равенство (3.11) где Уь Й Е М, — коэффициенты Фурье элемента ~ по ортонор- мированной системе (фь)~~ Теорема 3.2. Для любого элемента 7' Е Е и любой ортонормированной в Е системы (фь)~~ ряд ,"> ф составленный я=1 иэ квадратов коэффициентов Фурье элемента ~, сходится. При этом справедливо следующее неравенспгео Бесселя: гг < ьг,ьг ь=1 (3.12) ~ Из равенства (3.11) следует, что )Лг — ~; Д > О для всех я=1 неМ.
Следовательно, все частвичные суммы знакоположвтельного ряда ~; уьг ограничены одним и тем же числом ~~Пг и в=1 рлд ~ Д сходипгся (см. 1.4). Переходя в неравенстве Я Д < я=1 я=1 < ЕЯ~ к пределу при н -+ со, получаем неравенство Бесселя. ~ У(я) 1о ~~+ ~~,,(1и + Ь ) (3 13) я=1 В евклидовом пространстве Ее[ — л,х] построим ряд Фурье по тригонометрической системе (3.5) для некоторой функции г Е Ее(-я,х( Этот ряд, согласно (3.6), (3.7) и (3.1), имеет следующий вид: о.1.
Ортоиориирояаяиые системы и ряды Фурье 247 где г — / Дх)дх; 1/2и г — / Ях)соойхйх, ЙЕМ; г — / Г"(х)о1пйхдх, й Е М. г Й~г, г,~./г ~ )" я=1 Отметим, что наиболее употребительной является другая форма записи тригонометрического ряда Фурье: 1(х) — + ~у (аьсоо|сх+ бьогпйх), ао Гг=1 (3.14) где коэффициенты ао, аь и бь определяются формулами: ао= — = — ~ У(х)гЬ; 2Уо 1 Г ъ/2~г 1г 1 аь = — = — / У(х)соойхг(х, Йе 1Ч; ,г'ь 1 Г бь = — = — /,г (х) ат йх г1х, й Е 1Ч.
Ь 1Г л=./ (3.15) Ряд (3.13) называют пъраеонометпричесеееьм рядом Фурье. Неравенство Бесселя для любой функции г Е Ео(-я,я) принимает следующий вид: 248 3. РЯДЫ ФУРЬЕ Неравенство Бесселя в этом случае принимает вид ОΠ— ~+~) (аь~+ь~ь) < — / у~(х)дх. в=1 (3.16) Замечание 3.1, Из формулы (3.16) следует, что для любой функции 1 из евклидова пространства Ее(-з.,я] коэффициенты аь и ьь ее ряда Фурье по тригонометрической системе (3.5) стремятся к нулю при й -+ со (необходиммб признак сходимости ряда в неравенстве (3.16) слева).
Для любого натурального й имеет место тождество аьсовйх+Ььвшйх = аь+Ьь совйх+ в1пйх ( — ( ь а2,+ь2 ~/а~ + Ь2 = Аь(сов~рь совйх+вширь вшйх) = Аьсов(йх — ~рь), ь„ = вширь. ~/аь+ Ь~ь аь = сов<рь, 2 + 62 Следовательно, ряд (3.14) можно записать также в виде фуик- ииоиальиого ряда у(х) — в+ ~~> Аьсов(йх — ~рь), в=1 члены Аь сов(йх — ~рь) которого называют гармоническими иолебаииями (или гармониками). При этом Аь называют где Аь = ~/а~+62, а <рю 0 < 1зь < 2я, — величина, однозначно определяемая из уравнений 3.1, Ортенермировввные системы и ряды Фурье 249 амнлипьудой колебания, )е — циклической (круеовой) частотпой, а ~рй — начальной 1раэой колебания. Равенство У(х) = — + ~~1 Ай сов(йх — 1ей), й=1 если оно имеет место, называют раэлозкением функции у (х) в сумму еармонических колебаний (еармоник).
Для произвольного бесконечномерного евклидова пространства Е введем понятия и сформулируем ряд теорем, с ними связанных. Определение 3.2. В бесконечномерном евклидовом пространстве Е оршонормированную сисуаему (Фй)й 1 называют эамкнуепой, если для любого элемента ~ Е Е и для любого числа е ) 0 существуют такой номер п Е 1ч и такие числа С1,Сг,...,ееЕК, Чта ~(~~ сй1рй — ~~! се. й=1 Другими словами, замкнутость ортонормированной системы (111й)~~' 1 в евклидовом пространстве Е означает, что всякий элемент из Е можно сколь угодно точно (по норме евклидова пространства Е) приблизить конечными линейными комбина- цняМИ ИЗ ЭЛЕМЕНТОВ СИСТЕМЫ (111й)ейе 1. Теорема 3.3. Если ортонормированная система (11ъй)йе 1 замкнута в Е, то для любого элемента у е Е верно равенсепво 11арсевалл: (3.17) Пусть У е Е и е — произвольное положительное число. Поскольку (фй)~~ „— замкнутая система, то найдутся п е 1Ч и 2 и с1,се, ...,с„Е К, такие, что ~~~; сй111й — ~~~ ( е.
Отсюда, й=1 250 3. РЯДЫ ФУРЬЕ учитывая неравенство (3.10), заключаем, что ))Дз — ~ Д < е, 00 й=1 или !Л~ < 2,' Д+е, Тогда, используя неравенство Бесселя й=1 (3.12), получаем уй' < 3Д~ < ~~1 уй+с. ййп ййп Поскольку е ) 0 произвольно, то, переходя в последнем неравенстве к пределу при е — ~ +О, получаем 2,' уй' = ~)Дз.
~ й=1 Определение З.З. В бесконечномерном евклидовом пространстве Е ортпонормированную систему (фй)~~' называют полной, если единственным элементом в Е, ортогональным всем элементам фй этой системы, является нулевой элемент. Таким образом, свойство полноты ортонормированной системы (фй)~~ означает, что верно утверждение Теорема 3.4. Любая замкнутая ортонормированная система (фй)~~ бесконечномерного евклидова пространства Е является полной. ~ Пусть (4й)~~ — замкнутая ортонормированная система в евклидовом пространстве Е и для элемента ~ е Е выполняются равенства (~, 4й) = О, Й Е М.
Тогда, согласно (3.7), все коэффициенты Фурье элемента ~ равны нулю, т.е. ~й = О, й Е М. Поскольку система (фй)~~ замкнута, то выполняется равенство Парсеваля (3.17) и )Л~ = ,') Д = О. Отсюда вытекает, й=1 что у = 0 и, следовательно, система (фй)й0" является полной. ~ь Теорема 3.5. Если ортонормированная система (ч'й)й 1 в евклидовом пространстве Е полна (а тем более замкнута), то 3.1. Ортовормироввввые системы и ряды Фурье 251 любые элементы 1 и д в Е, имеющие одинаковые ряды Фурье по этой системе, совпадают: у = д. м Допустим, что элементы ~ и д имеют один и тот же ряд Фурье по полной ортонормированной системе (фь)~ ' сеть и д ~~» сфю где сь = Ц, фь) = (д, фь), Й ЕМ. Тогда (У вЂ” д»)»е) =(~ Фь) — (д, Фе) =О, Й ЕМ, т.е.
элемент 1 — д ортогонален всем элементам фь, й Е 1Ч. Так как (»»»ь)ь 1 — полная ортонормированная система,то у — д = 0 и~=д. > Вернемся к евклидову пространству Ее[ — я,я[ и выясним, является ли тригонометрическая система (3.5) замкнутой. Отметим, что выражение вида Т(х) =сяе+~(оесоейх+»дье1пйх), [а„[+Щ > О, я=1 обычно называют п»ригономеп»ринеским полиномом, а параметр и в этом выражении — порядком тригонометпрического полинома. Говорят, что действительную функцию 1 (х), определенную на отрезке [а, Ь], можно равномерно приблизить тригонометрическими полиномами на указанном отрезке, если для любого числа е > 0 найдется такой тригонометрический полинам Т(х),что [у(х) — Т(х) ! ( е, х Е [а, Ь[.
Легко видеть, что данное определение равномерного приближения функции 1 тригонометрическими полиномами эквивалентно существованию последовав»ельносп»и тригонометрических 252 3. РЯДЫ ФУРЬЕ полиномов (Т,„(х))'~ г, равномерно сходлгггебс*на [а, Ь] к функции г": Т (х) ==к,г(х). (а, Ь) Теперь сформулируем теорему, с помощью которой доказывается замкнутость тригонометрической системы. Теорема 3.6 (гпеорема Веберштрасса). Если функция ,Г"(х) непрерывна на отрезке [ — х, гг] и удовлетворяет условию ,г (гг) = Д вЂ” гг), то зту функцию можно равномерно на отрезке [ — гг, я] приблизить тригонометрическими полнномами. Теорема 3.7. Тригонометрическая система (3.5) замкнута, т.е.
для любой функции г' е Во[ — я, гг] и для любого числа е > О существует такой тригонометрический полипом Т(х), что ]]у' — Т]] = ~ Теорема 3.7 в общем случае доказана в 7.6. Здесь приведем доказательство в случае непрерывной функции ~. Поскольку ,г" е Ед[ — т, гг], то У( — я) = г" (гг). Согласно теореме З.б, для произвольного числа е > О найдется тригонометрический полипом Т(х), такой, что е ],г" (х) — Т(х) ] ( —, х Е [ — л, гг]. ~/2я Используя свойства определенного интеграла [У1], получаем 3.2. Комплекспзп форма записи ряда Фурье 253 Из теорем 3.7 и 3.4 следует, что тригонометрическая система полна в Ео[-к,к], и в силу теоремы 3.3 имеет место равенство Парсеваля: 2 — о + ~ (аоь + 5ь2) = — ( У~ (х) дх, 2 7Г я=1 (3.18) где ао, аь, бь — коэффициенты тригонометрического ряда Фурье функции у Е Ео[ — к,к] (см. формулы (3.14) и (3.15)). Если две функции У и д из евклидова пространства Ео[ — к, к] имеют одинаковые тригонометрические ряды Фурье, то, согласно теореме 3.5, эти функции как элементы евклидова пространства Ео[ — к, к] равны, т.е.
для любого х Е [ — к, к] выполняется равенство Дх) = д(х). Заметим в заключение, что поскольку определенный интеграл не зависит от значений функции в конечном числе точек, то равенство Парсеваля (3.18) верно не только для функций из евклидова пространства Ее[ †,зг], но и для произвольных кусочно непрерывных на отрезке [ — к, и] функций (не обязательно удовлетворяющих условиям (3.2) и (3.3)). 3.2. Комплексная форма записи тригонометрического ряда <Фурье Обилим гприеонометприческим рядом называют функциональный ряд вида — + ~1 (аьсояйх+бьешйх), ао я=1 (3.19) где х й К, а (аь)~~ о, (бь)ь — произвольные последовательности комплексных (действительных) чисел. Если функциональный ряд (3.19) сходипгся к какой-либо функции Я(х) на всей числовой оси, то предельная функция 254 3.
РЯДЫ ФУРЬЕ о(х) является периодической с периодом 2з (возможно, с меньшим периодом), поскольку такой период имеют все члены ряда (3.19). Согласно формулам Эйлера, длв любого й Е М имеем е'«*+ е '"* е'"* — е '«* а«совйх+6«вшйх = а«+6« 2 21 = — (ૠ— гЬ«)е'"*+ — (а«+Й«)е '"*= с«е' *+ с «е ™х, 2 2 где 1 1 с« = — (ૠ— гЬ«), с « = — (а«+1Ь«), й Е Я, (3.20) а 1 — мнимая единица. Наоборот, если с«и с « — произвольные комплексные числа, то для любого Й Е г1 с«е1"*+с „е '"* = = с«(созйх+1вшйх)+с «(сов( — Йх)+Ьвш( — Йх)) = = (с«+с «)созйх+г(с« — с «)вшйх= а«созйх+6«вшйх, где (3.21) а« =с«+с «, 6« =1(с« — с «).
Докажем эквивалентность формул (3.20) и (3.21): Если в дополнение к формулам (3.20) обозначить се = ае/2, то наряду с формой (3.19) любой пзриеономепзрпческий рлд < а« =с«+с «, ~а« = с«+с «, Ф=» с==в Ь« =1(с«-с «); (,16« = — с«+с «; а«+16« 2 =с «, ૠ— 16« 2 = с«. 255 3.2.Компяевевая форма эапвев ряда Фурье может быть записан в комплексной форме: — + ~) ~(аь сов йх+ Ьа в1пйх) = ао 2 а=1 =со+~,(сае'"*+с ье * ') =со+(с1е'*+с 1е '*)+... 1=1 ...+ (сае1~а+с ье 1~*)+..., (3.22) где коэффициенты аа и 6ь общего тригонометрического ряда связаны с коэффициентами сь и с ь тригонометрического ряда в комплексной форме с помощью формул (3.20) и (3.21).
Поскольку со + ~ (сае1"*+ с ее '"*) = а=1 и я=а = ц (ь~~'(„,1 ~-, „-'" )) = и ~' ~,'", а=1 й=-а тригонометрический ряд в комплексной форме (3.22) можно записать в виде следующего функционального ряда, бесконечного в обе стороны: со+ у '(сае1~*+ с ье 11*) = ~~1 сае1~*, (3.23) причем сумму ряда справа понимают только в смысле суммы функционального ряда слева. Рдд Фурье произвольной функции у(х) Е Ео( — п,п), являющийся тригонометрическим рядом, можно представить и в комплексной форме.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
