IX Власова Е.А. Ряды (1081388), страница 34
Текст из файла (страница 34)
ао Ао 2 2 в=1 Кроме того, для коэффициентов Фурье А„и В„функции Ф(х) и коэффициентов Фурье а„и Ь„функции у(х) имеют место соотношения (см. замечание ЗА): Ь„а„ А„= — —, В„= —, и б г1. п и Следовательно, ао ао Ао / сов пх вгппх~ Р(х) = — х+ Ф(х) = — х+ — + ~~г ~-Ь вЂ” +а„— ), 2 2 2 ~ и и )' в=1 | а СО ае Аа / сових вшпх~ у(г)аг = х+ — +~~г ~ — Ьп — +а~ — ), х Е [-я, и]. 2 2 ~ " и " и )' о и=1 И, наконец, получаем равенство правая часть которого является, как нетрудно видеть, результатом почленного интегрирования тригонометрического ряда Фурье функции г'(х). ~ь 3.6. Разложение функций в тригонометрические ряды грурье на отрезке [-вг,гг] В 3.3 описаны условия, при которых функцию, определенную на всей числовой прямой Ж, можно разложить в сходзицийся триеонолгегпричесниб ряд Фурье.
Рассмотрим функцию г'(х), определенную и интегрируемую только на отрезке [ — я, я], и поставим задачу ее разложения в тригонометрический ряд Фурье. Естественно, что функция Дх) должна удовлетворять на этом отрезке некоторым дополнительным условиям. Каким? Ответ на этот вопрос дают следующие две теоремы, первая из которых является следствием теоремы 3.11, а вторая — следствием теоремы 3.12.
Теорема 3.17. Пусть функция г" (х) определена на отрезке [ — я,1г]и удовлетворяет условиям: 1) Дх) кусочно непрерывна на отрезке [ — и, я]; 2) в любой точке х б ( — гг, я) существуют конечные обобщенные правая и левая производные, в точке х = -я существует конечная обобщенная правая производная, а в точке х = ив конечная обобщенная левая производная. З.б. Рлзлоигеиие фуиклий в рллы Фурье ив отрезке [-1г, л] 279 Тогда тригонометрический ряд Фурье функции у(х) сходится в любой точке х 6 [ — я, я) и для него справедливо равенство ао — + у (а„совах+ Ьовшпх) = Я(х) = 2 Дх+0) + у(х-0) х Е (-и, я); У( — я+О) + у" (я — О) 2 х= ~я. В частности, если х Е ( — я, я) — то пса непрерывности функции Дх), то Я(х) = Г(х).
~ Изменим, если необходимо, значения функции Дх) на концах отрезка [ — я, я) так, чтобы они совпали, т.е. вместо 7'(х) рассмотрим функцию 1 г(х), хЕ( — я,я); Дх) = С, х= ~я, где С вЂ” произвольная числовая константа. Функцию у(х) можно периодически продолжить на всю числовую прямую Й. Изменение функции 7'(х) в двух точках отрезка [ — я, я[ не влияет на значения интегралов (3.15), через которые выражаются ее коэффициенты Фурье. Следовательно, тригонометрические ряды Фурье функций у(х) и Дх) совпадают. Функция Дх) удовлетворяет всем условиям теоремы 3.11.
Поэтому ее тригонометрический ряд Фурье сходится всюду на К (в том числе и на отрезке [ — ял я)), а сумма этого ряда во всех точках х Е К равна (г" (х+0) + г'(х — 0))/2. Поскольку тригонометрические ряды Фурье функций г'(х) и Ях) совпадают, а на интервале (-я, я) и сами функции 7'(х) и Дх) совпадают, то утверждение теоремы для всех внутренних точек отрезка [ — я, я) доказано. На концах отрезка [-я, я[ в силу периодичности функции Дх) имеем У(я+0) = Д вЂ” я+0) = Д вЂ” я+0), Д вЂ” я-0) = У(я — 0) = У(я-О), откуда получаем утверждение теоремы и для точек х = — я, х=я.
ь 280 3. РЯДЫ ФУРЬЕ Теорема 3.18 (признак Дпрпхяе). Пусть функция 7" (х) определена на отрезке [ — т, я] и удовлетворяет условиям: 1) кусочно непрерывна на отрезке [ — я, я]; 2) кусочно монотонна на отрезке [-я, я]. Тогда тригонометрический ряд Фурье функции ~(х) сходится в любой точке х Е [ — я, я] и для него справедливо равен- ство ао — + у (а„сових+6„я1ппх) = о(х) = 2 7" (х+0) + Дх — 0) 2 1(- г+0) + 7" (я — 0) 2 ! х Е ( — к, я); В частности, если х Е ( — и, я) — точка непрерывности функции 7'(х), то о(х) = 1(х). < Доказательство теоремы аналогично доказательству теоре- мы 3.17, но основано на том, что периодически продолженная функция 7" (х) будет удовлетворять условиям теоремы 3.12.
~ь Как и теоремы 3.11, 3.12, теоремы 3.17 и 3.18 не связаны никаким отношением следствия (см. Д.3.2). Пусть функция У(х) определена на отрезке [-к, к] и удовлетворяет условиям теоремы 3.17 или 3.18. Сумма о(х) ее тригонометрического ряда Фурье (3.14), в отличие от самой функции 1(х), определена уже не только на отрезке [-я, я], но и на всем множестве действительных чисел И, причем периодична с периодом 2я. Согласно теоремам 3.17 и 3.18, в тех точках интервала ( — я, я), в которых функция 7"(х) непрерывна, сумма о'(х) совпадает со значением 7"(х), а в тех точках интервала (-я, я), в которых функция 1(х) рззрывна, сумма о(х) равна (у(х+О)+ 7(х — О))/2.
И, наконец, на концах отрезка о( — и) = о(т) = [7( — и+О) + 7'(я-О))/2. Для того чтобы построить график функции о(х) во всей области определения К, необходимо на отрезке [-я,я] построить график 3.6, Разаоиеиие функций в рады Фурье ив отрезке [ — 1г, л] 281 г — ~ хгЬ = — — =О, и/ я2 1 1 / 61ппхР' 1 à — ) хсовпхггх = — ~х ~ — — ~ втпхггх = О, — л — л 1 1 .
1/ сових рг 1 — / хв1ппхдх = — ~-х + — ~ совпхгЬ я~ п ~- п.г' ао = 2 оы2 = — — сових = ( — 1) —, п Е 1Ч. п п' функции /(х), заменив значения функции /(х) в точках разрыва х Е (-я, я), если они есть, соответствующими значениями (/(х+0) + У(х — 0))/2, а значения функции на концах отрезка [-гг, я] — значением ٠— я+О) +/(я — О))/2, и продолжить полученный график периодически на всю числовую прямую с периодом 2я. Заметим, что если функция /(х) определена на отрезке [ — гг, я] и на некотором множестве вне этого отрезка (например, на всем множестве К), но не является периодической с периодом 2гг, то вне отрезка [ — я, гг] она будет отличаться от суммы своего тригонометрического ряда Фурье.
Действительно, при формировании тригонометрического ряда Фурье (3.14) значения функции /(х) вне отрезка [-я, я] не используются и, значит, не влияют на сумму Я(х), которая вне отрезка [ — я, я] является простым периодическим продолжением своих значений на отрезке [ — я,я]. Таким образом, периодическая с периодом 2я функция Я(х), являющаяся суммой тригонометрического ряда Фурье функции /(х), будет описывать функцию /(х) вне отрезка [ — гг, я] тогда и только тогда, когда сама функция /(х) является периодической с периодом 2л. Пример 3.2. Разложим функцию /(х) = х, заданную на отрезке [ — я, я], в тригонометрический ряд Фурье.
Вычислим коэффициенты Фурье этой функции (см. (3.15)): 282 3. РЯДЫ ФУРЬЕ Отсюда следует, что тригонометрический ряд Фурье функции 1(х) = х, заданной на отрезке [ — я, я], имеет вид х ° 2~ ( — 1) -яшг1х= и+1 1 с=1 ( 1)с.г.1 = 2(ягпх — — гйп2х+ — яшЗх —... + яшггх+...). 2 3 гг о(х) = х — ~ — ]2я, х,-Е(2т+1)х, таей; О, х=(2т+1)гг, тЕЖ. (Запись [ — ] обозначает целую часть 1х+ я1 х+[г числа —, т.е. наибольшее целое, не пре2я восходящее зто число.) ?'рафики функцвй у(х) и о(х) представлены на рис.
3.1 и 3.2. Рис. 3.1 Рис. 3.2 Так как функция ?(х) = х непрерывна и дифференцируема в интервале ( — я, я), а на концах отрезка [ — я, я] имеет соответственно левую и правую производные, то она удовлетворяет условиям теоремы 3.17. Поскольку функция 1(х) = х непрерывна на ( — я, я), то в силу теоремы 3.17 сумма о(х) ее тригонометрического ряда Фурье в интервале ( — я, я) совпадает с у (х): Б(х) = 1 (х) = х, х Е ( — я, я). На концах же отрезка [ — я, я] имеем о( — я) = о(я) = (~( — гг+0) + 1(я — 0))/2 = ( — я+ я)/2 = О. Наконец, учитывая 2я-периодичность функции о(х), получаем З.б. Разложение функций в рады Фурье на отрезке [ — л, л) 283 Рис. З.З 284 3.
РЯДЫ ФУРЬЕ Пример 3.3. Разложим функцию — 1, — л<х< — л/3; О, — л/3<х<л/2; 1, л/2 <х<л, /(х) = заданную на отрезке [ — л, л], в тригонометрический ряд Фурье. График функции /(х) приведен на рис. 3.4. Функция /(х) являетсл кусочно постоянной и удовлетворяет всем условиям теоремы 3.17. Вычисляя для данной функции коэффициенты Фурье Рис. 3.4 3 г л 1 1 Г 1 Г 2 1 1 аа = — / ( — 1) дх+ — / 0 Их+ — ( дх = — - + О+ — = - —, я л,/ л,/ 3 2 6' л 3 Заметим, что если продолжить функцию /(х) = х с отрезка [ — л, л] на всю числовую прямую по той же формуле /(х) = х, то вне отрезка [ — л, л] сумма о(х) уже не будет представлять собой функцию /(х) (будет от нее существенно отличаться).
Для геометрической иллюстрации свойства сходимости пои следовательности (Я„(х)), о„(х) = 2 2 ~( — 1)"+~/й) а1пйх, чаь=г стичных сумм ряда Фурье функции /(х) = х на рис. З.З представлены графики частичньпг сумм у = Я„(х), х Е [ — л, л], с номерами и = 1, 2, 3, 8, 20 и 100.
Рис. 3.3 наглядно показывает, что во всех внутренних точках отрезка [ — л, и] (точках непрерывности функции /(х) = х) последовательность (о'„(х)) сходится к функции /(х) = х, а на концах отрезка такой сходи- мости нет. З.б. Разяожение функций н ряды Фурье иа отрезке ( — л, 22) 285 1 Г 1 Г 1 Г а„= — / (-1)совпхГЬ+ — ~ О совпхНх+ — / совпх21х = и -и п -у 7Гп 3 2 2 5„= — ( ( — 1)в1ппхдх+ — ~ О вшпх21х+ — ~ вшпхдх = п -к и — ~ 7Гп 3 2 2 получаем, что тригонометрическим рядом Фурье функции Г" (х) является следующий ряд: У(х) ° Б(х) = — — + ~ — ~вш — — зш — ) совпх+ 12 7Гп1 ~ 3 2) П7Г П7Г .1- ( — ~-2(-1Г .1- — )Я ). 3 2) График суммы ряда Фурье Я(х) изображен на рис.
3.5. Рис. З.о 28б з, ряды ФЛ'ЬЯ 3.7. Сдвиг отрезка разложения любых 7, Л Е К 7 -~т л+т т/г <р(х) с1х = ср(х) дх = со(х) сЬ. 7 Л -т~г Действительно, для любого у Е Й т+т о т тс-т | ссг(х) Йх = ср(х) ссх+ сд(х) ссх+ р(х) ссх = о т 7 7+т о 1замена — р(х) ссх+ ~р(х) ссх+ / р(х-Т) сс(х — Т) = ~ 7 о т 7 т 7 т — ~р(х) с1х+ у(х) ссх+ сд(и) Ии = ср(х) Йх. о о о о (3.41) Положив вэтом равенстве у= Л и у= — /, у = — Т/2 пол чим равенство (3.41). 1 ство Ео(-х,я) и ортонормироеанную снстему в этом евклидо- вом пространстве: 1 1 1 — — сов х, — зшх, — сов пх, = в1ппх, ~/я ~/я Рассмотрим теперь евклидово пространство Ео(а,б) функций, определенных на сдвинутом отрезке [а, ), Ь) 6 — а = 2н. Приведен- ная выше система функций будет ортонормированной и в этом интег ал от периодической евклидовом пространстве,так как р функции д(х) с периодом Т по отрезку длиной Т не изменяется, когда отрезок интегрирования сдвигает д ся в оль числовой оси.
Другими словами, если сл(х) = у(х+ Т) для всех х Е Ж, то для 28"г 3.7. Сявке отрезка разложевкя ,Г(х) — + Я(аьсовйх+Ььв1пйх), х Е [а, а+2я], /с=1 где а+2л | 1 Г ,Г(х)совйхг2х = — / Дх)совйхг(х, й = О, 1,2, ..., а — л а+2л л ~ Г ~ ~ 7 ~ ~ т ] 1 Г(х)втйхг1х= — ) Г(х)втйхйх, й=1,2,...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
