IX Власова Е.А. Ряды (1081388), страница 36

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 36)

Ее график на И является периодическим продолжением графика Я(х) на отрезке (а, Ь] = [а, а+ 21]. В заключение отметим, что комплексном форма тригонометарического ряда Фурье (3.43) в данном случае имеет вид 294 3. РЯДЫ ФУРЬЕ Пример 3.5. Найдем разложение в ряд Фурье функции /(х), заданной на отрезке [-2, 2], где О, -2<х<-1; /(х) = 1, -1<х<1; хг, -1(х(2.

График функции /(х) изображен на рис. 3.9. Фунниил /(х) является кусочно непрерывной на отрезке [-2, 2], дифференцируемой в каждой точке интервала ( — 2, 2), за исключением точек -1 и 1, в которых, однако, существуют обобщенные левые и правые производные. Кроме того, в точке х = -2 существует правая производная, а в х = 2 — левая производРие. 3.9 нзя. Таким образом, функция /(х) на отрезке [ — 2, 2] удовлетворяет условиям аналога теоремы 3.17, следовательно, ее ряд Фурье (3.43) в любой точке х е (-2, 2), х ф -1 (это точки непрерывности функции /(х)) будет сходиться к значению функции /(х), во внутренней точке разрыва х = -1 будет сходиться к значению (/(-1+0) + /(-1 — 0))/2 = (О+ 1)/2 = 1/2, а на концах х = — 2 и х = 2 — к значению ٠— 2+О) + /(2 — О))/2 = = (0+4)/2 = 2. По формулам (3.44) вычисляем коэффициенты Фурье аь в разложении функции /(х).

Первый коэффициент вычисляется достаточно просто: 2 1 г ао = — / /(х)Их = — / дх+ — / х Их=1+ — ~ -2 -1 1 3,8. Ратлоиеиие фуикций в рлды Фурье иа отрезке [ — 1, 7] 295 Для вычисления остальных козффициентов аа нужно дважды применить интегрирование по частям: г 1 г 1 Г 7игх 1 пкх 1 г и™ а = — / у(х)соз — ГЬ = — / сов — дх+ — т х сов — Их = 2./ 2 2,/ 2 2,/ 2 -г -1 1 г г 1 .

пях1 хг , птгх 2 1 . Пях = — Втн — ~ + — ВШ вЂ” — — ~( ХВШ вЂ” ИХ = пв. 2 ~ 1 пя 2 ти./ 2 1 2, птг 1 . Птг 4Х тих~ 4 /' птгх „ = — 81П вЂ” — — 81П вЂ” + СО — — г г СО — ~ птг 2 птг 2 пгкг 2 ~ и тг 1 1 г 1, тиг 8 4 тиг 8 . тих — — вш — + созпя — — соз — — 3 3 я~ 2 пв 2 пгтгг пгтгг 2 п и 2 1, и г 8 „4 птг 8 . тиг г 3 3 птг 2 пгтгг пгтгг 2 и к 2 Аналогично с помощью формул (3.45) вычисляем и коэффици- енты Фурье Ь„: г 1 г 1 Р . п7Гх 1 7 . пкх 1 1 г, п7Гх 6 = — /,Г" (х) вш — Гтх = -3( вш — дх+ — т х зш — Их = 2,/ 2 2./ 2 2,/ 2 -г -1 1 г г 1 пях!' хг птгх 2 Г тих = — — сов — 1 — — сов — + — т х сов — 71х = птг 2 1 Птг 2 1 Птг/ 2 1 г г — 4 1 птг 4х .

ппх 4 (, тигх = — созтиг+ — соз — + — хвтп — — — ( втп — Их = П77 пгяг 2 пг„г / 1 = — ~4(-1)"~' + соз †) — 81п — + ~(-1)" — соз †). 296 3. РЯДЫ ФУРЬК Таким образом, тригонометрический ряд Фурье функции Дх), заданной на отрезке [ — 2, 2], имеет вид 18 о~ ~~пгяг+8 и 8( — 1)" — 4сов — ~ и х Я(х) = — +'Г ~ 12 ~ ~ пз 3 2 вш — + ) сов — + пгяг ) и=1 4(-1)"+1+сов"— 4, (-1)"-сов ~ ~ д,х1 + <— — вш — +8 ) в|ив пя нгкг 2 „3„3 ) График суммы Я(х) этого ряда представлен на рис. 3.10. Рис.

3.10 3.9. Разложение четных и нечетных функций Напомним, что если функция Дх) определена на отрезке [а, — а] и является четной (т.е. для всех х Е [-а, а] выполняется л а равенство Дх) = Д вЂ” х)), то [ Дх) Их = 2 ] )'(х) дх, а если явля- — О о ется нечетной (т.е. для всех х Е [-а, а] выполняется равенство О Дх) = — Д вЂ” х)), то / Дх) с1х = О. Легко проверить также, что — а произведение четной функции на четную или нечетной на нечетную является четной функцией, а четной на нечетную есть нечетная функция.

297 3.9. Разложение четвых и нечетньгк функций Пусть на отрезке [-к, я] задана четная кусочно непрерыннал функция,г(х). Тогда при любом натуральном п произведение Г"(х)вшпх является нечетной функцией, а произведение 1(х) сових является четной функцией, и верны равенства: | у(х)совихах= 2 у(х)совпхдх, -л о у(х) вшпхдх = О, п = 1, 2 ... и = О, 1, 2 ...; Дх) — + ,'> а„сових, ао к=1 л 2 а„= — /,г(х)совпхдх, и=0,1, о (3.48) Если же кусочно непрерывная функция у(х) определена на [ — я, я] и нечетна, то при любом натуральном п произведение Г(х)сових является нечетной функцией, а произведение ,г (х) в!пих — четной функцией, и верны равенства Дх) сов ихдх = О, п = О, 1, 2...; ~л | |(х)вшпхИх = 2 |(х) вгппхдх, Поэтому все коэффициенты о„тпригонометрического р*да Фурье (3.14) функции у(х) равны нулю, все коэффициенты а„ определяются с помощью удвоенных интегралов на отрезке [О, чг], а сам тригонометрический ряд Фурье четной на отрезке [ — я, я] функции принимает следующий вид: 298 3.

РЯДЫ ФУРЬЕ Поэтому все коэффициенты а„тригонометрического ряда Фурье (3.14) функции Г(х) равны нулю, все коэффициенты Ь„ определяются с помощью удвоенных интегралов на отрезке [О, я], а сам тригонометрический ряд Фурье нечетной на отрезке [-я, я] функции принимает следующий вид: 00 2 Г ,Г(х) ~г Ь„вшах, Ь„= — ~ Г(х) вшах дх, и = 1, 2,... (3.49) в=1 о Аналогично, если функция Г(х) определена на отрезке [ — 1, 1], кусочно непрерывна и является четной, то изложенные выше рассуждения приводят к тому, что тригонометрический ряд Фурье (3.43) этой четной функции с коэффициентами, вычисляемыми по формулам (3.44), (3.45), принимает следующий вид: ао югх Г(х) ° — + ~~г а„сов —, а=1 (3.50) 2 Г пях а„= — / Г(х) сов — Их, и = О, 1, ...

--1/ о пях Г(х) ~~~ Ь„вш в=1 2 Г . югх Ь„= — / Г(х)вш — гЬ, в — / о (3.51) и = 1, 2, ... Наконец, пусть функция Г(х) задана на отрезке [а, а+ 21], где а = й1 — некоторое кратное числа 1 ) О (й Е Ж), кусочно непрерывна и является четной относительно середины от- Если же кусочно непрерывная функция определена на [ — 1, 1] и является нечетной, то ее тригонометрический ряд Фурье (3.43) с коэффициентами, вычисляемыми по формулам (3.44), (3.45), принимает следующий вид: 299 З.й. Разложение четных н нечетных фуннлнй ао пях ! (х) — + ~~>, а„соз —, е=1 а+1 2 пнх а„= — / 7" (х) соз — !1х, и = О, 1, 2, а (3.52) В том случае, если кусочно непрерывная на отрезке [а, а+ 21] (а = Ы) функция 1(х) нечетна относительно середины отрезка (рис. 3.12), т.е.

у(х) = -Ц2(а+1) — х), х Е [а, а+ 21] (при этом верно равенство 1(а+1) = 0), то тригонометрическвй ряд Фурье (3.43) этой функции принимает следующий вид: пнх у (х) ~~> Ь„зш п=1 а+! !' них (3.53) Ь„= — / Дх) ьйп — 11х, а и = 1, 2, Рис. 3.12 Действительно, в этом случае периодическое с периодом 21 продолжение функции Дх) на всю числовую прямую К будет резка разложения (рис. 3.11), т.е.

у (х) = ! (2(а+1) — х), х Е [а, а+ 21]. Тогда периодическое продолжение этой функции с периодом 21 на всю действительную прямую К будет четной функцией на Й и, в частности, на отрезке [ — 1, 1]. Используя 0 а а+! а+2! х формулы (3.47), с помощью рас- Рие. 3.11 суждений, аналогичных приведенным выше, получаем, что тригонометрический ряд Фурье (3.43) этой функции принимает вид 300 3. РЯДЫ ФУРЬЕ нечетной функцией на й и, в частности, на [ — 1, г].

С помощью рассуждений, аналогичных приведенным вьппе, получаем, что все коэффициентам Фурье а„(см. формулы (3.47)) будут равны нулю, а все коэффициенты Фурье Ь„будут равны удвоенным интегралам по половине отрезка разложения, т.е. получаем (3.53). Пример 3.6. Разложим в ряд Фурье на отрезке [ — 1,1] У функцию 7(х) = е~*( График этой функции изображен на рис. 3.13. е Функция е~*[ непрерывна на отрезке [-1, 1], дифференцируема на интервале ( — 1, 1), кроме точки х = О, где существуют левая и правая производные, и является четной на отрезке [ — 1, Ц. Сле- -1 О 1 х Довательно, ее тРигонометРический РЯД Фурье имеет вид (3.50) при 1 = 1, причем Рис. 3.13 в силу непрерывности раскладываемой функции 7'(х) этот рлд будет сходитаьсл к 7'(х) в каждой точке отрезка [ — 1, 1].

Найдем коэффициенты Фурье этого ряда. Имеем ао = 2 е*дх = 2е — 2. о Для вычисления остальных коэффициентов а„дважды применим интегрирование по частям: 1 1 а„= 2 е*сооттхдх = 2е*соептгх + 2птг е*о1пптгхг1х = о о 1 =2Ц-О" — О<-2 ий ~ — 2 г ~1 1О О = 2(-1)"е- 2- пэттена„. 3.10. Реэяоиеиие в ряды Фурье по синусам и по косинусам 301 Таким образом, а„= 2( — 1)"е — 2 — тг2пзао, откуда находим 2(-1)" е — 2 „2 2 Итак, тригонометрический ряд Фурье функции е~е~, заданной на отрезке [ — 1, 1], имеет следующий вид: ~ 2( Цое е]*~ е-1+ у соя тгтгх.

2.~ 1+и2„2 о=1 График суммы Я(х) этого ряда изображен на рис. 3.14. Рис. 3.14 3.10. Разложение функций в ряды Фурье по синусам и по косинусам Рассмотрим функцию у(х), заданную на отрезке [О, и] и удовлетворяющую на нем условиям теоремы 3.17 или теоремы 318. Поставим себе задачу разложения этой функции на отрезке [О,тг] в тпригономепгричесниб ряд Фурье. В такой постановке задача не имеет однозначного решения, так как она многовариантна. В самом деле, во-первых, эту функцию можно разложить в тригонометрический ряд Фурье на отрезке [О, и], как на 302 3. РЯДЫ ФУРЬЕ произвольном отрезке вида [а, а+ 21] с а = 0 и 1 = я/2, используя формулы (3.47).

Характеристики

Список файлов книги