IX Власова Е.А. Ряды (1081388), страница 39
Текст из файла (страница 39)
теорему 1.11). Это обстоятельство позволяет в ряде (3.57) привести подобные члены, т.е. сложить члены с одинаковым значением экспоненты е2л'гс1/ссг Если йг — й2 = гпЖ, где гп Е Ж, то число йгх2/Т вЂ” й2х2(Т = = тЖх !Т = гну' является целым. А поскольку функция е2 " = = сов 2~г2+ ге1п2я$, $ Е К, имеет период, равный единице, то для всех 2' = О, А/-1 2лсГссхс/Т ~лсГсхх1/~ у с ) ~ ~ ~лсГсх1/Т Гсг-1 +со Ж-1 +оо 2лс11+тпГсГ1х /Т ~ ~ % ~ 2лнх./Т Сг+ ИЛГЕ Сг+ НЕ ~=о 1=О ЛГ-1 +оо ЛГ-1 2лих1/Т % с с~ с С 2лсГх /Т Сг+„,1сГ = ~~ С1Е =Е ' Е ° =Е" 1=О ос=-оо 1=О где +оо с1 сх ~ сг+, и, 1= 0,/1/-1, (3.58) Так как любое целое число й можно единственным образом представить в виде й = 1+ гпМ, где 1 Е (0,1,...,11/ — Ц, гп Е Е, И Е2л111+лс'сГ1хс/Т = Е2л'1*1/Т дЛя ВСЕХ 2 = О, И-1 И ГГГ Е Ж, тО получаем 321 3.12. Дискретное преобразование Фурье и коэффициенты с1+ у вычисляются по формуле (3.56). Итак, если 1(х) — произвольная 21-периодическая функция, непрерывная на К и имеющая на К кусочно непрерывную производную, то ее значения в точках х.
= 2Т(И, 2 = О, Ж-1, могут быть представлены в виде суммы, коэффициенты с1 в которой определяются формулой (3.58): Ж-1 у(Х ) ~~> С Е2нь!хЕ(Т (3.59) 1=0 Несмотря на то что формула (3.59) задает представление функции 1 (х) только на конечной сетке точек О Т 2Т (У вЂ” 1)Т1 (Π— †... ) ~'У' ~ч'"' м ее коэффициенты, вычисляемые по формулам (3.58) и (3.56), определяются значениями функции у(х) на всем отрезке [О, Т) а в конечном счете — на всей числовой прямой. Однако для представления функции у(х) в виде суммы (3.59) на конечной сетке точек совершенно не обязательно знать значения функции у(х) на всей числовой прямой, а достаточно знать лишь ее значения в точках самой сетки.
В самом деле, пусть функция 1(х) определена не на всей прямой К, а лишь в узлах сетки (О, Т[Ж, 2Т[Ж, ..., (И вЂ” 1)Т[И) (такую функцию называют сепьочкой). Тогда представление в виде суммы (3.59) для нее можно получить, например, следующим образом. Доопределим сначала сеточную функцию у(х) на отрезке [О, Т~) до непрерывной, кусочно линейной функции, удовлетворяющей условию 1(Т) = у(0). Графиком этой функции на отрезке [О, Т~) является ломаная с вершинами в точках (х ",Ях )), 1' = О, 1н'-1, а также в точке (Т;1(0)).
Продолжим затем полученную функцию периодически на всю числовую прямую с периодом 21 = Т. В итоге получим непрерывную на множестве К 21-периодическую функцию, имеющую 322 3. РЯДЫ ФУРЬЕ кусочно непрерывную производную. Для такой функции имеет место разложение (3.55), а в точках зу = уТ(М, у =О, Ю-1,— представление (3. 59). Отметим, что пзрнгономепзричесний полином ж-1 .с (г) — ~, '- зяб(т 4=0 иэ правой части (3.59) является интерполянионным для сеточной функции у(х), т.е. обладает свойством Я~д(х ) = ~(х1), У = О, М вЂ” 1. Представление сеточной функции в виде суммы (3.59), полученное с помощью непрерывной, кусочно линейной пнщерполлпии имеет существенный недостаток: для вычисления Ф ее коэффициентов разложения сь 1 = О, Ф вЂ” 1, необходимо предварительно вычислить бесконечное число коэффициентов с~+ и, т Е Ж.
Однако должен существовать алгоритм расчета коэффициентов с~ без предварительного вычисления коэффициентов с~+ и. Этот алгоритм действительно есть, и его называют дискретным преобразованием Фурье. Переходим к его изложению. Итак, рассмотрим линейное пространство Рм комплексных сеточных функций, определенных в узлах сетки х = уТ(М, у = О, Ж вЂ” 1, где Л вЂ” фиксированное натуральное число. Это Ф-мерное комплексное линейное пространство. Отображение, которое всякой функции у Е Ри ставит в соответствие вектор ее значений у = (У(зе) у(х1) Дзу 1)) Е С~, устанавливает изоморфизм между линейным пространством Ру сеточных функций и комплексным линейным арифметическим пространством С~. 323 3.12.
Дискретное преоарввовввяе Фурье Введем в зтом комплексном линейном пространстве скалярное умножение 1 е1-1 (у, д) = — у у(х )д(х.), 1=0 у, д Е Рв1, (3.60) р,(х) = "х/т, 1= О, А(-1, где х принимает значения 2Т(И, 1' = О, М вЂ” 1, является ортпокор- мироваккь1м базисом в унитарном пространстве Р11. Действительно, для любых целых й и т имеем й1-1 (~р (О ) ~ Е х~|~хг/ТЕ2хгтхе/Т г й~ т ххО 1 1~ М-1 М-1 гхь(й-т)х /Т ~ ~ гефт-т)1/М А/ ' ' /Ч ~-' = — Е ' = — Е 1=0 3=0 При й = т получаем (~рт, <рт) = 1 для всех целых чисел т. Если й ~ т, то, используя формулу для вычисления суммы А/ первых членов геометрической прогрессии со знаменателем д = = ег"'(" )/о (д ф 1 при й -,й т) и первым членом Ь1 = 1 (см. 1.1), получаем 2х1(й-т) — /ег .1(й-т)/к)у е = О, Я ~-г 1 / /)/(Егхг(й-т)/М 1) ххО так как егх'(й '") = 1 для любых целых й и т.
где черта сверху означает операцию комплексного сопряжения. Аксиомы скалярного умножения для комплексных линейных пространств те же, что и для действительных линейных пространств (см. 3.1), за исключением аксиомы коммутативности, которую заменяют следующей: (/, д) = (д, у). Комплексные линейные пространства со скалярным умножением называют унитарными пространствами. Нетрудно проверить, что все четыре аксиомы для введенного выше скалярного умножения выполняются.
Таким образом, линейное пространство Рк становится унитарным пространством. Система сеточных функций 324 3. РЯДЫ ФУРЬЕ Таким образом, система сеточных функций (~р~)~„~ представляет собой ортонормированный базис в унитарном пространстве Рк. Для любой функции у Е Ри имеет место представление (3.59).
Учитывая введенное обозначение ~р~(х ) = е~ '*~~т, 1 = = О,М вЂ” 1,представление (3.59) можно переписать так: Ж-1 Дху) = ~> с~~р~(ху) = ') срр (уТ)Х), у = О, М вЂ” 1. !=О !=О Иными словами, для всякой функции у Е Ри имеет место разложение ~(х) = ~) срр~(х), х = —, у' = О, Ж вЂ” 1. (3.61) ~Т !=О Это означает, что представления (3.59) и (3.61) являются разложениями сеточной функции у Е Рк по ортонормированному базису (~рД~ „унитарного пространства Рк, а коэффициенты Ж-1 разложения сь 1 = О, Ж вЂ” 1, — координатами функции (вектора) у в этом ортонормированном базисе, т.е. М-1 с~ = (у, р~) = — ~, У ( — ) е (3.62) Следовательно, коэффициенты с~ не зависят от способа продолжения сеточной функции на всю числовую прямую до Т-периодической, определяются лишь значениями функции в узлах сетки.
Соотношение (3.61) обычно называют дискретным (конечным) р*дом Фурье сеточной функции 1 Е Рк, а коэффициенты с~ — ее дискрегпными коэффнциенгпоми Фурье. Разложение сеточных функций в дискретный ряд Фурье (3.61) определяет линейное отображение У': Ри — > Со, которое 3.12. Дискретное преобразояакие Фурье 325 каждой функции 1 иэ унитарного пространства Ри, т.е. сеточной функции 1, определенной на сетке х = 2Т(М, 1' = О, М вЂ” 1, ставит в соответствие комплексный вектор с = У(1) = (се с1 си 1) ЕС Координатами этого вектора являются дискретные коэффициенты Фурье функции 1. Так как для любой функции 1 Е Ри вектор с ее координат в ортонормированном базисе (~о1)1~„~ унитарного пространства Р1я определяется однозначно, и, наоборот, каждый вектор координат с Е Си однозначно определяет функцию у Е Ри [1Ч], то отображение У является взаимно однозначным отображением Ри на С~ Таким образом, отображение У: Р1я -+ С~ является невырожденным линейным оператором, действующим из У-мерного унитарного пространства Р1е в Си Линейный оператор У называют прямым дискретным преобразованием Фурье.
Пусть в пространстве Ри выбран базис иэ сеточных функций (еь(х)Д 1, где для любого Й = 1, Ф выполняются условия еь(ху) = О при 1 = О, д1 — 1, 1 ф й — 1, и еь(хь 1) = 1. Для любой сеточной функции у е Рь1 имеем разложение и 2'Т у(х) = ~~ Дхь 1)еь(х), х к=1 Ф' Столбец координат сеточной функции у Е Ри в ортонормированном базисе (еь(х))~ь унитарного пространства Р~д имеет вид 2 =(1(ХЕ) 1(Х1) 1(Х2) 1(ХУ 1)) Согласно формулам (З.б2), в стандартном базисе арифметического пространства Си столбец с координат образа сеточной функции 1 при отображении У (вектор дискретных коэффициентов Фурье функции у) можно представить следующим обра- 326 3.
РЯДЫ ФУРЬБ зом: 1О-1 у (Х.)Е-2О20 ~~1Т 3=0 1О-1 у (Х )Е-2О221.гг/Т У=О 1О-1 у (Х )Š— 2О2122 — 1)хг)Т С)О 1 2пО е т е т У'(х1) Их) 2: 'Ь е т 2 «я-1)2я 2 ( ) 2 Ян-О О 2 Цм-Ц~ е т е т с =Гу, где 1 = Щхе) ~(х1) )'(х2) )(х1О 1)) матрицу е называгот матрицегг прямого дискретного преобразования Фурье. Учитывая равенства х = уТ(И, у = О, 12' — 1, и вводя параметр д = е ~"'/, матрицу г' прямого дискретного преобразования Фурье можно записать в виде 1 Д )О-1 2) 21)О-1) (3.63) 2) цг )О-1 21)О-1) Так как линейный оператор У' взаимно однозначно отображает унитарное пространство Р1О на С)О, то существует обратный к нему оператор г 1: С)" — О Р)О. Линейный оператор У 1 каждому комплексному вектору с Е С ставит в 2 02~ е т 22 О 2~ е 2 *.г е 1 1 1 Ч Ч гг 1 2,4 М 2 202я е т 222 я е 1 г Ог е т 3.12.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
