IX Власова Е.А. Ряды (1081388), страница 43
Текст из файла (страница 43)
Не касаясь пока вопроса сходимости интеграла Фурье, представим его подынтегральную функцию в другом, более удоб- 4.2. Предетавлевве фувкцвй ввтегрввом Фурье 351 ном виде. Для этого вместо функций а(Л) и Ь(Л) используем их выражения вэ (4.1): а(Л) сов Лх + Ь(Л) е1пЛх = +00 +00 1Г Г 1Г Г = — Ц Г(1)совЛЬЙ1) совЛх+ — Ц Г"(1)в1пЛЬй вшЛх= +00 +ОО 1 Г 1 Г = — / Г(1) ~совЛ4соеЛх+ешЛЫпЛх) Ю= — ~ Г Ясов Л(С вЂ” х)М. Используя это представление, интеграл Фурье можно записать в виде 1 Г Ф(х) = — / дЛ Г(1) сов Л(й — х) Ж. (4.3) 0 -оо 4.2. Представление функций интегралом Фурье Теорема 4.2 (лемма Римана дяя несобстпеенных интегралов). Если функиия Г(х) кусочно непрерывна в полуинтервале (а, +оо) и абсолютно интегрируема в этом полуинтер- Как .и в теории рядов Фурье, основной задачей в теории интегралов Фурье является выявление условий сходимости интеграла Фурье абсолютно интегрируемой функции Г(х) к ней самой.
Для интегралов Фурье верна теорема, аналогичная теореме 3.11 для рядов Фурье. Упрощая дальнейшее изложение, будем говорить, что функния Г(х) кусочно непрерывна на бесконечном промежутке Х, если эта функция кусочно непрерывна на любом отрезке (а, Ь] С Х. Прежде чем приступить к обсуждению условий сходимости интеграла Фурье, докажем следующее утверждение. 352 4.
ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ вале, то 1пп у(х) сов(~х) Их = О, 1пп у(х) в1п(Рх) йх = О. ~-++ос у ~-++ос у < Выберем произвольное в > О. Так как функция у(х) абсолютно интегрируема, т.е. интеграл [ [у(х)[Их сходится [Ч1], а то найдется такое число А = А(в) > а, что [ [У(х)[дх < в/2. А Для любого ( Е К имеем +со +со ! у(х)сов((х)Их < [у(х)[Нх < —. А А Согласно лемме Римана для определенных интегралов (теорема 3.10), примененной на отрезке [а, А[, заключаем, что А 1пп [ Я(х) сов(~х) Нх = О. Поэтому найдется такое число В > О, 4-++со а А что при с > В будет верным неравенство [1 у(х) сов((х) с1х[ < ~. 2 Теперь для всякого числа с > В имеем +со А ! у(х)совЯх)Йх < у(х)сов(сх)йх + а а Е с + у (х) сов(Сх) дх < — + — = в.
2 2 А Это и означает, что 11ш [ у(х)сов((х)Их =О. ~-++со а Равенство 1пп [ у(х) вш(сх) дх = О доказывается анвло- 4-++со а гично. ° 353 4.2.Представление функций интегралом Фурье Теорема 4.3. Пусть функция Дх) удовлетворяет следующим условиям: 1) У(х) абсолютно интегрируема на р; 2) Пх) кусочно непрерывна на 11в; 3) в каждой точке х Е Ж существуют конечные обобщенные правая и левая проиэводневе. Тогда для любого х Е К интеграл Фурье (4.3) функции У(х) сходится и имеет место равенство -Ьоо +со — дЛ ~(2) сов Л(2 — х) дЕ. (4.4) 2 к„( О -оо < Для любого положительного числа А рассмотрим определен- ный интеграл, зависящий от параметра х: Ф(х, А) = — / ЫЛ ~($) сов Л(8 — х) д2.
1 Г О -со Несобственный интеграл Фурье (4.3) в точке х сходится, если существует конечный предел 1пп Ф(х,А), которыи и будет А-++со значением интеграла Фурье: (4.5) Ф(х) = 1пп Ф(х, А). А-++со Зафиксируем число А > О. Поскольку для всех е, х и Л [ДО)совЛ(2 — х)! < /,~(Е)[ и функция У($) абсолютно интегрируема на Й, то, согласно признаку Вейерштрасса равномерной сходимости интеграла по +ос параметру [ЧЦ, несобственный интеграл 1 ~($)совЛ($ — х)д1 сходится в любой точке х Е К равномерно по параметру Л на отрезке [О, +со).
Это по определению означает, что для любой точки х Е Ж и любого е > О найдется такое число ВО (х, е) > О, что для всех В1 < — ВО(х, е), В2 > ВО(х, е) и Л Е [О, +ос) выполняется 4. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ неравенство +оо в, ! Я у (3) сов Л(г — х) й — Дг) соо Л( — *) й Вг Для таких В1 и Вг имеем А Вг А +со ! гХЛ у (г) со8Л(г — х) й — (КЛ у (г) соОЛ(г — ж) й ~( о в, О -оо Вг А А +оо е ( | ИЛ Д$) соо Л(1 — х) й — ~($) соо ~(~ — х) й ( — оЛ = ь. о О -оо в, Это означает, что для любого х Е К существует предел А Вг 1пп — НЛ ~(8) соо Л(8 — х) й = Вг-~-со я вг-++оо О В А +оо о(Л ~(8) соо Л(Ф вЂ” х) й = Ф(х, А).
(4.6) -оо ела В ( О и Во > О. Разобьем В берем произвольные числа ы т саков, на каждом отрезок ( г, г, н (В В ] на конечное число таких отр чением быть о ых нкция Дх) непрерывна, эа исключением, жет концов отрезков. Такое раз пение во таких отрезков. Пер р д П еоп е елим ~если нео х бы ф нкция ах этого отрезка так, что ы .„у функции у(х) на концах а значит, и на всем ыла не ерывна и в этих точках, а значит, и на в оскольку по определению ке (6 бр1.
Это сделать можно, поскольку отрезке ( и 6р1. ф Д ) ожет иметь разрывы кусочно непрерывная фу ф нкция х мож е еленин П ичем при таком переопредел только первого рода. ри 4,2, пРелставленяе фувклий интегрьлам Фурь" (в конечном числе точек) интегралы не изменятся. Тогда функция у(Ф) сов Л(Ф вЂ” х) непрерывна на множестве [Ьд, Ьг] х [О, А] = ((й, Л) Е й~к: й Е [Ьд, Ьз], Л Е [О, А] ) и можно изменить порядок интегрирования в повторном инте- грале [Ч1]: А Ьь Ь, А | ИЛ У(О) сов Л(Ь вЂ” х) ди = си У(й) сов Л(4 — х) дЛ = о ь, ь, о ь, А ь, ~ ~| д вдпА(Ф вЂ” х) й,|(ь) сов Л(4 — х) НЛ = у (й) й. (4.7) ь, о ь, Заметим, что вш А(ь' — х) 4 — х ' (4.8) А, Ф=х. А сов Л(й — х) ИЛ = о А Вз в, | вшА($ — х) ЫЛ У(4) Л(~-х) а = У(ь) 44. о в, в, *) = А для любых а А б 1к, то интеграл Поскольку 1пп = для л 1 ]-+а ь — х А ю-еа ] совЛ(ь — х)ИЛ является непрерывной функцией переменных ~ и х при всех значениях этих переменных, в то о м числе и п.
и ь = х. Эта непрерывная функция, которая имеет ид ( . ), в (4.8) в обозначении вДвА(д *) входит в подынтегрвльное выражение в правой части равенства (4.7). тывая свойство аддитивности определенного инДалее, учи тегрвла, для всего отрезка [Вд, Вв] получаем аналогичное равенство: 4. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ 356 На основании равенства (4.6) имеем А +оо Ф(х,А) = — / 71Л Дй)совЛ(й — х)ГМ= 1 7Г -0Πà — ) зшАО х l юпА(Р х) — 1 / Г( )зш 4 В7->-со Я 4 — х я/ ( — 00 +0О 1 вшАи — Ди+ х) — 74и = 7Г 77 замена переменного ~=и+х, й=ГЬ (х постоянно) +со О 1 з1пАи 1 Г вшАи Г(77+х) 4и+ — ( Г(о+х) ЙГ.
7Г и 77 Π— 00 О +Оо зшАи Г ВГпАО Ди+х) ЙГ= / Г(х — О) — ГЬ. 00 О Используя это равенство, получаем следующее представление функции Ф(х, А): +00 +оо 1 г вшАи 1 Г вшАи Ф(х, А) = — /,Г(77+ х) йГ+ — ~ Г(х — и) йГ = 7Г О О зш А77 ~,Г(х+77) + Г(х — 77)) — Г(77. (4.9) ~ н О Выберем произвольную точку х Е Ж. Согласно условию теоремы, существуют конечные пределы Г(х+О) и Дх — О). Во втором интеграле сделаем замену и = — и переменного интегрирования: 357 4.2. Предстаилеиие фуиииий иитегралом Фурье Испольэуя интеграл Дирихле | я1пАи и — ди=-, А)0, и 2' о дробь фх+0) + У(х — 0)) /2 можно представить в виде (~(х+0) + У(х — 0)) еЬ.
(4.10) 2 о Вычитая (4.10) иэ (4.9), находим у(х+О) + У(х — 0) ! 2 = - '| (и*+.~+ л*-.~): о 1 Г з1пАи — — / (У(х+0)+ у(х — 0)) — Ыи = о 1 /' (У(х+и) — 2(х+0) 2(х — и) — Дх — 0)) я/ ~ М и о Заметим, что функция 4 (х+и) — у (х+0) у (х-и) — у (х — 0) д(х, и) — + пРи всех х Е К является кусочно непрерывной функцией пеРеменного и в промежутке (О, +ос). Действительно, функции У(х+ и) и 2 (х — и) кусочно непрерывны на К, так как кусочно непрерывна функция у(и).
Поэтому функция д(х,и) кусочно непрерывна в интервале (О, +со), и остается проверить существование конечного правостороннего предела этой функции в 358 4. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ точке и = О. Но это утверждение, как легко заметить, эквивалентно существованию во всех точках х Е И конечных обобщенных левых и правых производных 1(х+Л) — 1(х+0) Г+(х+0) = 1пп Ь-++О Л Г(х — Л) — 1(х — 0) Г' (х — 0) = 11ш Ь-++Π— Л что гарантируется условиями теоремы. Однако применить лемму Римана (см. теорему 4.2) к полученному несобственному интегралу нельзя, поскольку не известно, является ли функция д(х,и) абсолютно интегрируемой по переменному и в промежутке [О, +со).
Выберем произвольное положительное число б и представим полученный интеграл в виде суммы трех интегралов: Ф(х, А)— Г(х+0) + Г(х — 0) 1 Г = — 1 д(х,и)ашАиои=11+1з+Хз, 2 о где 6 1 Г 11 = — 1 д(х,и)а1пАипи, о +СО 1 Г Г(х+и)+Дх — и) 1,= ашАиди, 0' 1(х+0) + 1(х-0) Г зшАи 1з =— ( — Ни. Рассмотрим эти три интеграла.
Поскольку функция д(х,и) кусочно непрерывна в промежутке [О, +со) и, следовательно, 4.2. Предетеалеиие фуииций иитеграеом Фурье 359 на отрезке [О, 6], то, согласно лемме Римана для определенных интегралов, интеграл 1~ стремится к нулю при А -~ +оо. Функция ~р(х,и) = [1(х+и) + /(х — и))/и в интеграле 1з при каждом фиксированном х Е К является кусочно непрерывной функцией переменного и в полуинтерввле [6, +оо). Поскольку для любых и Е [6, +ос) верна оценка /(х+и)+/(х — и) [ Ц(х+и)~+ (У(х-и)! 6 и функции /(х+и) и /(х — и) абсолютно интегрируемы по переменному и на И, то функция ~р(х,и) является абсолютно интегрируемой по переменному и во всем промежутке [6, +оо), 6 ) О.
Поэтому в силу теоремы 4.2 интеграл 1з стремится к нулю при А — ~+со. Наконец, для интеграла 1з имеем замена и=4/А, еЬ = «й/А ЮА И, следовательно, ГвшАи . Гвш 11ш / оп= 11ш / — й= О, А->+оо Ю А-++оо ь 81П е поскольку интеграл Дирихле [ — еИ сходится (равен я/2). а Значит, интеграл 1з также стремится к нулю при А -> +со. Таким образом, учитывая полученные пределы для интегралов 1~, 1з и 1з, прнходим к следующему выводу: /(х+0) + /(х — 0) ) А-++оо ~ 2 или /(х+0) + /(х — 0) А-++оо 2 360 4. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ Это означает (см. (4.5)), что при всех х Е К несобственный интеграл Фурье сходится и равен полученному значению: 1 Г Г Г'(х+О) + Г'(х-О) Ф(х) = — / «1Л / Г" ($) сов Л(1 — х) й = О -оо Заметим, что если х является точкой непрерывности функ- ции Г(х), то Г (х+О) + Г (х — О) Г (х) + Г (х) 2 2 и равенство (4.4) принимает вид +оо +оо .«(х) = — «1Л «(М) соа Л(й-х) й.
(4.11) О -оо Следствие 4.1. Если «рункция Г'(х) кусочно диу«у«еренцируема в каждом конечном промежутке числовои прямои К и абсолютно интегрируема на К, то ее интеграл Фурье (4.3) в любой точке х Е К сходится и 1 Г у(х+О) + Г (х-О) «ГЛ / Г'(8)соаЛ(8 — х)й = -о Следствие 4.2. Если функция Г'(х) дифференцируема и абсолютно интегрируема на К, то ее можно представить своим интегралом Фурье: Г"(х) = — / «1Л Г'($)соаЛ($ — х)й> х с К. 1 Г О Сформулируем еще один часто применяемый на практике достаточный признак сходимости интеграла Фурье, аналогичный признаку Дирихле для рядов Фурье. 42.
Предстанленяе функций янтеграеом Фурье 361 Теорема 4.4. Пусть функция Дх) кусочно непрерывна и кусочно моиогвонна в каждом конечном промежутке числовой прямой К (т.е. удовлетворяет условиям Дирихле на бесконечном иромежуепие ( — оо, +со) ) и абсолютно интегрируема на К. Тогда в любой точке х Е Ж ее интеграл Фурье сходится и имеет место равенство — ~ИЛ ~У(1) Л(1- )а=~(*+ )~~(* ц,/ / 2 0 -оо Пример 4.1.
Представим функцию л ~=( интегралом Фурье. График функции изображен на рис. 4.1. Функция ~(х) имеет единственную точку разрыва первого 1 рода х = О, в промежутке ( — оо, 0] монотонно возрастает, а в промежутке (О, +со) постоянна. Сле- О довательно, в каждом конечном Рис. 4.1 промежутке числовой прямой Ж функция Дх) интегрируема, кусочно непрерывна и кусочно монотонна. Проверим абсолютную интегрируемость функции Дх): Таким образом, функция Дх) удовлетворяет условиям теоремы 4.4 (отметим, что у(х) удовлетворяет и условиям теоремы 4.3).
Поэтому интеграл Фурье функции ~(х) в каждой 362 4. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ точке х Е Ж сходится к значению фх+О) + Х(х-О))/2: ) = — ' Гдл у(я) ~л(я- )й= 2 я,/ 0 -оо +со — дЛ е сояЛ(л — х)сй. 0 -слл Для получения интеграла Фурье в явном виде вычислим этого два раза метод внутренний интеграл, применяя для интегрирования по частям: 0 0 я 1(Л,х) = е'сояЛ(1 — х)лй= сояЛ(л — х)лХе = — 00 ллем о ~0 л(л-,~ — ~,'Л л(л- д=, л*л о 0 ' Ля- И'= + Л е яшЛ(й — х) сй = сояЛх+ Л яшЛ(я — х) йе = о ~0 =сояЛх+ Ле яшЛ(г — х)~ — Л / е~о(я1пЛ(я — х)) = 0 = сояЛх — ЛО1пЛх — Л~ е сояЛ(й — х)лй = = сояЛх — Ля!пЛх — Л Х(Л,х). Итак 1(Л х) = сояЛх — ЛяшЛх — ЛОХ(Л,х) и, следовательно, 1 сояЛх — ЛО1пЛх Х(л'х) 1 л2 ЗОЗ 4.2.Предстанление функций интегралом Фурье Таким образом, для всех х Е К У(х+0)+~(х — 0) 1 /' совЛх — ЛвшЛх 2 я / 1+Ля О И, наконец, поскольку все точки х Е К, кроме х = О, являются точками непрерывности функции Дх), т.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
