IX Власова Е.А. Ряды (1081388), страница 45
Текст из файла (страница 45)
(4.15) 2 я,/ (рассмотрены точки х е [О, +со), поскольку исходная функция Дх) определена только на [О, +со)). В точке х = 0 доопределенная четная функция Дх) имеет, очевидно, равные односторонние пределы Д+0) = Д вЂ” 0), позтому в точке х = 0 это разложение исходной функции Дх) в интеграл Фурье можно уточнить следующим образом: у(+0) = — / ИЛ Г ЯсовЛСй. 2 Г О О Пример 4.4.
Представим интегралом Фурье функцию 1 , 0<х<1; О, х > 1, доопределив ее до четной функции в интервале ( — оо, 0). График доопределенной функции изображен на рис. 4.4. Запишем ее интеграл Фурье Рис. 4.4 +ос +оо +со 1 Ф(х) = — / совЛхйЛ / ГЯсовЛ1й= — ( совЛхНЛ совЛ1й 2 Г Г 2 я О О О О и вычислим внутренний интеграл: — ЛфО; 1, Л= О. | 1 сов ЛОй = О (4.16) 374 4. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ 1 Поскольку 1пп(з1пЛ)/Л = 1, то интеграл [созЛ11й является Л-+О О непрерывной функцией от Л при всех значениях Л Е К. Для краткости функцию (4.16) обозначим (зш Л)/Л.
Тогда интеграл Фурье доопределенной на К функции Г(х) принимает вид 2 ГзшЛ Ф(х) = — / — созЛх11Л, х Е К. л о Доопределеннал функция Г(х) кусочно непрерывна, кусочно монотонна на каждом отрезке и абсолютно интегрируема на К, т.е. удовлетворяет условиям теоремы 4.4, следовательно, верна формула (4.15).
Учитывая, что все точки х Е К, кроме х = -1 и х = 1, являются точками непрерывности доопределенной функции Г(х), а также то, что исходная функция Г(х) задана только на положительной полуоси [О, +со), получаем следующее представление исходной функции Г(х) интегралом Фурье: 2 ГзшЛ ,Г(х) = — / — соз Лх 14Л, х Е [О, 1) 1.1 (1) +со). †./ л о В точке х = 1 интеграл Фурье (4.15) равен 2 /' з1пЛ Г(1+0)+У(1 0) о и не совпадает со значением исходной функции (У(1) = 1) Ф Функцию Г(х), определенную первоначально только на положительной полуоси (О, +ос) (и абсолютно интегрируемую на ней), на отрицательную полуось ( — оо, 0) можно продолжить до нечетной, положив Г(х) = -Г( — х), х < О; О, х=О. 4.3.
Ицтеграа Фурье в случае четцьп в цечетцых фуцкццй 375 Если первоначально функция 7" (х) была определена в точке х = 0 и имела в этой точке ненулевое значение, то в этой точке ее придется переопределить, положив у(0) = О. Доопределенная таким образом функция у(х) задана на всей числовой прямой (-оо, +со), нечетна и абсолютно интегрируема на К. Поэтому ее интеграл Фурье можно вычислить, используя формулу (4.14). Если функция 1(х) в интервале (О, +оо) удовлетворяет условиям теоремы 4.3 или 4.4 (кусочно непрерывна, обладает односторонними производными или кусочно монотонна на каждом отрезке), то доопределенная функция у (х) удовлетворяет условиям теоремы 4.3 или 4.4 на всей прямой К.
Следовательно, для функции 7 (х) при х Е (О, +со) выполняется соотношение +со +оо — з1пАх НА У(1) з1пАИ1 (4.17) 2 и,/ (рассмотрены точки х Е (О, +со), поскольку исходная функция Дх) определена только на (О, +со)). Заметим, что в точке х = 0 доопределенная нечетная функция у(х) имеет противоположные односторонние пределы 7" ( — О) = — у (+О), а разложение 2 (4.17) представляет собой тривиальное тождество 0 = — 1 ОНА. ' о Пример 4.5.
Представим интегралом Фурье функцию доопределив ее при х < 0 нечетным образом. При этом необходимо изменить ненулевое значение функции в точке х = 0 ЩО) = 1), положив 7'(О) = О. График доопределенной на Ж нечетной функции У(х) изображен на рис. 4.5. Рис. 4.5 376 4. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ Запишем ее интеграл Фурье Ф(х) = — / ОШЛхйЛ у у(С)$1пЛ1й = — у $1пЛхйЛ $1ПЛИ1 О о и вычислим внутренний интеграл: 1 1 — соз Л | 1пиа = л о О, Л~ О; (4.18) Л = О. 2 Г1 — созЛ . Ф(х) = — / зшЛх1(Л, х Е К. —.,/ О Доопределенная функция Г(х) кусочно постоянна и абсолютно интегрируема на К, следовательно, удовлетворяет условиям теоремы 4.3, а значит, верна формула (4.17). Учитывая, что все точки х Е К, кроме х = О, х = -1 и х = 1, являются точками непрерывности доопределенной функции Г" (х), а также то, что исходная функция Г(х) определена только на положительной полуоси (О, +ос), с помощью интеграла Фурье получаем следующее представление исходной функции Г(х): 2 Г1 — созЛ .
Г(х) = — 4( зшЛхоЛ, х Е (О, 1) 0 (1, +ос). †.( л о В точке х = 1, согласно (4.17), имеем (4.19) 2 /' 1 — сов Л, Д1+0) + Д1-0) 1 о (4.20) 1 Поскольку 1пп(1 — созЛ)/Л = О, то интеграл |зшЛ1й явля- Л-+О о ется непрерывной функцией переменного Л при всех значениях Л Е К. Функцию (4.18) для краткости обозначим (1 — сов Л)/Л. Тогда получим 4.3. Интеграл Фурье н случае четных и нечетных фун днй нх " 377 т.е. значение интеграла Фурье в этой точке не совпадает со значением исходной функции (7'(1) = 1). В точке х = О, как отмечалось выше, равенство (4.17) вырождается: О= — У О(Л.
2 Г о Значение интеграла Фурье и в этой точке не совпадает со значением Дх), поскольку ДО) = 1. С помощью интегралов Фурье можно находить значения некоторых несобственных интегралов. Вычислим, например, интегралы 3 и Ге1п 1сое$ 1 ет. о Л Л 2 ьйп — НЛ = 2 +оо +со . 2 1 2 1 — соеЛ, Л 2 7' 2е1п 1=У(-) = — 1 „е,-н= — 1 +оо — — Ж, и,/ 2 о замена переменного Л=2$, 26(0,+ос), оЛ=2й откуда Первообраэные подынтегральных функций этих интегралов не являются элементарными функциями, поэтому рассматриваемые интегралы не могут быть вычислены прямым способом (с помощью формулы Ньютона — Лейбница). Для вычисления первого интеграла используем функцию иэ примера 4.5 и ее представление интегралом Фур е ( .
): Ф ье (4.19): 4. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ 378 Второй интеграл можно получить, если воспользоваться значением интеграла Фурье той же самой функции в точке х = 1 (см. (4.20)): л л Л ~ 2в1п — сов — дЛ = 2 2 +ос +со 1 2 Р1 — совЛ . 2 /2втп 1 ЛдЛ= — ~ 2 я/ Л я О О +00 8 /' в1пввсов4 я,| О замена переменного Л=2й, СЕ(0,+со), дЛ=2дв В результате находим +оо | вшв 4совт тг ~й =— 16 О 4.4.
Комплексная форма интеграла <лэурье Для дальнейшего изложения рассмотрим некоторые своиства комплексных функций дейстпвитпельного перемен- кого, т.е. отображений, область определения которых является подмножеством К, а область значений — подмножеством С.
Для краткости такие функции будем называть комплексноэначными функциями. Отметим, что комплекснозначную функцию можно рассматривать как частный случай функции комплексного перемеккого, у которой и область определения, и область значений включаются в С. Всякую комплекснозначную функцию у(х), х Е и, можно представить в виде Дх) = и(х) + то(х), где действительные функции действительного переменного и(х) и о(х) представляют собой дейстпвитпельную частпь Ве)(г) и мнимую частпь 1шДг) комплексноэначной функции Дх).
Комплексноэначную функцию у (х) = и(х) + Ы(х) называют ограниченной на мнозкестпве Х С К, если на этом 4.4. Комплексная форма илтегряла Фурье ЗУО 1пп у(х) = с, я-+яа если действительная функция действительного переменного (у(х) — с~ является бесконечно машй при х -+ хе,т.е. Че>0 Эб=б(е) >О (('хай( 0< )х — хе~ < б ~ )Дх) — с~ <е. Предел функции у(х) = и(х) + зе(х) при х -+ хе существует и равен с = а+1Ь тогда и только тогда, когда существуют пределы 1пп и(х) = а и 1пп и(х) = Ь.
Действительно, так как я-+яа я->яа = !~(х) — с~, = ~Дх) — с!, !и(х) — а! < ~и(х) — Ь! < то из условия !У(х) — с/ -+ 0 при х — + хе следует, что !и(х) — а/ -+ 0 и /о(х) — Ь| -+ 0 при х -~ хе. А зто и означает существование указанных пределов у функций и(х) и и(х). Наоборот, если 1пп и(х) = а и 1пв е(х) = Ь, то функции !и(х) — а~ и !е(х) — Ь| я-+яа я-+*а являются бесконечно малыми при х -+ хе. Следовательно, функция у (х) — с также будет бесконечно малой при х -+ хе, так как (У(х) — с~ = (и(х) — а)~+ (е(х) — Ь)з < ~и(х) — а~ + ~и(х) — Ь~ множестве ограничена действительная функция действитель- (У( ((=и '( (+"'(*( ая т число М > О, что для всех х Е Х выполняется неравенство ~Дх)~ < М.
Очевидно, что действительная и мнимая части ограниченной комплекснозначной функции являются, в свою очередь, ограниченными действительными функциями, и наоборот. Комплексное число с = а+ 1Ь называют пределом колаклекскозкачкой фиккиии у(х) при х-+ хе и пишут 380 4. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ (здесь мы использовали неравенство ~(а'+ Ьз ( а+ Ь, верное для любых а, Ь ) О). Основные свойства пределов действительных функций (предел суммы, разности, произведения, частного) распространяются и на комплекснозначные функции.
Комплексноэначную функцию Дх) = и(х) + то(х) называют непрерывной в тпочке хо Е К, если 1пп т'(х) = У(хо). х-+хо Из сказанного выше следует, что комплекснозначная функция 4 (х) = и(х) + тс(х) непРеРывна в точке хо тогДа и только тогДа, когда в этой точке непрерывны действительные функции и(х) и о(х).
К'омтьяексноэначную функцию называют кусочно некрерывной в некотором промежутке, если кусочно непрерывными в этом промежутке являются и действительная, и мнимая части этой функции. Производной комп.яексноэначной функции Дх) = и(х)+ то(х) х в точке хо Е К называют предел (если он существует) Дх) — Дхо) у (хо) = 11ш л-+хо х хо Из свойств предела~ следует 'то 4 (*) производная функции т(х) в точке хо существует тогда и только тогда, когда в этой точке существуют производные функций и(х) и и(х).
Пусть комплекснозначная функция т (х) = и(х) + те(х) определена на отрезке [а, Ь] числовой прямой. Говорят, что комплексноэначная функция Дх) интпеерируема на отпрезке [а, Ь], если на этом отрезке интегрируемы ее действительная и мнимая части и(х) и е(х). При этом определенным инптеаралом отп комплекснозначной функции Дх) по отрезку [а, Ь] называют число Ь ь Ь 4,4, Комваевсвея фОРма ввтеграаа фурье и и(х) ох. О | и(х) ох а При атом полагают, что +со +00 +со | Дх) Ых = и(х) ох+ ю и(х) Йх. а а а На определенные и несобственные интеграл ы от комплекстся основные свойства иннозначных функции распространяю к ". Нап имер, несобствентегралов от действительных функций. р ный интеграл обладает свойством линейности +со -)-ао ( у()+Оп(йа= |ым*~е|зФ~* а а а г е а ~Я Е С.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
