IX Власова Е.А. Ряды (1081388), страница 49
Текст из файла (страница 49)
Воспользуемся этими свойствами. Во-первых, на основании теоремы 4.7 Р[Д(Л) = Р[о+ 1е](Л) = Р[и](Л) + 1Р[е](Л) и, следовательно, функция 7"(Л) = Р[~](Л) непрерывна как сумма двух непрерывных функций Р[и](Л) и 1Р[е](Л). Во-вторых, 11ш Р[У](Л) = Бш Р[и+4и](Л) = = 1ш1 (Р[и](Л) +1Р[е](Л)) = Бш Р[п](Л) +1 11ш Р[е](Л) = О, А-+со ~ А-+со А->со т.е. функция ДЛ) = РЩ(Л) стремится к нулю на бесконечности. Ограниченность ДЛ) на К можно доказать с помощью той же оценки (4.38) для интегралов, которая справедлива и для комплексной функции Д1). > 407 4.7.
Свойства преобрааовавка Фурье Замечание 4.4. Можно показать, что доказанное для абсолютно интегрируемой кусочно непрерывной функции У(8) равенство 1пп 7(Л) = О, вообще говоря, верно и для функций А-~оо 7($), обладающих лишь свойством абсолютной интегрируемости. 7г Часто в прикладных задачах приходится вычислять преобразования Фурье не от самой функции 7" (х), а от ее производных.
Оказывается, существует простая взаимосвязь между преобразованиями Фурье функции 7'(х) и ее производных. Прежде чем перейти к изучению данного вопроса, докажем лемму. Лемма 4.1. Пусть действительная функция 7(к), а также ее производная у'(х) непрерывны и абсолютно интегрируемы на К. Тогда функция 7" (х) на бесконечности стремится к нулю: 1пп 7"(х) =О. < В силу формулы Ньютона — Лейбница имеем Дх) = ДО) + 7~($) ~й, х Е К.
О Поскольку функция У'($) абсолютно интегрируема на К, то +оо О несобственные интегралы ) )~'(й))й и 1 (~'(й)~44 сходятся, О +оо -оо О а значит, сходятся и интегралы / у'ЯсН и ) ~'(4)~й [Ч1]. О -00 Таким образом, существуют конечные пределы +со О 1ш1 7'(х) =у(0)+ У'(с)о1 и Бш у(х) =7'(О) — 7"Яй. Докажем, что оба эти предела равны нулю. Допустим, что хотя бы один из них не равен нулю, например первый: 1пп у (х) = С, С ~ О. 408 4. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ Тогда, согласно теореме о сохранении функцией знака своего (ненулевого) предела [1-8.4), найдется такое число М > О, что для всех х > М выполняется неравенство у (х) > С/2 > 0 (С > 0) или у (х) < С/2 < 0 (С < 0). Другими словами, для всех х > М выполняется неравенство [у(х)[ » — О.
[С[ Отсюда на основании признака сравнения для несобственных интегралов [Ч1] получаем [' [~(1)[й = +ос. Следовательно, ШЯ[й= УЯ[й+ Й1)[й =+со, 00 СО М что противоречит условию абсолютной интегрируемости функции ~ на прямой К. Рассуждая аналогично, получаем противоречие и в случае, когда не равен нулю второй предел. Таким образом, предположение неверно и действительно оба предела равны нулю: 1пп у(х) =О, 11ш Дх) =О.
Теорема 4.0 (теорема о преобразовании Фурье производной). Если комплекснозначная функция ~ и ее производные до и-го порядка включительно существуют, непрерывны и абсолютно интегрируемы на числовой прямой К, то справедливы следующие равенства: Р[УОО[=(1Ь)'Щ[, й=~, . (4.39) ~ Докажем теорему для случая п = 1. Пусть функция Дс) и ее производная первого порядка у'(1) определены, непрерывны и абсолютно интегрируемы на всей числовой прямой Ж. Рассмотрим случай, когда функция 1($) действительная. Вычислим преобразование Фурье от производной ~'(х), применяя метод интегрирования по частям для несобственного 409 4.7.
Свойства преобразоваввв Фурье интеграла: +оо +по ;м 1 Г ом Р[~'] = — ~'(6)е '" й = — ( е ему(6) = = — '(.-'"яо'"-~по -"') = +оо /' Дф)е-вм Щ =;ЛР[Д ~/2я У Здесь использованы равенства е 'а~уЯ] = 1пп [е 'м~(6)) — 1пп (е '"~ДЕ)) =0 — 0=0> 1-оо Е-++оо $-ь — оо которые выполняются, поскольку функция е ьм ограничена по модулю, а функция У($) в силу леммы 4.1 стремится к нулю на бесконечности: 1пп у(6) =О, 11ш Дь) =О. ~-+~-оо о-+— Пусть функция у (ь) является комплекснозначной, т.е. ~(1) = = и(ь) + Ы(1), где и(ь) и и(ь) — действительные функции. Тогда, согласно теореме 4.7 и формуле (4.39), для действительных функций имеем Щ'] = Р[й + Ы'] = Р[п'] + 6Р[с'] = 1ЛР[и] + 1(1Л) Р[с] = = 1Л(Р[и]+1Р[и]] = 1ЛР[и+ гв] = аЛР[У].
Итак, теорема для случал и = 1 доказана. Справедливость формулы (4.39) для произвольного п е 1Ч можно доказать с помощью метода математической индукции. ~ Пример 4.9. Найдем преобразование Фурье функции ,1о ~р(х) = — ( — 1, хай, Ь>0. *~б *) 411 4.7. Свояотаа преобреаоваввя Фуръе Окончательно получаем Р[у](Л) = (1Л)~Р[7](Л) = (еЛ)~~/ — — = — ~/ — — е ~~~~, Л Е й. ~/2 Ь ~/2 6 Теорема 4.10. Если комплекснозначная функция 7 и ее производные до п-го порядка включительно существуют, непрерывны и абсолютно интегрируемы на числовой прямой Ж, то ее преобразование Фурье 7'(Л) = Р[7](Л) удовлетворяет условию щ](л)= ( — „), л < Функция 7 удовлетворяет условиям теоремы 4.9, поэтому Р[УОО] = (1Л)" Р[7], откуда заключаем, что Р[У](Л)=~[~, ]( ), Л~О. (1Л)" Следовательно, ]Р[~](Л)]=!Р[~00](Л)] — „, Лфб.
(4.40) Поскольку по условию функция 7 (") (х) непрерывна и абсолютно интегрируема на й, то в силу теоремы 4.8 1пп Р[7'("1](Л) = О, А-+со или 11ш ]Р[700](Л)[ = О. С учетом этого равенства из (4.40) Л-+оо получаем, что [Р[у](Л)[ = о( — „) и Щ](Л) = о( — „), Теорема 4.11. Если комплекснозначная функция Дх) непрерывна на й, а функции Дх), хДх), ..., х"Дх) абсолютно интегрируемы на Ж, то преобразование Фурье Р[У] (Л) имеет на К производные до и-го порядка включительно, причем [Щ](Л)) = ( — ъ)~Р[х~У(х)](Л), в = 1, и. (4.41) 4.
ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ 412 < Докажем теорему для случая и = 1 и действительной функции. Пусть действительная функция ~(х) непрерывна на числовой прямой Й и функции у (х) и ху (х) абсолютно интегрируемы на И. В силу абсолютной интегрируемости функции Дх) существует ее преобразование Фурье Р[Д(Л), причем, согласно теореме 4.8, функция Р[у](Л) непрерывна на ж. Докажем, что она дифференцируема на К. Функции двух переменных у Яе ем и — Я$)е '«г) = — ь'Ц Яе ™ непрерывны на 1~~.
Кроа ме того, в силу равенства ]ЕДА)е ' ] = [4~(й)[, (Л, й) Еж, и абсолютной интегрируемости функции $Д1), а также признака Вейерштрасса равномерной сходимости интеграла по параметру [Ч?] несобственный интеграл ] 1~(Ф)е 'Мй сходится равномерно по параметру Л на К. Позтому, согласно теореме о дифференцировании несобственного интеграла по параметру [Ч1], функция Р[~](Л) является дифференцируемой на К, причем для всех Л Е Й +ОО [Р[~](Л)) = — ~(1)е ' Ж вЂ” — [~($)е ' ) й = ~Г2х / дЛ вЂ” — 1 1~(С)е ьисй = — 1Р[ху(х)](Л).
~/2х 1 Пусть функция ДФ) является комплекснозначной, т.е. ~($) = = и(й) + зе(й), где и(й) и и(1) — действительные функции. Тогда на основании теоремы 4.7 и полученной выше формулы для 414 4. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ Таким образом, окончательно имеем ~2 1 — 2Л' Р[у](Л) = — [Р[Д(Л)) = 2 ~ — з, Л Е Ж 46 (1+Л )' При решении многих задач, связанных с дифференциальнымиуравнениями, частоприходится рассматривать специальную операцию над функциями. Сеертпиох1 фднмцнх1,( и д, заданных на Ж, называют функцию ~хд(х) = Д8)д(х — 1)й, х ЕЖ, при условии, что интеграл справа сходится при всех х Е Ж.
Теорема 4.12. Если функции у и д непрерывны, ограничены и абсолютно интегрируемы на всей прямой Ж, то свертка ~ *д функций ~ и д также непрерывна, ограничена и абсолютно интегрируема на всей прямой Ж, причем Р~~ х д) = 42яР[ЯР[д). Таким образом, преобразование Фурье свертки функций У и д есть произведение преобразований Фурье функций ~ и д. Дополнение 4.1. Некоторые свойства несобственных интегралов с параметрами Пусть действительная функция ~р(я,Л) двух переменных определена на множестве Р = ((х, Л) Е Ж~: х е Х, Л е Л), где Х и Л вЂ” некоторые числовые промежутки.
Функцию у(х, Л) называют равномерно сходящейся по переменному Д.4.1. Несобствеввме яятегралы с яврвметрвмя я иа веиожестпее Х к функции ф(я) при стремлении Л -~ Ло, Лв Е Л, если Ус>0 Зб=б(е) >0 ЧЛЕй ЧхЕХ: О<~Л-Ле~<б =ь ~р(я,Л)-~б(я)~< . Равномерная на множестве Х сходимость функции у(я, Л) к ф(х) при Л -+ Ле отличается от сходимости у(я,Л) к ф(я) в каждой точке х Е Х тем, что величина б, существование которой декларируется в определении сходимости, зависит только от е и не зависит от х Е Х (т.е.
одинаковая для всех х Е Х), в то время как при сходимости в каждой точке я Е Х зта величина зависит от е и, вообще говоря, от х Е Х. Факт равномерной на множестве Х сходимости функции у(я,Л) к функции фх) при Л -~ Ле обозначают следующим образом: у(х, Л) =и ф(х), Л -+ Лс. Напомним, что сходящийся в каждой точке Л Е й С И несобственный интеграл ) у(х, Л) Их называют равномерно схоо дюцимся по параметру Л на множестве Л 1Ч1], если Че>0 ЗЬ=Ь(е)~~а 'тА>Ь УЛЕЛ: у(х,Л)дх <с А (т.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
