IX Власова Е.А. Ряды (1081388), страница 52
Текст из файла (страница 52)
Банаховы пространства Выделим один важный класс нормированных простпранстпв. Этот класс появляется в результате попытки перенести на нормированные пространства критерий Коши сходимости числовой последовательности [1-6.4], который звучит так: числовая последовательность сходится тогда и только тогда, когда она фдндаментпальна. Понятие фундаментальной последовательности без труда переносится на произвольные метрические простпранстпва.
Метпричесние простаранстава, в которых любая фундаментальная последовательность сходится, называют полнььни. Понятия фундаментальной последовательности и полноты можно ввести и в нормированных пространствах, которые можно считать частным случаем метрических пространств. 433 5.2. Баваховы вроотравства Определение 5.2. Последоввпьельность (хв)~ ~ элементов нормированного пространства Ь называют фундоментпальной, если выполняется следующее условие: Ыс > О ЭФ(в) е Я Чп > Ф(е) Чй Е М ))хв — ха+а!) < с.
Теорема 5.1. Если последоватпельность (х„)'„"' элементов нормированного пространства Ь сходвщсл по корме к некоторому элементу хс Е Ь, то зта последовательность является фундаментальной. ~ Поскольку последовательность (хв)воо ~ сходится по норме к хо Е Ь, то 1пп !)хв — хо ~~ = О, т.е. в соответствии с определением в-+со предела И > О ЭМ(с) Е 1Ч Чп > М(с): )(х„— хе)! < —. Е Возьмем произвольные числа и > Л(с) и в Е г1. Тогда, согласно свойству нормы, имеем с е )(хв — ха+а)! < йх„— хс))+ Зхо — хо+ай < — + — = е, 2 2 т.е. последовательность (х„)'„~ ~ фундаментальна. ~ Обратное теореме 5.1 утверждение, вообще говоря, неверно: существуют нормированные пространства, в которых не всякая фундаментальная последовательность сходится. Однако имеет место следующая теорема.
Теорема 5.2. Если последовательность (хв)'„~, элементов нормированного пространства Ь фундаментальна и некоторая ее подпоследовательность (х„) "о ~ сходится по норме (к некоторому элементу х Е Ь), то последовательность (хв)о ~ также сходится по норме (к тому же элементу х). ~ Сходимость подпосяедовательности (х„) ~ означает, что 1пп ))хв — х() =О, т.е. т-+со Ж > О ЭМ(в) Е 51 Чт > М(с): Йхв — х)! < —.
434 5. РЯДЫ В НОРМИРОВАННЫХ ПРОСТРАНСТВАХ Используя ту же величину в, в силу фундаментальности после- довательности (х„) получаем ЗЛ(в) Е М Уи > И(в) М,а > и: ]]х„— х„]] < —. Зададим натуральное число К(в) по формуле К(в) = шах(Ф(в), им1,) ). Выбирая любой номер и > К(в), находим какой-нибудь номер и„, > и (при этом, очевидно, тп > М(в)). Тогда ]]х„— х]] ]]х„— х„]]+ [[х„— х]] < — + — = е. Окончательно имеем 'й > 0 ЛК(в) Е М Чи > К(в): ]]х~ — х[] < в, что означает 1пп ]]х„— х][ = О, т.е. последовательность (х„) и — ~оо сходится к х Е Ь по норме в Ь.
> Приведем пример нормированного пространства и фундаментальной последовательности в нем,не сходящейся ни к одному элементу этого нормированного пространства. Пример 5.5. Рассмотрим нормированное пространство Со[0,1] многочленов с нормой ]]р[] = шах ]р(Ф)], р Е Со[0,1]. ~е(о, 1) (5.4) Это нормированное пространство является подмножеством нормированного пространства С[О,Ц функций, непрерывных на отрезке [0,1], причем норма в Се[0,1], заданная соотношением (5.4), совпадает с нормой в С[0,1]. Поэтому сходимость последовательностей многочленов по норме (5.4) эквивалентна равномерной сходимости этих последовательностей на отрезке 435 8.2.
Бакановы пространства [0,1]. Покажем, что последовательность (р„(1))'„ 1 многочленов 12 1п Рп(1) =1+1+ — +" + —, п6 5!, 2! и!' является фундаментальной, но не сходится по норме (5.4) ни к какому многочлену. Последовательность (ро(1))~ 1, являясь последовательностью часпзичньп сумм ряда Тейлора функции е1, сходится к непрерывной функции е~ равномерно на отрезке [О, Ц (см. 2.5), а значит, и по норме (5.4) в нормированном пространстве С[0, 1]. Согласно теореме 5.1, эта последовательность фундаментальна в нормированном пространстве С[0,1], и, следовательно, н нормированном пространстве Со[0,1].
Однако последовательность (р„($)) в нормированном пространстве Со[0,1] не имеет предела, так как такой предел будет пределом этой последовательности и в С[0, 1]. Но в этом нормированном пространстве пределом последовательности является функция е~, не принадлежащая Со[0,1] (не является многочленом). ф Выделим класс нормированных пространств, в которых фундаментальность последовательности означает и ее сходимость. Определение 5.3.
Нормированное простпранстпво Ь называют полным, или банаховым простпранстпвом*, если в нем любая фундаментальная последовательность сходится. Примером нормированного пространства, не являющегося полным, является линейное пространство многочленов из примера 5.5. Приведем примеры банаховых пространств. Пример 5,6. Нормированное пространство !к с нормой ]]х]] = ]х[, х Е й, является банаховым в силу критерия Коши сходимости числовых последовательностей [1-6.5]. 'С. Банан (1892-1948) — польский математик, один из создателей современного функционапьного анализа.
436 Б. РЯДЫ В НОРМИРОВАННЫХ ПРОСТРАНСТВАХ Пример 5.7. Нормированное пространство К" с евклидовой нормой в Ех2, также является банаховым, поскольку сходимость в К" эквивалентна покоординатной сходимости, причем в К" верен критерий Коши сходимости последовательностей [Ч]. Пример 5.8. Нормированное пространство С[а, Ь] (см. пример 5.2) также является банаховым пространством, так как сходимость по норме этого нормированного пространства— это равномерная сходимость функциональных последовательностей, а для равномерной сходимости функциональных последовательностей верен критерий Коши, который можно сформулировать следующим образом.
Функциональная последовательность (и„(Ф)), Ф Е [а, Ь], сходится равномерно на отрезке [а, Ь] тогда и только тогда, когда для любого е > О существует такой номер Ж = Ф(е), что для любых номеров н, т > Ж(е) и любого числа $ Е [а, Ь] верно неравенство [и„($) — и ($)! ( е. Действительно, любая функциональная последовательность (и„(Ф)), ~6[а,Ь], может рассматриваться как последовательность частичных сумм некоторого функционального ряда (см. 2.1). Поэтому критерий Коши равномерной сходимости функциональной последовательности можно свести к кри|нерию Коши равномерной сходимости функционального ряда.
Отметим также, что равномерный предел функциональной последовательности, состоящей из непрерывных функций, согласно теореме 2.11, является непрерывной функцией. Следовательно, если функциональная последовательность из элементов нормированного пространства С[а,Ь] сходится на [а,Ь] равномерно, то предельная функция принадлежит С[а,Ь], т.е.
функциональная последовательность сходится в С[а, Ь] по норме. Не доказывая, отметим, что банаховыми являются также нормированные пространства п1 и 1, (см. примеры 5.3 и 5.5). 5.3 подпроотранотва нормнрованвмт пространств 437 3.3. Подпространства нормированных пространств Обсудим некоторые свойства конечноа1ерных нормированных простравсп1а.
Значительная часть материала будет в равной степени относиться и к действительным, и к комплексным нормированным пространствам. Чтобы упростить изложение, условимся далее обозначать и-мерное нормированное пространство через г", понимая под этим как действительное нормированное пространство 1к", так и комплексное нормированн-, пространство Сп. Любое суждение о г' " на самом деле есть два высказывания, первое — о К", а второе — о Со.
условимся также вместо Р' писать просто г, что подразумевает и К, и С. Теорема 5.3. Пусть Ь вЂ” произвольное и-мерное действительное (комплексное) нормированное пространство, в котором выбран некоторый базис а1, аг, а„. Если У: Ь -+ г'"— линейное отображение, ставящее в соответствие элементу х = = 6а1+ Сгаз+ + („ап Е Ь вектор-столбец его координат т(х) = (6, 6, ..., 6,) Е т'", то существуют такие положительные числа а и ~3, что для любого х Е Ь верно неравенство а[!.т(х)[[о < [[х[[, <,ВЩх)[[п, где [! [[, — норма в Ь, а [! [[„— норма в г" (евклидоеа в действительном нормированном пространстве и умитпармал— в комплексном). ч Отметим, что отображение У' является линейным и взаимно однозначным [1Ч]. Для любого х Е Ь, используя свойства нормы и неравенство Коши — Буняковского [1Ч], получаем [[х[[, = )(~ ~1а1[! < ~ [Я[[а1[[, < 1=1 и ~ [[си[!э = ЩУ'(х)[[п, (5.5) 438 в.
РЯДЫ В НОРМИРОВАННЫХ ПРОСТРАНСТВАХ где,8 = ~ Ца1Ц~ — постоянная, не зависящая от х. Итак, в=1 справедливость правого неравенства доказана. Докажем справедливость левого неравенства. С этой целью рассмотрим функцию д: Р" -~ К, определенную следующим образом: и д(х) = дф,...,~п) = ~~~~) (,а;!! = ЦхЦ и=1 и где х = ~; (;а; = У' 1(х) Е Ь. Покажем, что отображение д не1=1 прерывно на нормированном пространстве Р". Действительно, для любых векторов х и у, используя неравенства (5.1) и (5.5), получаем !д(*) — д(у)! = ! Ц*Ц. — ЦЬЦ.!< < Цх — уЦ <,ОЩх — у) Ц„= ЩУ(х) — У (у)Ц„= 1УЦх — уЦ„, где х = У 1(х), у = У 1(у).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
