IX Власова Е.А. Ряды (1081388), страница 50
Текст из файла (страница 50)
величина Ь(л) одинаковвл для всех Л Е Л). Понятие равномерной сходимости несобственного интеграла естественным образом можно свести к понятию равномерной сходимости +оо функции двух переменных: интеграл ) <р(х, Л) ах сходится о Равномерно на множестве й тогда и только тогда, когда Р(1, Л) = у(х, Л) сЬ ==а р(х, Л) йх, 1 ~ +оо.
416 4. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ Теорема 4.13 (тпеорема о предельном переходе под энаном несобстпеенноео интеерола). Пусть функция у(х, Л) определена на множестве Р = ((х, Л) Е Кз: х > а, Л ЕЛ), где Л С К, функция ф(х) — в промежутке [а, +со) и функция ~р(х,Л) сходится к функции ф(х) при Л -+ Ле равномерно по переменному х на любом конечном отрезке [а, А], Ле Е Л: ~р(х, Л) ==а Ф(х).
[а,А] +оо Кроме того, пусть несобственный интеграл ] ~р(х,Л)дх схоа дится равномерно по параметру Л на множестве Л; на каждом конечном отрезке [а, А] функция ф(х) интегрируема и несоб- +00 ственный интеграл [ ф(х) дх сходится. Тогда а м Выберем произвольное е > О. В силу определения равно+оо мерной сходимости несобственного интеграла [' у(х,Л)дх по а параметру Л на множестве Л найдется такое число Ь = Ь(е) > а, что для любого числа А > Ь(е) и любого Л е Л выполняется неравенство (4.42) 3 А Из условия сходимости несобственного интеграла [ ф(х)Ых а следует, что существует такое число Ье = Ье(е) > а, что для любого числа А > Ье(е) верно неравенство (4.43) ф(х)дх < —.
А Д.4.1. Несойствеввые интегралы с параметрами 417 Выберем А > шах(сл(е),Ье(е)). Тогда справедливы оба неравенства (4.42) и (4.43), причем (4.42) выполняется для всех Л ~ Л. Согласно условию теоремы, на отрезке [а, А] имеет место равномерная сходимосттс ~Р(х, Л) ==в Ф(х), Л -~ Ле. [ю, А) В частности, это означает, что для Г= е/(3(А — а)) > О найдется такое число 6(е) > О, что для любого Л Е Л, удовлетворяющего неравенству О < ]Л вЂ” Лр] < 6(е), и любого х Е [а, А] выполняется соотношение (4.44) ]<р(х,Л) — <1л(х)] < Е = Используя арифметические свойства и свойства оценок по модулю несобственных интегралов [Ч1], для всех Л Е Л, удовлетворяющих неравенству О < ]Л вЂ” Ле] < б(е), имеем <р(х,Л) Их — <р(х)<Ь = ю ю А +со А +оо р(х,Л)йх+ р(х,Л)йх — ф(х)<Ь вЂ” Ях)<йх < ю А ю А А +оо +со < /(<(<л)-мо)л*/<$/мм л~<, <$~л<о<,$< ю А А А +со +со </$ж~<л)-Ф( ~шло< ) «,,л~<,$< ) м<< $< ю А А А е е 3(А- )~ 3 3 ю 418 4.
ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ (в последнем неравенстве учитывались оценки (4.44), (4.42) и (4.43)). Полученная оценка означает, что, согласно определе+~о +~о нию предела по Коши, 1!ш [ <р(х,Л)Их= / ф(х)ох. ~ Л~ЛО я Докажем теорему, из которой следует теорема 4.1. Теорема 4.14. Пусть выполняются условия: 1) действительная функция у(х) абсолюшно интегрируема на [О, +со); 2) действительная функция д(х, Л) двух переменных непрерывна на множестве Р= ((х, Л) Е 1х2: х > О, Л е [а, ЬЦ; 3) функция д(х,Л) ограничена на множестве Р, т.е. существует такое число М > О, что для всех (х, Л) Е Р выполняется неравенство [д(х,Л)) < М. Тогда функция (4.45) ср(Л) = д(х,Л) Дх)дх о непрерывна на отрезке [а, Ь).
м Докажем, что в каждой точке Ле Е [а, Ь] Бш Ч~(Л) = Ч~(Ло), 1пп д(х,Л)~(х)йх = д(х,Ле)1(х)ях. о о Проверим, что для функций у(х,Л) = д(х,Л)Дх) и р(х) = = д(х, Ло) у (х) выполняются условия теоремы 4.13 о предельном переходе под знаком несобственного интеграла. Во-первых, функция ~р(х, Л) определена на множестве Р, а функция ф(х)— при х > О. Во-вторых, абсолютная интегрируемость функции ~(х) на [О, +ос) предполагает ее интегрируемость на всяком Д.4.1, Несобстаеппые интегралы с параметраыи 419 конечном отрезке [О, А], а значит, и ограниченность [Ч1].
Поэтому ЗКА > 0 Чх Е [О, А]: ]~(х)] < КА. (4.46) Функция двух переменных д(х, Л) непрерывна на множестве Р. Следовательно, она непрерывна и на прямоугольнике РА = = ((х, Л) Е И~: х Е [О, А], Л Е [а, Ь]) с Р, где А — произвольное положительное число. Прямоугольник РА является компактным множеством в Ит [1-5.6]. Поэтому функция д(х,Л), непрерывная на компакте РА, равномерно непрерывка на нем. Следовательно, для всякого е > 0 найдется такое 6 = 6(е) > О, что для любых (х, Л) Е РА и (х', Л') Е РА, удовлетворяющих условию р[(х, Л), (х', Л')) = < 6(с), выполняется неравенство ]д(х, Л) - д(х', Л') ] < —, А где константа КА взята из (4.46).
В частности, для произволь- ного х б [О, А] и любого Л Е [а, Ь], удовлетворяющего условию ]Л вЂ” Ле] < 6(е), имеем ]д(х, Л) — д(х, Ло)! < —, КА (4.47) так как в этом случае р[(х, Л), (х, Ле)) = ]Л вЂ” Ле] < 6(е). Выбрав произвольное с > О, определяем, как указано выше, число 6 = 6(е) > О. В результате с учетом соотношений (4.46) и (4.47) получаем, что для любого Л Е [а, Ь], ]Л вЂ” Ле] < 6(с), и для всех х Е [О, А] выполняется неравенство [ср(х, Л) — 1Ь(х) ] = ]д(х, Л) 1(х) — д(х, Ле Щх) ] = = ]д(х, Л) — д(х, Ле) ] ]1(х) ] < — КА = с. (4 48) КА 420 4.
ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ Соотношение (4.48) и определяет равномерную на отрезке [О, А] сходимость функции др(х,Л) к функции дЬ(х) при Л-+ Ле. А это есть второе условие теоремы 4.13. Наконец, поскольку [д(х, ЛЩх)[ ( М[~(х)[, (х, Л) Е Р, и, в частности, [д(х,ЛеЩх)[(М[у(х)[, х Е [О, +оо), а функция М,('(х) абсошотно интегрируема на [О, +ос), то, согласно признаку Вейерштрасса [Ч?) равномерной сходимости несобственных интегралов, интеграл (4.45) сходится равномерно по параметру Л на множестве Л = [а, 6), функция 16(х) интегрируема на каждом конечном отрезке [О, А) и несобственный интеграл [ ф(х) дЬ сходится.
о Итак, для функций дд(х,Л) =д(х,ЛЩх) и 16(х) =д(х,ЛеЩх) выполняются все условия теоремы 4.13 о предельном переходе под знаком несобственного интеграла. На основании этой теоремы для любой точки Ле Е [а, 6) имеем Бш др(Л)= 1пп д(х,Л)~(х)сКх= 0 =1(д д~,,д)у~,))д*= (д(,д)д~*)д,=д(д,), что и означает непрерывность функции 1Р(Л) на [а, Ь|. 1ь Покажем, что иэ доказанной теоремы вытекает теорема 4.1. Пусть функции Дх) и д(х, Л) удовлетворяют условиям теоремы 4.1, т.е.
функция Дх) абсолютно интегрируема на Ж, а функция 421 Вопросы и задачи д(х, Л) непрерывна и ограничена на множестве Р = й х [а, Ь]. Имеем +ос о +оо ~р(Л) = д(х,Л)Дх)сЕх= д(х,Л)~(х)сКх+ д(х,Л)у(х)йх= -оо — оо о д(-х, Л٠— х) Нх+ д(х, ЛЩх) Нх = ср1(Л) + ~р2(Л). Вопросы и задачи 4.1. Представьте функцию ~(х) интегралом Фурье: — 1, 1<х(2; а) Дх) = 2, -0<х<1; 1, — 1<х<0; в) У(х)= ' ' ' ' г) Дх) =е о~4соеЬх, а > 0; Г 2, ]х! < 3; ( О, [х[ > 3; д) Дх) =е3п(х — а) — еуч(х — Ь), а < Ь; е) Дх) =хе * 4.2. Представьте интегралом Фурье функцию Дх), продолжив ее четным образом на интервал ( — оо, 0): 4 — Ьх, 0<х<-; 4 а) Дх) = О, х>-; 1, 0<х<1; в) У(х)= 2, 1<х<2; О, х > 2. ][~ш~, 0(х(я; Функции Дх), д(х, Л) и у(-х), д( — х, Л) удовлетворяют условиям теоремы 4.13.
Поэтому функции <р1 (Л) и <р2(Л) непрерывны на [а, Ь]. Следовательно, непрерывна на [а, Ь] и функция у(Л). 422 4. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ 4.3. Представьте интегралом Фурье функцию г (х), продолжив ее нечетным образом на интервал ( — оо, 0): 1, 0<х<1; 4.4. Представьте функцию г'(х) интегралом Фурье в комплексной форме: а) г"(х) =хе * б) у(х) = ' ' а>0. 4.5. Найдите преобразование Фурье функции у (х): 1 О, ]х[ > гг; б) г(х) = е * /з; е) Г(х) = (х е ~ ~); хсовх, [х[ < и; О, [х[>гг; )[х, [х[<1; ] О, [х]>1; и) ~(х) = х~е <~<вшЬх; к) г"(х) = 2е *'!в+Зхе 44. в) 1(х) =е * г~совах; .) Лх) = е-'[*[; д) 1(х) = [хе 44)'; 2, 0<х<1; сов2х, 0 <х < —; а) г"(х) = х+1, 1 <х< 2; б) г'(х) = О, х>2; О, х> —.
4.7. Докажите справедливость следующих равенств: а) КУ(Ь )](Л) =-г"[У(*)]И, ЬФО; б) Р[е~*Дх)](Л) = Р[г'(х)](Л вЂ” Ь), Ь Е К; 4.6. Найдите косинус-преобразование Фурье и синус-преобразование Фурье функции у(х): Вопросы и ввдвчп в) У[у(х — Ь)](Л) =е в~Щ(х)](Л), Ье Ж; Р[У(*)](Л-Ь)+Р[У(*)](Л+Ь) Ь 2 Щ(х)](Л Ь) Р[Дх)](Л+ Ь) 2 4.8. Найдите преобразование Фурье функции 423 5.
РЯДЫ В НОРМИРОВАННЫХ ПРОСТРАНСТВАХ Понятия линейного и евклидова пространств известны читателю из курса линейной алгебры [1Ч]. Введение в линейном пространстве нормы элемента позволяет наделить зто линейное пространство структурой метрического пространства [1]. При наличии же метирики можно распространить на нормированные пространства такие метрические (т.е.
требующие умения определять „близость" элементов) понятия, как сходимость последовательностей, непрерывность и дифференцируемость функций и др. В частности, на линейные пространства с нормой переносится и теория рядов: можно определить понятие ряда, а при наличии нормы (и, значит, метрики) поставить и проанализировать важнейшие вопросы их сходимости. 5.1. Нормированные пространства ! ]]х[] — ]]у]] [ ( ]]х — у]], х, у Е Ь. (5.1) Действительное (комплексное) линейное пространство Ь называют нормированным простпранстпвом, если в этом пространстве задана норма, т.е. функция, которая каждому элементу х Е Ь ставит в соответствие действительное число ]]х]] и которая удовлетворяет ансиомам нормы: 1) ]]х]] > О, причем равенство ]]х]] = О возможно только при х=О; 2) ]]Лх]] = ]Л] ]]х]], Л Е й (Л Е С); 3) ]]х+ у]] < []х[]+ ]]у]] (неравенстпво тпреуеолънина).
Из неравенства треугольника вытекает следующее полезное неравенство: 425 5.Ь Нормяроваяяые ороетраветва Иногда в одном линейном пространстве рассматривают несколько норм, вводя таким способом несколько нормированных пространств. В этом случае разные нормы различают с помощью индекса. Часто в качестве индекса используют обозначение соответствующего нормированного пространства, т.е.
норму элемента х в нормированном пространстве Ь записывают в виде ))х!)ь. Если в нормированном пространстве Ь ввести функцию р(х,у) = !)х — уб, х, у Е Ь, то нетрудно показать, что эта функция удовлетворяет аксиомам метрики. Таким образом, любое нормированное пространство можно рассматривать как метрическое нросгвранстео с указанной метрикой (ее при этом называют метприной, индуцированной нормой). Отметим, что не всякая метрика в линейном пространстве является индуцированной некоторой нормой, т.е.
линейное пространство с метрикой не обязательно есть нормированное пространство. Дело в том, что если метрика р индуцирована нормой )~х)), то верно равенство ОЩ = р(х, 0). Однако функция У(х) = р(х,О) может и не удовлетворять аксиомам нормы, и в этом случае метрика р не может индуцироваться какой-либо нормой.
Например, в действительном линейном пространстве К метрике )х-у~ р(х,у) = 1+ /х-у~ соответствует функция р(х,О) = —, )х~ 1 + ~х) которая не удовлетворяет аксиомам нормы (аксиома 2 не вы- полняется). 426 5. РЯДЫ В НОРМИРОВАННЫХ ПРОСТРАНСТВАХ Определение 6.1. Последоватпельностпь (х„)~ т элементов нормированного пространства Ь называют сходлщейся по норме к элементу х е Ь (сходящейся в нормированномм простпранстпв е Ь), если числовая последовательность Ц[х„ — х[[)'~, является бесконечно малой, т.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
