IX Власова Е.А. Ряды (1081388), страница 53
Текст из файла (страница 53)
Выберем х Е Р" и произвольное е > О. Положим Б = е/~3. Тогда для любого у Е Р", удовлетворяющего условию Цх — уЦ„< 6, выполняется неравенство !д(х) — д(у) ! < Щх — у)!„< 13 — = е. Ф Это и означает, что функция д непрерывна в любой точке х Е Р". Отметим, что из равенства д(х) = О вытекает равенство х = = О, так как по определению д(х) = ЦУ' 1(х) Ць Но ЦУ 1(х) Ць = = О только лишь при У' 1(х) = О, а последнее равносильно равенству х = О. Рассмотрим функцию д на единичной сфере 8" 1 в Р", т.е. на множестве 8" 1 = (х е Р": ЦхЦ„= Ц.
На этом множестве функция д не обращается в нуль, т.е. д(х) > О при х Е 5'" 1. Множество о" 1 является оераниченным и замкнутым подмножеством в Р" и, значит, компактным множеством (1-5.6]. 3.3. Полпростравства ворввроваввьп простралств 439 Действительная непрерывная функция д на компактном множестве Яп ~ достигает своей точной нижней грани [1-5.71, т.е. существует такая точка хе, что значение а в атой точке является наименьшим в У' '.
шш д(х) =д(хо) =а>0. яеяп-1 В соответствии с определением минимума получаем д(х) = !!х!1, >сс>0, хе. о'" ', х=У(х). Позтому для любого ненулевого элемента х Е Ь и соответству- ющего вектора х = У (х) е Р" в силу очевидных соотношений имеем следующую оценку." 11х11,= 'Р!! =~= !Ф1! =д~=~Р1! > 11Ц . 11х11, 1 х /х 1 11Ц. " ~1!Ц., " ~11Ц.) Итак, теорема доказана. ~ Следствие 5.1. Отображение У', определенное в теореме 5.3, и обратное к нему отображение У ~ являются непрерывными отображениями Ь на Р" и Р" на Ь соответственно.
< Из теоремы 5.3 следует, что для всех х Е Ь верно неравенство !!у=(х)11„< -1!х!1,. Используя зто неравенство, покажем, что 1 а отображение У' непрерывно на нормированном пространстве Ь. Выберем х Е Ь, произвольное число с > 0 и положим 6 = ск.
Тогда для всех у е Ь, таких, что !!х — у!1 < д = Ос, имеем 1 1 11У(х) — У'(у)!1„= 1!У'(х — у)11„< — !!х — у11, < — ае = с. Это означает, что функция У непрерывна в точке х, а в силу произвольного выбора х Е Ь вЂ” на всем нормированном пространстве Ь. 440 5. РЯДЫ В НОРМИРОВАННЫХ ПРОСТРАНСТВАХ Иэ теоремы 5.3 также следует неравенство ))х)( с < рЩх) ))„, х Е Х, которое равносильно неравенству ))У ~(х)))у, < ЩЦ„, х Е г"". Используя это неравенство, можно установить непрерывность отображения У' ' так же, как была доказана непрерывность У. ~ Следствие 5.2.
Любые две нормы ц ))1 и (( ))з в конечномерном линейном пространстве Х, эквивалентны, т.е. для некоторых положительных а и р а))х31 < ))х)(з < Щх)(1, х Е Ь. ~ Нормы )! ° )~1 и )! ° !)з определяют два конечномерных нормированных пространства Ь1 и Хз, элементами которого являются элементы одного и того же линейного пространства Ь. Выбрав в Х некоторый базис, зададим тем самым отображение У из Х (а значит, из Х1 и Хз) в нормированное пространство г"". Согласно теореме 5.3, найдутся положительные константы а1, Д и аз, ~9з, такие, что для всех х Е Х выполняются неравенства: а1Щх)))„< )(х))1 <ДЩхЦ„, аз~~У(х)))„< ~~х()з <ЩУ(хЦ„.
Отсюда для всех х Е Х имеем ))хауз < ЩУ'(хп„< — ))х31, Ря а1 ))х))з ~ )азиях)))~ ~ )— 3х))1. А Обозначая а = аз/,01 и ф = фз/ам получаем требуемые неравен- ства. ° а х1, хз,..., х„Е Хо =, '(ЧЛ1, Лз, ..., Л„Е г": ~~ Л;х; Е Хс). 1=1 Пусть Х вЂ” линейное пространство. Непустое множество Ье С Ь называют линейным многообразием, если вместе с любыми своими элементами х1, хз, ..., х„(в любом конечном числе) множество Хс содержит и всякую линейную комбинацию этих элементов: в.з.
Подпрострвпствв ворыпроввввых пространств 441 В частности, само линейное пространство Ь является линейным многообразием. Отметим, что определение линейного многообразия сводится к определению линейного подпространства, которое вводится в курсе линейной алгебры [1Ч).
Определение в линейной алгебре ориентировано на конечномерные линейные пространства, а в бесконечномерном случае различают линейное многообразие (линейное подпространство по терминологии линейной алгебры) и линейное подпространство, которое представляет собой линейное многообразие с дополнительными свойствами. В конечномерном случае оба понятия совпадают. В нормированных пространствах большую роль играют вопросы, связанные со сходимостью последовательностей.
Поэтому, выделяя множества, замкнутые относительно линейных операций, т.е. линейные многообразия, естественно дополнительно требовать, чтобы эти множества были замкнуты и относительно сходимости последовательностей элементов этих множеств, т.е. представляли собой замннушые множестпва в метрическом пространстве. Определение 5.4. Подпросьпранстпвом нормированного простпранстпва Ь называют замкнутое линейное многообразие в Ь, т.е. линейное многообразие, которое содержит все свои предельные точки. Теорема 5.4. Всякое конечномерное линейное многообразие нормированного пространства Ь является его подпространством, т.е. замкнуто в Ь. 1 Пусть 1е — и-мерное линейное многообразие нормированного пространства Ь и элемент х Е Ь является предельной точкой линейного многообразия Ьа.
Тогда найдется последоватаельностпь (хь)'„~ элементов из Ьа, сходящаяся по норме в Ь к элементу х. Согласно теореме 5.1, последовательность (хь)ь Фундаментальна в Ь. Линейное многообразие Ье можно рассматривать как п-мерное нормированное пространство с той же нормой, что и в 442 5. РЯДЫ В НОРМИРОВАННЫХ ПРОСТРАНСТВАХ нормированном пространстве Ь, т.е. !!р!!с, = Щ!с, у 6 Ье. Выбрав в Ье некоторый базис, построим отображение г: Ье -+ г'", ставящее в соответствие каждому элементу у Е Ье столбец его координат в выбранном базисе. В силу теоремы 5.3 найдутся положительные константы а и ~3, такие, что верны неравенства сс!!у (р)!!а ~ (Ь!!с ~(,В!!~Ь)!!а р Е Ьо. (5.6) Для определенной вьппе последовательности (хь)~~ элементов из Ье рассмотрим соответствующую ей последовательность векторов (хь)~~ из г", где хь = У'(хь), й Е М.
Так как последовательность (хь)ь фундаментальна, т.е. Чс > О ЗЖ(е) Е 14 'с1с > д1(е) ст Е 1Ч: !!хь — ха+ !! < е, то в силу неравенств (5.6) заключаем, что се > О ЛФ(с) Е М Ис > М(с) Ут Е 1Ч: !!хь — хь+~Ц < —. Следовательно, последовательность (хь)~~1 является фундаментальной в г ". Поскольку г'" является банахоеым пространством, эта последовательность имеет некоторый предел х, в г'". Это означает, что И >О ВМ(с) Е 51 Жс > М(е): !!хь — х,!!„< е. Отсюда, учитывая (5.6), имеем Че > О ЗМ(е) е 1Ч Ис > М(с): !!хь — х,!! < ~3е, где х, = У 1(х,) Е Ье.
Полученное утверждение означает, что 11ш хь = х,. Однако напомним, что последовательность ь-+со (хь)~~1 уже имеет предел х Е Л. Учитывая единственность предела последовательности в нормированном пространстве, получаем х = х, Е Хе. Итак, всякая предельная точка конечномерного линейного многообразия Ьс принадлежит ему же. Следовательно, Ье замкнуто. ~ 443 е.4. Сепараоельпые проетрапетва Из теоремы 5.4, в частности, следует, что в конечномерном случае понятия линейного многообразия и линейного надпространства совпадают, так как все линейные многообразия конечномерного нормированного пространства являются конечномерными, а потому замкнутыми.
Таким образом, введенные нами понятия не противоречат определению линейного подпространства из курса линейной алгебры. Бесконечномернме линейные многообразия вотличие от конечномерных могут не быть замкнутыми. Например, в нормированном пространстве С[0,1] (см. пример 5.2) линейное многообразие всех многочленов Со[0,1] является бесконечно- мерным. Как было показано в примере 5.5, существует последовательность многочленов, сходящаяся по норме в С[О,Ц к непрерывной функции, не принадлежащей Со[0,1] (не являющейся многочленом). Следовательно, линейное многообразие Со[0,1] не является замкнутым в С[0,1].
5.4. Сепарабельные пространства Пусть Б — нормированное пространство. Множество, полученное путем объединения множества У С Ь с множеством всех его предельных точек, называют замыканием множестива У в Ь и обозначают У Операция замыкания множества обладает следующими свойствами: 1) АзА; 2) А = А, т.е. замыкание множества является замкнутым множеством; 3) АОВ =АОВ; 4) Й=И; 5) 1=Ь. Теорема 5.5. Замыкание М линейного многообразия М в нормированном пространстве Ь является подпространством нормированного пространства Х.
444 5. РЯДЫ В НОРМИРОВАННЫХ ПРОСТРАНСТВАХ ~ Поскольку М является замкнутпым множеством в Ь, то, согласно определению подпространства нормированного пространства, достаточно доказать, что множество М есть линейное многообразие в Ь. Любой элемент х Е М можно рассматривать как предел последовательности (х„1~ элементов, принадлежащих М. Действительно, условие х Е М означает, что либо х Е М, либо х является предельной точкой множества М. В первом случае х является пределом постоянной последовательности с общим членом х„ = х, а во втором случае х является пределом некоторой последовательности в М в силу определения предельной точки множества.
Рассмотрим произвольные элементы х и у из М. Существуют последовательности (х„) и (у„1 элементов М, сходящиеся к х и у. Поскольку М является линейным многообразием в Ь, то для любых а,р Е Р имеем ох„+ ру„Е М, и Е 5!. Последовательность (ах„+ ру„1 сходигвсл по корме в нормированном пространстве Ь !см. 5.1), причем 1ип (ах„+~Зу„) = а 1ип х„+ р !ип у„= ах+,Оу. П-+СО Л-+Со а->Со Однако предел последовательности (ах„+ ~Зу„) элементов множества М принадлежит М. Следовательно, ах+ ~3у Е М.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
