IX Власова Е.А. Ряды (1081388), страница 56
Текст из файла (страница 56)
~ б.б. Баиахоаы иростраистаа со счетным базисом 459 Отметим, что любое конечномерное банахово пространство является сепарабельным. Как отмечалось выше, существуют банаховы пространства, не имеющие счетного базиса. Такими, например, являются все несепарабельные банаховы пространства. В частности, банахово пространство п1 ограниченных последовательностей не имеет счетного базиса,поскольку не является сепарабельным. Итак, счетный базис могут иметь только сепарабельные банаховы пространства, однако не все сепарабельные пространства имеют счетный базис. Сепарабельное банахово пространство, не имеющее счетного базиса, в 1972 г.
построил М. Энфло. Для банаховых пространств введем следующее понятие, тесно связанное с понятием базиса. Определение 5.10. Систпемр Я элементов банахова пространства Ь называют эамзеирпаоб, если ее линейная оболочка < Я >= х Е Ь: х = ~ Леул, узь Е Я, Ль Е Р, Й = 1, и а=1 является всюду плотным множеством в Ь. Отметим, что для нормированных пространств со скалярным умножением (евклидовых пространств) понятие замкнутой системы уже было введено (см. определение 3.2). Замкнутость системы Я в банаховом пространстве Ь означает, что для каждого элемента х Е Ь можно указать такой набор элементов ~р1,~рч, ..., <ро Е Я и такой набор чисел Л1, Лг, ..., Л„Е У, что справедливо неравенство ))~Ль1оа — х(! < е.
в=1 Другими словами, всякий элемент из Ь можно сколь угодно точно (по норме банахова пространства Ь) приблизить линейными комбинациями элементов системы Я. 460 в. РЯДЫ В нОРмиРОВАнных пРОстРАнстВАх Теорема 5.12. Всякий счетный базис банахова пространства является замкнутой системой. ~ Пусть (ев)~~ г — счетный базис банахова пространства Ь. Тогда всякий элемент х е Н является суммой некоторого ряда по системе (ев)ь, т.е. х = ~ хвею Это означает, что послев=г и довательность частичных сумм Я„= ~ , 'хлев, принадлежащих в=1 линейной оболочке системы (ев)я „сходигпся по корме в Ь к элементу х Е Ь.
Иначе говоря, элемент х можно сколь угодно точно приблизить линейными комбинациями элементов базиса. Поэтому линейная оболочка системы (ев)~' всюду плотна в Ь, а сама система (ев)в замкнута. Согласно теореме 5.12, понятия базиса и замкнутой системы тесно связаны между собой. Однако они полностью не совпадают — не всякая замкнутая счетная линейно независимая система является базисом банахова пространства. Так, например, счетная линейно независимая система одночленов 1, замкнута в банаховом пространстве С[0,1], поскольку в С[0, 1] всюду плотно множество всех многочленов (см.
пример 5.11), а это множество представляет собой линейную оболочку рассматриваемой системы одночленов. Однако система одночленов (1в) ~~ з не является базисом в С[0, Ц, так как зто предположение означало бы, что любую непрерывную на отрезке [О, 1] функцию можно представить равномерно сходящимся степеккым рядом. Но тогда любая непрерывная функция являлась бы акалигпическоб и, в частности, дифференцируемой, что неверно — примеров непрерывньпс недифференцируемых функций можно привести множество. Триеонометрическав система 1, сов х, вшх, сових, в1ппх, также является линейно независимой и замкнутой в подпространсгпве С'[ — я,я] нормированново просгпрансгпва С[-я,я], состоящем из таких непрерывных на отрезке [О, 1] функций, что х( — я) = х(я). Действительно, сходимость по норме в нормированном пространстве С'[ — я,я] равносильна 5.7.
Базисы в пространстве вепрерынньгн фуввпнй 461 равномерной сходимости на отрезке [ — к, я]. Согласно теореме 3,6 любая непрерывная на [ — к, к] функция х(1) является равномерным пределом последовательности тригонометрических нолиномов Ра(г) = но +~~г (ааасовйх+(за„в1пйх). Однако тригонометрическая система не является базисом в банаховом пространстве С*[-к,к]. Действительно, зто предположение означает, что любую функцию из С*[ — к,к] можно представить равномерно сходящимся к ней на отрезке [ — в, и] тригонометрическим рядом, который, согласно теореме 3.9, будет совпадать с ее рядом Фурье (см. 3.1).
Но зто неверно, так как существуют непрерывные функции, ряды Фурье которых расходятся хотя бы в одной точке. На самом деле существуют непрерывные функции, ряды Фурье которых расходятся на всюду плотном в [ — к, я] множестве, на множестве мощности континуума, а также существуют примеры непрерывных функций, ряды Фурье которых сходятся всюду на [ — я, и], но неравномерно в любом интервале, лежащем в отрезке [ — к, к]. Все зти примеры достаточно сложны, их подробное описание можно найти в специальной литературе' 5.7.
Счетные базисы в пространстве непрерывных функций Иервым примером счетного базиса в банаховом пространстиве С[0, 1] является система Фабера — Шаудера, построенная Г Фабером в 1910 г. Эта система представляет собой простейший базис в семействе базисов банахова пространства С[0,1], открытом в 1927 г. Ю. Шаудером. См., например: Бара Н.К. 462 5.
РЯДЫ В НОРМИРОВАННЫХ ПРОСТРАНСТВАХ Определим две начальные функции системы Фабера— Шаудера (рис. 5.1): <ре(8) = 1 и ~р1(1) = 1 при $ Е [О, 1]. (5.12) Рис. 5.1 Для построения остальных функций системы определим на отрезке [О, 1] функцию которая обращается в нуль на концах отрезка [О, 1], а на отрезках [О, 1/2] и [1/2, 1] является линейной (рнс. 5.2). Для каждой пары чисел й = 0,1,2, ... и 1 = 1, 2, ...,2" рассмотрим функцию д[2"1 — (1-1)), определенную на отрезке [(1 — 1)/2", 1/2"]. Эта функция является композвпиеб линейной функции х = 2~1 — (1-1) = 2" [1 — (1-1)/2~), взаимно однозначно отображающей отрезок [(1 — 1) /2", 1/2" ] на отрезок [О, Ц), и функции д(х).
График функции д(2~$ — (1-1)) прн некоторых значениях й и 1 представлен на рис. 5.3. Очевидно, что любое натуральное число и > 2 можно однозначно представить в виде и = 2~+1, (5.13) 5.7. Базисы а простраистае пепрерывпых фуяппий 463 2и 2и Рис. 5.3 Рис. 5.2 где Й вЂ” неотрицательное целое число, а г — натуральное число, не превосходящее 2", т.е. 1 <1 < 2". Например, 2 = 2о+1, 3 = 21+1, 4=21+2, 5=22+1 и т.д. Вводя для функций системы Фабера — Шаудера с номерами и > 2 двойную нумерацию р„(е) = у, (1), где о=2 +г, определяем эти функции следующим б) образом: (5.14) д(2 З вЂ” (е'-1)), 2Е [ — „ Рассмотрим подробнее несколько первых функций ~рь (1).
Функция ~рз(1) = <ро (е) совпадает с функцией д(е) (см. рис. 5.2). 0) Функции срз(е) = ~р1 ) (е) (3 = 2 + 1, )е = 1, г = 1) и ~р4(е) = ср1 ) (1) (4 = 21+ 2, й = 1, 1 = 2) задаются формулами: 0, з Ф [0, 1, 0, 1 Ф [ , 1], уз(е) = ~р4 (2) д(21), е Е [О, — ~; д(2$ — 1), 1Е [-,1~, Графики функций срз(1) и ~р4 (2) представлены на рис.
5.4. Заметим, что функции <рз(е) и ~р4(е) — это функции, которые в двойной нумерации имеют индекс я = 1. Функций системы, имеющих в двойной нумерации индекс я = 2, будет четыре: 464 5. РЯДЫ В НОРМИРОВАННЫХ ПРОСТРАНСТВАХ Рис. 5.4 Р5(~) =Р (~), Ре(~) =ю'И), Рг(г) =Р'(г) и Ре(г) =Рг (1) (1) (г) (з) (4) Графики этих функций представлены на рис. 5.5. 5 вг Рис. 5.5 Обратим внимание на то, что для любой пары индексов Й и 1 (й = О, 1,2, ..., ю' =1,2") верны равенства а на отрезках [(г — 1)/2", (21 — 1)/2"+1] и 1(2г — 1)/2"+1, $/2~1 функция ~р~ (Ф) линеина. Кроме того, построенные по формуле (() (5.14) функции ~р„(1) непрерывны на всем отрезке [О, 1]. 5.7. Базисы в пространстве непрерывных функций 465 Определение 5.11. Систему Ф = (<р„(Ф))'~ е непрерывных на отрезке [О, 1] функций, определенных формулами (5.12) (при п = О, 1) и (5.14) (при п > 2), называют системой Фоберп— Шоудеро.
Теорема 5.13. Система функций Фабера — Шаудера является базисом в банаховом пространстве С[0, 1]. м Пусть функция /(1) непрерывна на отрезке [О, 1]. Рассмот- рим последовательность кусочно линейных функций (па(1) ) ~~' о, графики которых представляют собой ломаные, вписанные в график функции /(с), так, что (2а+1) 12а+1) для всех 1 = 0,2а+1, где й = О, 1, 2, (рис. 5.6). Последовательность (сга(1)) равномерно на отрезке [О, 1] сходипзсл к функции /(Ф), т.е.
Рис. б.б [[па — /[[ = п1ах [ста(с) — /(1) [ -+ О, й -+ оэ. 16[0, 1) 1 2а+11 й = О, 1, ..., 1 = О, 2"+1. Действительно, так как функция /(1) непрерывна на отрезке [О, 1], то она равномерно непрерывна на этом отрезке [1-5.9], т.е. для произвольного числа е > 0 существует такое число д(е), что для любых $1, 1з Е [О, 1], удовлетворяющих условию [с1 — 1з] < о(е), выполняется неравенство [/(с1) — /(сз)[ < е.
Зафиксируем е и выберем такое натуральное число К, что 1/2 +1 < о(е). Тогда [У($1) — У($г)[ < е, если [Ф1 — 1з[ < 1/2"+' и й > К. Пусть 1с > К. Выберем произвольную точку $ е [О, 1]. Для этой точки найдется номер 1', 1 < 1 < 2"+1, при котором 1 Е е [(ц-1д, ц,я], где 466 5. РЯДЫ В НОРМИРОВАННЫХ ПРОСТРАНСТВАХ Так как оь(с) на каждом отрезке [сс 1 ь, Ф; ь] является линейной функцией, то оь(1) =2"+ [У(Ц,ь) — ДЦ ць))($ — $, ць)+ДЦ ць) (5.15) при $ Е [сг 1ь, Ць]. Поскольку для точек отрезка [сс ць, Ц,ь] верна оценка ]1 — 8; ~ ь] < 1/2"+1, то в силу выбора к получаем = ]2"+' [У(Ц ь) — У(Ц-ьл)) (~ — Ц-ць) + У(~с-ць) — ~(~) ] < < 2 + ]/(1'д) — ДЦ-ць)] ~С йнь]+ ]У(1с-ць) У(с)] < < ]Дал) — у(ц 1ь)]+]Щ 1ь) — у(Ф)] < с+ с = 2с.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
