IX Власова Е.А. Ряды (1081388), страница 57
Текст из файла (страница 57)
Поскольку Ф вЂ” произвольная точка отрезка [О, Ц, а число К зависит только от выбора числа с > О, полученное неравенство означает равномерную сходимость последовательности (оь(с))г, о к функции У($) на отрезке [О, 1], т.е. гпах ]сть(й) — у(й)] -+ О, Й -+ оо. ФЕ(0, Ц Поэтому и функциональный рлд стой+ ~„(оь(1) — сгь 1(1)) рань=1 номерно на отрезке [О, 1] сходится к функции Я), поскольку его гн-я частичная сумма равна о,„(с): оо(1) + ~~г (оь(8) — оь 1($)) = стог(~).
ь=1 Итак, в С[О, 1] имеет место разложение У($) = оо(Ф)+ ~[оь(с) — оь 1(с)) я=1 Для произвольных индексов к Е 1ч и 1 = О, 2" выполняются равенства сгь(Ц ь 1) = оь 1(Ц ь 1) (рис. 5.7). Поэтому на отрезке 3.7. Базисы в пространстве непрерывных функций 467 где ур, (2) — функция системы Фабера — Шаудера.
(1) 2е 22ы 2' Рис. о.7 Для вычисления значения функции оа 1(1) в точке 2 = = (21 — 1)/2"+1 воспользуемся формулой (5.15): Отсюда при ус ) 1 для 2 Е [(1 — 1)/2", з/2"], 1 = 1, 2а, получаем ,„(2)- а „(2) =В„,р,,*(2), () (5.16) где константы [су-ца-1, 2;,а 1], 1 = 1, 2", разность (ута(2) — суа 1($)) можно пред- ставить следуюп(им образом: 468 5.
РЯДЫ В НОРМИРОВАННЫХ ПРОСТРАНСТВАХ не зависят от последовательности функций оь(1), а определяются исходной функцией ~(Ф). При фиксированном й ) 1 всякая точка Ф Е [О, 1] попадает в один из отрезков вида [(1-1)/2", 1/2~] с некоторым номером 1, 1 < 1 < 2~. Следовательно, выполняется равенство (5.16). Согласно определению функций Фабера — Шаудера, для остальных номеров у = 1, 2", у ф г', значение функций Фабера— Шаудера в этой точке Ф будет нулевым: у„(1) =О, у =1,2", у ~1. Поэтому при й ) 1 оь(1) — оь 1($) = Вь,1у> ' Я = ~~ Вь,ур,~ (1), $ Е [О, 1].
(5.17) 1=~ Функцию <то($) с индексом й = 0 можно представить ввиде оо(г) = о(г) + [ао(г) — о(г)) где о(й) = 7'(0) + [~(1)-У(0))й — функция, определяющая хорду АВ кривой 7 (г), Ф Е [О, 1], с точками А = (О; 7(0)) и В = (1;У(1)) (рис. 5.8).
Используя вид функций ~де($) и 1о1(Ф), можем записать О(Ф) = У(0)РО(й)+ [У(1) -У(0))~р1(Ф). Кроме того, из соотношений не(0) = п(0), ое(1) = н(1) и иэ определения функции Фабера — Шаудера 1оэ(1) следует, что 5.7. Базисы в прострапстве пепрерыапых фуиипий 469 Поэтому »то(1) = от(о) + (ое(с) — о(с)) = ПО)уе(1) + -:- ф о) — у)о)) о)»)»- () (-) — ) о,)») = 1 )(0) + ) (1)'о = Во)до Я+ В1))2) (1) + В2»д2(1)» (5.18) где коэффициенты Ве = 1(0), В) = 1(1) — у(0) и В2 — — у(1/2)— — (У(0)+у(1))/2 зависят только от исходной функции 1(1). Используя формулы (5.17) и (5.18), получаем следующее разложение функции у(с) на отрезке [О, Ц: У(2) = »то(х) + у,(о'ь(2) — сгь 1(е)) = ь=) сс 2о =а~о~)»)»а о)»)»ао)»)»-2 (2 В»о )»)), (519) ,)=1 Д1) ее'~ Впу„($)» 1Е[О,Ц, (5.20) в банаховом пространстве С[0, Ц. Докажем, что из равномерной сходимости на [О, Ц ряда (5.19) к 7'(1) следует также и равномерная сходимость на [О, Ц к причем функциональный ряд в правой части этого равенства сходится равномерно на отрезке [О, Ц.
Членами ряда в правой части равенства (5.19) являются суммы последовательных членов ряда 2', В„))2„($), В„= Вод, и = 2~ + у', и > 2, сгруп=о пированных по признаку равенства индекса й в их двойной нумерации. Поэтому только разложения функции 1(с) в ряд по формуле (5.19), вообще говоря, еще не достаточно для доказательства истинности разложения 470 в. РЯДЫ В НОРМИРОВАННЫХ ПРОСТРАНСТВАХ Д8) ряда (5.20). Действительно, часпгачные срвьчы ряда (5.20) с номерами 2'", т > 2, имеют вид ~г (1) = ~ В„<Р„(г) = ВоФе(1) + в=е вь-1 ° г" ~ в в я ~ в в д + ~~ Я в,„р'," р~) = в щ ь=1 Яг~+~($) = вг (в)+ ~ В,„г~р„, (в) =в'„, 1(в)+ ~ ВвЬгф„, (1). Всякая точка Ф из отрезка (0,1! попадает в некоторый отрезок [(1 — 1)/2"', г/2"в], где номер 1 = 1, 2'" зависит от точки Ф.
В соответствии со свойствами функций Фабера — Шаудера имеем О, 1< в'; г"' В,„,урЯЯ, 1<1<2 ~ ~'В др1г)(1) = Следовательно, ог (в) = о -1(в) 1 <1 Ярт+~(Ф) = (5.21) Яг.+~(Ф) =Яв,($), 1<1(2™ Учитывая представление (5.21), для любого и = 2в'+1, т > 2, 1= 1, 2'", имеем !!В -Л<!А-В -1!!+!!В -~-П< < !! — В,в 1!!+!!Я„, 1 — Д. (5.22) где Вы 1(1) — частичная сумма ряда (5.19) с номером тп — 1, гп > 2. Частичные суммы с номерами 2'"+1, 1 = 1, 2"', будут следующими: 5.7. Базисы в прострвистве иепрерывиых фуиииий 471 Разложение (5.19) означает, что последовательность (Яп(с)) сходишся к функции у($) по норме банахова пространства С[О,Ц, т.е. 11ш [[Я~ 1-Д = О. Разность Я (1)-Я~ 1($) явля7й-+со ется еп-м членом сходящегося ряда (5.19).
Согласно необходи- мому признаку сходимосеаи ряда в нормированном простран- стве, общий член ряда (5.19) сходится по норме в С[0, Ц к нулю, т.е. 11ш ]ф,п — Я,в 1]] = О. Из (5.22) следует, что т-+со 1пп []ӄ— у']] = О, и разложение (5.20) доказано. Итак, всякую непрерывную функцию у(с) можно предста- вить в виде равномерно сходящегося на отрезке [О, Ц ряда по системе Фабера — Шаудера. Докажем, что такое представле- ние единственно.
Пусть имеются два различных ряда ~ а„у„(1) и ~ Ь„у„(1) =О в=О по системе Фабера — Шаудера, которые равномерно сходятся на отрезке [О, Ц к одной и той же функции у (с) Е С[0, Ц. Тогда найдется такой номер М > О, что а„= Ь„, и= О, Ж вЂ” 1, и ак,-~ Ьы (если ае уЕ 6е, то Ж = 0). Для всякого еп = О, М-1 получаем тв п1 а„р„(1) = ~ Ь„р (е), 1 Е [О, Ц. п=е и~а Учитывая, что для всякого М > 2 имеет место разложение Ф = 2~ + е', и > О, 1 = 1, 2" (см.
(5.13)), полагаем 1, Ф=О или И=1; — Ф= 2 +1> 2. В силу свойств функций системы Фабера — Шаудера при любом М веРно Равенство 1ои(1к) = 1. ПозтомУ аи1ои(1к) ~ ~ Ь,уи(1~ч) при аи ~ Ьи. Следовательно, Яа„р (1к) ~~~ Ь.р.(8р~) (5.23) 472 й. РЯДЫ В НОРМИРОВАННЫХ ПРОСТРАНСТВАХ гп Заметим, что 2,' апУп(1У) = 0 Дла всЯкого номеРа т>М, пий'+1 поскольку для любого и > 2" + 1 в соответствии со свойствами функций Фабера — Шаудера уп((21 — 1)/2"+1) = О.
Значит, ;) ап РКСМ) = ~~, а Р (1Н), т > М. п=е п=е Аналогично получаем '~ ~~Р„(1Н)='~ Ь Р (1Н), т>Л. п=О Иэ РавномеРной сходимости РЯдов 2 , 'апУ„($) и ~, Ьп~оп(1) пиа п=е к функции у($) следует их сходимость к ~(8) в каждой точке 1Е [О, 1]. Поэтому ~(1Н) = 11ш Яа ~Рп($Н) = ~ а У (Йпг), п=е п=О $п к Д~у) = 11ш ~~ Ь„уп(1н) 1ш1 ~ Ьп~рп(1ь'). пса Таким образом, Яо Рп(6М) =~ Ьпдп(1~Ч), п=О что противоречит неравенству (5.23). Следовательно, предположение о сУществовании Различных РЯДов 2 ап<Рп($) и п=е 2 ЬпУп($) по системе ФабеРа — ШаУДеРа, сходЯщихсЯ Равноп=е мерно на [О, 1] к одной и той же функции У(8) б С[0, 1], неверно и разложение (5.20) единственно.
5.7. Бевиеы в пространстве вепрерыввык функций 473 В силу существования разложения (5.20) для любой непрерывной функции иэ С[0,1] и единственности этого разложения система Фабера — Шаудера является базисом в банаховом пространстве С[0,1]. ~ В банаховом пространстве С[0,1] можно построить системы, аналогичные системе Фабера — Шаудера, которые также будут базисами в С[0,1]. Покажем, как это можно сделать. Пусть действительная последовательность а~ с двойной нумерацией (й = О, 1, ..., 1 = О, 2") удовлетворяет следующим условиям: ао 0 о— 1 при — < —, 2е 2е1 ' 1 при — = —.
2к 2"' аь~ < а~„ (5.24) а' =а~ Й т Пусть также Ль = п1ах (аь — а'„1) -+ О, и -+ со. (5.25) 1<1<2" С помощью точек последовательности (аь) определим на от- резке [О, 1] систему типа Фабера — Шаудера. Положим гро(й) = 1, ср1(й) = 1, й Е [О, 1].
'См., например: Кашин Б.С., Саакян А.А. Для и > 2 с разложением и = 2" +1, и = О, 1, 2, ..., 1 = 1, 2к, определим функцию Д,($) = ф,) ($), которая: 1) равна единице при $ = а2'+ 1; 2) равна нулю вне интервала (а', 1, аь~); 3) линейна и непрерывна на отрезках [а', 1, а2+ 1] и [а2+ 1, а1ь]. Теорема 5.14'. Система функций (~р„)„о типа Фабера— Шаудера, построенная с помощью последовательности действительных чисел (а~~), удовлетворяющих условиям (5.24) и (5.25), является базисом в банаховом пространстве С[0,1].
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
