IX Власова Е.А. Ряды (1081388), страница 61

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 61)

Тогда для любого элемента х Е Н верны формулы р(х,Х„) = (~х — ~ сйей)( й=1 (6.7) р (х,Х„) = ()х))~ — ~~! )сй(~, й=1 (6.8) где сй = (х, ей), й = 1, и, — коэффициенты Фурье элемента х. Нетрудно доказать, что любой конечный набор элементов ортогональной (ортонормированной) системы (е„)~ ! является линейно независимой системой.

Следовательно, для всякого и Е Я линейная оболочка Х„= (е1, ..., е„) является и-мерным линейным многообразием, которое замкнуто (см. теорему 5.4), а потому является и-мерным подпространстпеояе в Н. При этом система элементов е1, е2, е„составляет базис в Х„. Всякий элемент и Е Х „можно единственным образом разложить по этому базису, т.е. представить в виде 493 б.

ОРТОНОРМИРОВАННЫЕ СИСТЕМЫ < Выберем произвольный элемент и = ~ айей Е Ь„и рассмой=1 трим скалярный квадрат элемента х — и: и 2 П н 'бх — и)(~ = (~х — ~ айей)~ = (х — ~й айей, х — ~ айей) = й~1 й=1 й=1 ='цх)! — ~~1 ай(ей,х)-~~1 ай(х,ей)+~) ~~> айа;(ей,е;)= й=1 1=1 П и в = бх)! — ~~1 айсй — ~ айсй+ ~ (ай~~. (6.9) й=1 й=1 й=1 Здесь сй = (х, ей), к = 1, п. Для любых двух комплексных чисел ай и сй верны соотношения ~сй — ай~ = (сй — ай) (сй — ай) = (сй — ай) (сй — ай) = = сйсй — айсй — айсй+айай = )сй~~ — айсй — айсй+ )ай(~, из которьп1 находим — айсй -айсй+ )ай! = )сй — ай~ — (сй) Учитывая это тождество в правой части равенства (6.9), полу- чаем н 2 и н )(х — ,'> айей~~ = ()х((2+ ~~> )сй — ай)2 — ~~1 )сй(2.

(6.10) й=1 й=1 й=1 н Очевидно, что сумма ~ ~сй — ай~~ достигает своего минимальй=1 ного значения, равного нулю, при ай = сй, й = 1,п. Значит, и минимальное значение ))х — иб, и Е Ь, достигается при этих условиях, т.е. когда числа ай являются коэффициентами Фурье элемента х. Это доказывает соотношение (6.7). Согласно опре- б.4. Ортонормярованные еястемы я ряды Фурье 499 делению расстояния от эяеееепта до подпространстеа, имеем и 2 и г р~(х,Х„)= ппп ~)х-~аьеь(~ =)~х — ~1 сьеь)! ='8х8 — 2 (се), 1- — в 1=1 1=1,п в=1 в=1 что совпадает с равенством (6.8).

~ Таким образом, элементом подпространства Х „= (е1, ..., е„) гильбертова пространства Н, реализующим расстояние от элемента х е Н до Х„, является многочлен Фурье порядка и элемента х по ортонормированной системе (е„)„' Следствие 6.3. Пусть Н вЂ” гильбертово пространство, (еп)'~ 1 — счетнан ортонормированннл система в Н. Тогда )(х — ~~1 сьеь~~ < (~х — ~ сьев~), т > и, в=1 я=1 где св = (х, ев), я Е М, — коэффициенты Фурье элемента х по системе (е„)~~ 1. < Из теоремы 6.8 следует, что ~~Х вЂ” ~~1 СЬЕЬ~! = р(Х,Ьт), Ь=1 ~~Х вЂ” ~~1 Су,ЕЬ~~ = Р(Х,Ьп), я=1 гДе Хп = (е1, ..., е„) и Хоп = (е1, ..., е„„).

ПосколькУ Хп С Хо, при тп > и, то р(х, Х„) = ппп ((х — и(! > ш1п '8х — и8 = р(х, Хоп). пЕЬп иЫ '8хй > ~1 ~ся~, я=1 где сь = (х, еь), Й е М, — коэффициенты Фурье элемента х по системе (е„)о' Теорема 6.9. Пусть Н вЂ” гильбертово пространство и (еп) ~ 1 — счетная ортонормированная система в Н. Тогда для любого элемента х Е Н верно неравенство Бесселя: 500 6. ОРТОНОРМИРОВАННЫЕ СИСТЕМЫ ~ Неравенство Бесселя является следствием равенства (6.8), и его доказательство дословно совпадает с доказательством неравенства Бесселя для бесконечномерных евклидовых про- странств (см.теорему 3.2).

~ Отметим, что теоремы 6.8 и 6.9 верны для произвольных бесконечномерных евклидовых и унитарных пространств, а не только для полных (т.е. гильбертовых). 6.5. Ортонормированные базисы Все сказанное о счетнььх базисах в банаховььх пространствах (см. 5.5) относится н к гильбвртовым пространствам, являющимся частным случаем банаховых пространств.

Однако, как и в конечномерных евклидовых пространствах, наибольший интерес представляют счетные базисы, относящиеся к ортпогональным (ортонормированным) системам. Такие базисы обладают рядом важных свойств, среди которых следует отметить простоту процедуры разложения элементов гильбертова пространства по этим базисам. Кроме того, для проверки баэисности ортонормированных систем существуют простые и эффективные критерии. Теорема 6.10. Счетная ортонормированная система (е„) в гильбертовом пространстве Н является ортонормированным базисом тогда и только тогда, когда любой элемент х Е Н является суммой своего ряда Фурье по этой системе: х = ~~ь сьеь, ь=ь (6.11) где сь = (х, еь), й Е 1ь(. Определение 6.6.

Счетный базис (е„)~ ь гильбертова пространства Н, являющийся ортогональной (ортонормированной) системой, называют орпьогональным (орпьонормированным) базисом в Н. 501 6.5. Ортоиормироиаииые базисы ~ Необходимость. Пусть система (е„)„1 является ортонормированным базисом в гильбертовом пространстве Н. Тогда всякий элемент х е Н единственным образом можно представить в виде сходящегося ряда: х = 2 «зьеь.

Покажем, что а=1 коэффициенты аы й Е М, являются коэффициеизпами Фурье элемента х. Для этого заметим, что в силу ортонормированности системы (е„)'~ 1 при всех п ) Й верно равенство ~~) атет, еь) = ~~) ат(е,„, еь) = оь. ( Согласно теореме 6.1 о предельном переходе в скалярном про- изведении, имеем сь = (х, еь) = ( ~~ атет, еь) = ( 11щ ~~> атет, еь) = т=1 = 1пп ( ~> атет, еь1 = 1пп аь = аз, Й ЕМ. (6.12) о-+со ~ / о-+со т=1 Достаточность. Пусть (е„)„1 — ортонормированная система и всякий элемент х е Н является суммой своего ряда Фурье (6.11).

Ряд Фурье элемента х представляет собой разложение этого элемента по системе (е„)~ 1, что доказывает существование разложения всякого элемента х Е Н по системе (ео)~ и Осталось доказать, что для всякого элемента х б Н разложение единственно. Пусть х = 2 аьеь — разложение элемента х по ортонорь=1 мированной системе (ео)'„~ . Повторяя вычисления в соответствии с равенствами (6.12), получаем сь = аы и Е М, т.е.

произвольно взятое разложение элемента х по системе (е„)„, совпадает с рядом Фурье элемента х по этой системе. > Отметим, что в теореме 6.10 доказано более общее утверждение: если (е„)„1 — произвольная ортонормированная си- 502 6. ОРТОНОРМИРОВАННЫЕ СИСТЕМЫ стема (не обязательно являющаяся базисом) гильбертова пространства Н и элемент х е Н является суммой некоторого ряда по этой системе, то этот ряд есть ряд Фурье элемента х Е Н по системе (е„)„ г Для любой ортонормированной системы в гильбертовом пространстве Н выполняется кераеенстео Бесселя (см.теорему 6.9). Если ортонормированная система является базисом в Н, то зто неравенство становится равенством. Теорема 6.11.

Для того чтобы ортонормированнея система (е„)'„~ гильбертова пространства Н была его базисом, необходимо и достаточно, чтобы для любого элемента х Е Н выполнялось следующее раеексгаео Парсееалл: Йх)! =~ )сь(, я=1 где сь = (х, ея), Й Е М, — коэффициенты Фурье элемента х по системе (е„)'„~ и ~ Необходимость. Пусть (е„)„~ — ортонормированный базис гильбертова пространства Н.

Тогда для любого х Е Н в силу теоремы 6.10 имеем представление х = 2 сьею я=! где сь = (х, еь), Й Е М. Сходимость этого ряда к элементу х означает сходимость к х последовательности его частпичных сумм ,') свел по норме в Н, т.е. 1пп Ь вЂ” ~', сьеь~~ = О. Учитыь=1 е-+00 е вая формулы (6.7) и (6.8), получаем 11щ ()(х))з — ~~> ~с (з) = О, ь=1 что и доказывает справедливость равенства Парсевеля. Достаточность. Пусть (е„)„~ — ортонормированная система гильбертова пространства Н, для любого элемента 503 б.б.

Ортоиормироааииые базисы х е Н числовой рлд 2 1сь~г сходится и, кроме того, выполняет,.> сяравенство Парсеваля 6Щ~ = ~, )сь)г, где ссс =(х, еь), ЙЕг1,— /с=1 коэффициенты Фурье элемента х по системе (е„)'„~ г Тогда, используя соотношения (6.7) и (6.8), получаем а г в 00 1пп ))х — ~~Г сьеа() = 1пн (~~х)! — ~~) )сь! ) = ~)х(( — ~)сь! =О. а=1 а=1 /с=1 Это означает, что ряд ~; сьесс сходится к элементу х Е Н по а=1 норме в Н.

Таким образом, элемент х Е Н является суммой своего ряда Фурье. Поскольку х — произвольный элемент гильбертова пространства Н, то, согласно теореме 6.10, ортонормированная система (е„)„ г является базисом в Н. ~ В силу теоремы 5.12 любой базис (е„)„~ банахова пространства В является зазскнутоб системой, т.е. линейная оболочка этой системы всюду плотна в В. Однако в произвольном банаховом пространстве не всякая замкнутая система является базисом. Следующая теорема показывает, что в гильбертовом пространстве понятия базисности и замкнутости для ортонормированных систем эквивалентны.

Характеристики

Список файлов книги