IX Власова Е.А. Ряды (1081388), страница 62
Текст из файла (страница 62)
Теорема 6.12. Ортонормированная система (е„1„гильбертова пространства Н является базисом тогда и только тогда, когда она замкнута в Н. ~ Замкнутость всякого, в том числе ортонормированного, базиса в гильбертовом пространстве следует из теоремы 5.12. Докажем обратное. Пусть линейная оболочка Ь системы (е„)'„~ является всюду плотими множеством в Н. Покажем, что (еа)„г — ортонормированный базис в Н. Условие плотности Ь в Н означает, что для любого элемента х Е Н и любого числа в ) 0 можно указать такой элемент х, Е Ь, что бх — х,)! ( в (см. 5.4). Элемент х, принадлежащий линейной оболочке Ь, 504 б. ОРТОНОРМИРОВАННЫЕ СИСТЕМЫ является линейной комбинацией элементов системы (ей), т.е. М х, = 2; айей для некоторых чисел ай, к = 1, Н. Согласно теой=1 реме 6.8, примененной к конечной ортонормированной системе е1, ..., еи, заключаем, что ))х — ~сйей)! = р(х,йрг) < (~х — ~~> айсй)! = /!х — хД < е, ййп й=1 где сй = (х, ей), к 6 И, а Ьн = (е1, ..., ей).
Отсюда в силу следствия 6.3 получаем и и )(х — ~ сйей() < )(х — ~~> слей(~ < е, п > Ф. й=1 ййп Таким образом, для произвольного х Е Н установлена истинность следующего утверждения: 1й>0 ЗЛ=Х(е) 6М 7п>Н: ~~х — ~~) сйей~~ <е, й=1 что означает существование предела !ш~ бх — ~„ сйей~~ = О. СО и-+сой Следовательно, х = 2 сйей. Согласно теореме 6.10, система й=1 (е„)„й является ортонормированным базисом в Н. ~ Доказанное утверждение можно перенести на произвольные ортогонэльные системы, т.е. условие нормированности элементов системы в этом случае несущественно.
Теорема 6.13. Ортогональная система (у„)~ в гильбертовом пространстве Н является счетным базисом в Н тогда и только тогда, когда она замкнута в Н. м Замкнутость всякого базиса в гильбертовом пространстве, в том числе ортогонального, следует из теоремы 5.12. Докажем обратное. Пусть (у„)„1 — замкнутая ортогональная 505 6.6. Ортоиормироваииые 6вэиеы система в Н. Поскольку элементы у„ортогональной системы отличны от нуля, то ее можно пронормировать, полагая е = 1оиД<ри!! и Е М. В результате получим ортонормированную систему (е„)„"е ы которая является замкнутой в Н, так как линейные оболочки систем (р„1 и (е„1 совпадают. Значит, ортонормированная система (е„1 является базисом в Н.
Поэтому любой элемент х Е Н единственным образом можно представить сходящимся рядом х = 2 с„е„— рядом Фурье и=1 этого элемента. Но этот ряд легко преобразовать в ряд по системе (у„~: Очевидно, что любой ряд по ортогональной системе (~р„1 преобразуется в ряд по системе (е„1. Значит, предъявленное разложение х по системе (у„~ единственно. Итак, любой элемент х е Н имеет разложение по системе (у„), и притом единственное.
Следовательно, эта система— счетный базис в Н. ~ Рассмотрим еще одну характеристику ортонормированных систем. Как и в случае беснонечномерных евклидовых прострвнстпв (см. определение З.З), ортпонормированную сисепему (е„~'~ 1 гильбертова пространства Н называют полной, если единственным элементом в Н, ортогональным всем элементам системы (е„1„ и ЯвлЯетсЯ нУлевой элемент. Теорема 6.14. Для того чтобы ортонормированная система (е„~~ 1 гильбертова пространства Н была базисом в Н, необходимо и достаточно, чтобы она была полной в Н.
ч Эта теорема — простое следствие теорем 6.7 и 6.12. Действительно, на основании теоремы 6.12 ортонормированная система (е ~~ 1 является базисом тогда и только тогда, когда она замкнута, т.е. линейная оболочка Ь этой системы всюду плотна 506 б. ОРТОНОРМИРОВАННЫЕ СИСТЕМЫ в Н. В свою очередь, согласно теореме 6.7, линейное многообразие Ь всюду плотно в Н тогда и только тогда, когда единственным элементом в Н, ортогональным всем элементам линейного многообразия Ь, является нулевой элемент.
Нам остается показать, что если х 1 ею сс Е Я, то х .1 Ь, так как элемент, ортогональный Ь, ортогонален всем элементам в Ь, в том числе и элементам системы (е„). Пусть х — элемент из Н, ортогональный всем элементам системы (еи), т.е. (х, еь) = О, и Е Ы.
Любой элемент у Е Ь является линейной комбинацией элементов системы (е„), т.е. у = 2 сц,еь для некоторых аь. Поэтому ь=1 и и и (х, у) = (х, Яаьек) = ~ сц,(х, еь) = ~сц, ° 0 = О. Это означает, что элемент х ортогонален Ь. > Пример 6.6. В гильбертовом пространстве 8з (см. пример 6.1) ортонормированная система последовательностей е1=(1,0,0,...,0,0,...), ег=(0,1,0, ",0 О," ) еи = (0,0,0,...,0,1,0, ...), и-1 является ортонормированным базисом.
Действительно, как показано в примере 5.13 (случай р = 2), эта система является счетным базисом в банаховом пространстве Мг, норма в котором индуцирована скалярным умножением гильбертова пространства. Нетрудно увидеть, что зта система является ортонормированной, а потому — ортонормированным базисом. В том же примере показано, что последовательность х = (хь)~~ Е сз имеет Разложение х = 2, хиеи по заДанной системе. Согласно ь=1 теореме 6.10, этот элемент имеет разложение в ряд Фурье по б.б. Оргогонавявалив и сущесгвоввяяе ортоговавьвого бвэвсв 507 заданной системе.
В силу единственности разложения элемента по базису ряд х = Я х„е„является рядом Фурье элемента в=1 х по ортонормированной системе (е„), а члены хь последовательности х е б1 — коэффициентами Фурье элемента х по этой системе. 6.6. Ортогонализация и существование ортогонального базиса Как показано в 6.5, если счетная система в гильбертовом пространстве является ортогональной (ортонормированной), то проверка того, является ли эта система базисом, заметно упрощается. Поэтому в гильбертовых пространствах важно уметь строить именно ортогональные (ортонормированные) системы.
Обычно не составляет труда указать в гильбертовом пространстве какую-нибудь счетную линейно независимую систему элементов. Ортогональную систему можно строить, отталкиваясь от такой линейно независимой системы. Широко известен алгоритм преобразования произвольной линейно независимой системы в ортонормированную систему, называемый процессом ортогонализации Грома — Шмидта (или процессом ортогонализации Шмидта). Этот алгоритм применяется для построения ортонормированных базисов в конечномерных евклидовых пространствах [?Ч], но без изменений переносится и в бесконечномерные евклидовы и унитарные пространства. Суть процесса ортогонализации Грама — Шмидта состоит в том, что исходную систему (дь)„ 1 заменяют экаиваленпьной ей ортонормированной сиспьемой (еь)~~ 1, т.е.
такой, что любой элемент еь является линейной комбинацией элементов д; с номерами ? < к и, наоборот, любой элемент дь является линейной комбинацией элементов е; с номерами 1' < к. Существование для произвольной счетной линейно независимой системы эквивалентной ей ортонормированной системы утверждает следующая теорема, однако заметим, что в данном случае важна 508 б. ОР ТОНОРМИРОВАННЫЕ СИСТЕМЫ не столько формулировка этой теоремы, сколько ход ее до- казательства, так как именно в доказательстве раскрываются детали процесса Грама — Шмидта. Теорема 6.15.
Пусть (дь)0~ — произвольная линейно независимая система элементов гильбертова пространства Н. Тогда в Н существует ортонормированнвя система элементов (еь)~~ г, связанная с системой (дь) соотношениями < еь = аыдг + аьгдг +... + аяьдю я е 1Ч; (6.13) дь=Ьягег+Ььгег+."+Ьььею ЬЕМ, в которых ам,ЬМЕР, г=1,й, йбИ, причемаььФОи Ьы,~еО, Й Е 1Ч. < Доказательство удобно проводить в два этапа. На первом этапе мы построим ортогональную систему, удовлетворяющую соотношениям вида (6.13) (построение такой системы и есть собственно процесс ортогонализации Грама — Шмидта). На втором этапе мы пронормируем каждый элемент ортогональной системы так, чтобы все элементы имели единичную норму.
Итак, построим ортогональную систему (Я~~, для которой выполняются соотношения с Ь=оыдг+оьгдг+" +оььдю ЙЕТИ дь = Ри Л + дьг1г + " + Ней, (6.14) Лс = дь — )Зыби " — Ц,к-г~я-м Й е Ь). (6.15) где аьь ф О, ~9ьь ~ О, я е Ь1. Отметим, что элементы ~ь определяются с точностью до числового множителя, так как умножение этих элементов на число не нарушает ни вида соотношений (6.14), ни условий их взаимной ортогональности. Поэтому мы можем считать, что ~3ьь = 1, Й Е М, и строить элементы ~г исходя из второй группы соотношений (6.14), т.е. искать ~ь в соответствии с формулой б.б. Ортогонаанааннн н суснествованне ортогонального баанса 509 Для й = 1 находим, что 11 = д1. При этом сл11 = 1 ~ О.
Для й = 2 в силу уравнений (6.15) элемент уг следует искать в виде Ь =дг — А1Ь, причем этот элемент должен быть ортогонален уже найденному элементу 11. Следовательно, О = (Ь, Л) = (дг — А1Ь Ь) = (дг, Ь) — А1 (Ь Ь) . Отсюда находим, что (дг Л) У1 У1) (дг, Л) (дг Л) дг — 11 дг — ( )д, т.е. верно первое соотношение (6.14) в случае й = 2, причем ссгг = 1 ф 0 (второе соотношение, напомним, равносильно равенству (6.15), исходя из которого и был построен элемент )г).
далее мы можем построить элемент Ь = дз — Рз111 — Рзг1г, используя для определения ксоффициентов 13з1 и )1зг условия ортогональности 1з 1- ~1 и Ь -1. Л. Продолжая процесс ортогонализации в соответствии с методом математической индукции, полагаем, что построены первые п — 1 попарно ортогональных элементов 11, 1 Е Н, удовлетворяющих условиям (6.14) при й = 1, и — 1. Построим элемент ~и Е Н вида (6.15) при й = п, ортогональный ЭЛЕМЕНтаМ ~1, Ь, 1'и 1. УСЛОВИЕ Ь.Е Ди (й < И) ОЗНаЧаЕт, что и-1 0 = (У Ь) = (9 — ХРид', Б) = 1=1 и-1 = (д Ь) — ~~~,Риб(Д, Л) = (д Ь) — Диь(Ь, Ь). 510 б.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
