IX Власова Е.А. Ряды (1081388), страница 66
Текст из файла (страница 66)
Ограниченное мкожес7пео Е С К называют измеримым по Лебегу, или просто измеримым, если его внешняя и внутренняя меры совпадают: т,Е = гп'Е. При этом общее значение мер т'Е и т„Е называют мерой Лебега (лебегоеой мерой, или просто мерой) измеримого множества Е. Лебегову меру множества Е будем обозначать тп(Е). Таким образом, т(Е) = 7п,(Е) = т'(Е). Отметим, что из измеримости множества Е, включенного в отрезок Ь, следует измеримость множества Ь ~ Е. В самом деле, если Е измеримо, то т(Е) = т,(Е) = гп(Ь) — т'(Ь ~ Е) и 531 7.1. Мере Лебега т'(Ь!!Е) =т(Ь) — т(Е). Однако т,(Ь~Е) =т(Ь) — т'(Е) = = т(Ь) — т(Е) и, следовательно, т"(Ь ~ Е) = т„(Ь'! Е), т.е.
множество Ь'! Е измеримо. Без доказательства отметим некоторые основные свойства измеримых по Лебегу множеств и самой меры Лебега. 1. Если множества Е! и Ез измеримы, то измеримы и множества Е! 0 Ег, Е! П Ез, Е! !!Ез. 2. Любое подмножество измеримого множества, имеющего меру нуль, измеримо, и его мера равна нулю. 3.
Мера Лебега обладает свойством аддитивности: если множества Е! и Е2 измеримы и не пересекаются, то т(Е! ОЕг) = т(Е!)+т(Ез). 4. Объединение Е = Ц Е„счетного набора измеримых мное=! жеств (Е„)'~ 1, являющееся ограниченным множеством, есть множество измеримое. 5. Мера Лебега обладает свойством счетной аддитивности (или о-аддитивности): если (Е„)„'! — последовательность попарно непересекающихся (т.е. Е; П Е1 —— И, ! Ф 1) измеримых множеств, объединение которых является ограниченным множеством,то 6. Пересечение Е = П Е„счетного набора измеримых мное=! жеста (Е„)~ ! есть также множество измеримое.
7. Пусть на отрезке Ь задана монотонно неубывающая последовательность измеримых множеств (Ее)„1, т.е. последовательность, удовлетворяющая условию Е„С Е„+! С Ь, и Е М. Тогда (Це„)= и (е,!. и=1 532 7. РЯДЫ ПО ОРТОГОНАЛЬНЫМ СИСТЕМАМ В Ьг(о,б) 8. Пусть задана монотнонно невозрастаающтья носледоватпельностпь измеримых мноэтсестав (Е„)'„" 1, т.е. последовательность, удовлетворяющая условию Е„Э Е„+1, тт Е Я. Тогда (Пе„) = е )е„). и=1 Свойства 7 и 8 называют ненрерывностпью меры.
Рассмотрим простейшие примеры измеримых множеств. Всякий промежуток (а, Ь) является измеримым по Лебегу множеством, причем его мера совпадает с длиной (длина промежутка уже была названа его мерой). Пустое множество измеримо, и его мера равна нулю. Любое множество, состоящее из конечного числа точек, измеримо, и его мера равна нулю. Любое ограниченное счетное множество в К также измеримо, и его мера равна нулю. Множество иррациональных чисел на отрезке Ь измеримо и имеет меру тп(1ь), так как является дополнением к счетному множеству рациональных чисел этого отрезка, которое является измеримым и имеет лебегову меру нуль. Из теории действительных чисел известно', что всякое открытое множество на числовой прямой К является объединением конечного или счетного числа попарно непересекающихся интервалов (конечных или бесконечных).
Следовательно, всякое ограниченное открытое множество, будучи объединением конечного или счетного набора попарно непересекающихся конечных интервалов оь = (аю Ь|), является измеримым по Лебегу множеством, и его мера равна сумме длин этих интервалов 2, тп(ст„). (и) В заключение приведем понятие, которое понадобится в дальнейшем. Говорят, что некоторое свойстттво С, зависящее от параметра х Е Е С К, выполнено на Е ночтпн всюду, если мера множества точек х Е Е, для которых это свойство не выполняется, равна нулю. *См.: Коемогорое А.Н., Фомин С.В. 7.2.
Измеримые функции 7.2. Измеримые функции 533 Определение 7.1. Пусть Е с К вЂ” измеримое по Лебегд миохсестиво. Функиию у: Е -+ К называют измеримой на Е, если для любого числа А Е К прообраз интервала (А, +со), т.е. множество 1 ~((А,+ос)) = (х е Е: у(х) > А), измерим по Лебегу. Приведем без доказательства основные свойства измеримых функций. 1. Всякая функция, определенная на множестве меры нуль, измерима. 2. Если функция 7', определенная на измеримом множестве Е С К, измерима, то измеримыми являются прообразы любых промежутков, т.е.
множества, заданные следующими соотношениями: 1) Дх) ) А; 2) Дх) < А; 3) 7'(х) < А; 4) В < у(х) < <А; 5) В<Дх)<А; 6) В<~(х)<А; 7) В<~(х)<А; 8) Дх) = А. Кроме того, верно и обратное утверждение: если измеримы все множества хотя бы одного из первых семи указанных здесь типов, то функция 1 измерима на Е.
3. Сумма, разность и произведение двух измеримых на Е функций измеримы на Е. Частное измеримых функций измеримо, если знаменатель нигде на Е не обращается в нуль. 4. Композиция д о Дх) = д(у(х)) измеримой на Е функции у(х) и непрерывной на К функции д(д) является измеримой функцией на Е.
5. Если у и д — измеримые функции на множестве Е, то множество, заданное неравенством у(х) < д(х), измеримо. 6. Пусть для любого х Е Е существует предел 1пп Д„(х) = = у (х). Если все функции у„(х) измеримы на Е, то и предельная функция Дх) также измерима на Е. 7. Если функция у(х) измерима на Е и Дх) = д(х) почти всюду на Е, то функция д(х) также измерима на Е. Отметим, что все использующиеся на практике функции являются измеримыми.
Например, все непрерывные, кусочно 534 7. РЯДЫ ПО ОРТОГОНАЛЬНЫМ СИСТЕМАМ В Ьг~а,'о) непрерывные и интегрируемые ио Риману на отрезке ~ае, Ц функции являются измеримыми на этом отрезке. Класс неизмеримых функций связан с неизмеримыми множествами. Если функция У не является измеримой на ограниченном множестве Е, то для некоторого числа А множество 1х е Е: Дх) ) А) не является измеримым.
Наоборот, если М вЂ” неизмеримое по Лебегу ограниченное множество, содержащееся в ограниченном промежутке Ь, то функция 11> хЕМ; *1 О, х Е,б '1 М (функция-индикатор множества М) не является измеримой на множестве М, так как не является измеримым множество 1х Е Ь: |(х) = 1) = М. Пример ограниченного неизмеримого множества построить непросто' 7.3. Интеграл Лебега Как и интеграл Римана, интеграл Лебега зависит от двух составляющих — интегрируемой функции и области интегрирования. Областью интегрирования в интеграле Лебега является измеримое множество, а интегрируемой функцией— измеримая функция.
Отличительной особенностью интеграла Лебега является то, что при составлении интегральньпс сумм разбиение строится не в области определения функции, а в области ее значений. Интеграл Лебега будем вводить в несколько этапов, последовательно расширяя класс функций. Сначала определим интеграл Лебега от ограниченных измеримых функций. Итак, пусть действительная измеримая функция у 1х) определена и ограничена на ограниченном измеримом множестве Е, т.е. выполняются неравенства А < у 1х) < В, х Е Е, где А и В— *Пример иеигмеримого множества см., например; Колмогоров А.Н., Фомин С.В. т.З. Интеграл Лебега некоторые числовые константы. Выберем некоторое разбиение т отрезка [А, В[, т.е.
множество точек А=уо<У1 <Уг« у -1<у =В, которое разделяет отрезок на меньшие непересекающиеся про- межутки [А У1) [У1 уг) [У -г уи-1) [Уи-1, В11. Напомним, что величину а(т) = ШаХ (Уге1 — У;) =О, -1 называют диаметрам разбиения т. Пусть е;=(хне:у;<У(х)<у1+1), 1'=О,п — 2; Еи 1=(хЕЕ: уи 1<1(х) <уи). Сумму и-1 Я,(1) = ~1 у;т(Е;), 1=0 где т(Е;) — мера Лебега множества Е;, называют интпе- гралъной суммой Лебега для функции Дх) при заданном разбиении т, Определение Т.2. Интпегралом Лебези от ограниченной измеримой функции Дх) на измеримом множестве Е называют предел | Дх)ах = 1пп Ят(г) и(т)-+О й интегральных сумм Лебега Я (у) при стремлении диаметра разбиения а(т) к нулю, если этот предел существует.
Фунниию У(х), для которой определен интеграл Лебега, называют интегрируемой по Лебегу на множестве Е. 53б Т. РЯДЫ ПО ОРТОГОНАЛЬНЫМ СИСТЕМАМ В Ь1[а,6) Для интеграла Лебега используют общепринятое обозна чение интеграла. Однако в тех случаях, когда необходимо подчеркнуть,что записанный интеграл следует понимать как интеграл Лебега, перед знаком интеграла ставят специальное обозначение (Ь). Итак, интеграл Лебега от функции Дх) на множестве .Е обозначают следующим образом: (Ь) 7'(х) дх или 7" (х) Нх.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
