IX Власова Е.А. Ряды (1081388), страница 70
Текст из файла (страница 70)
Например, для функции 7" (х) = зйп(х) в силу ограниченности принадлежащей Ьз[-1, Ц функция Р(в) = в8п(х) дх = ]в], в Е [ — 1, Ц, о не дифференцируема в нуле. Полученное противоречие доказывает, что система одночленов (х")~~ не является базисом в Ьз[ — 1,Ц. ~ Нетрудно показать, незначительно изменив доказательство теоремы 7.11, что система (х"~~~~ „не является базисом ни в каком другом гильбертовом пространстве Аз[а, Ь]. Хотя система (хь)~~ не является базисом в гильбертовом пространстве Ьз[-1, Ц, она, как мы отмечали ранее, есть замкнутая линейно независимал система в Ьз[ — 1,Ц, т.е. замыкание ее линейной оболочки совпадает с л.2[-1, Ц. Для таких 559 7.7. Много члены Лежввдра систем имеется простой способ получения на их основе базисов гильбертова пространства — проиесс ортогонализаиии Грома — Шмидта.
Применим к системе одночленов (х")~~в процесс ортогонализации, в результате которого получим ортонормированнмб базис (7.13) Ь(х), а(х), 1'1ь(х) 1ео(х) = 1; 1 [ хНх Щ(х) = х — 2 1ео(х) =х— (х, Ь) [[1ео[[2 — 1 1 =х; [х2, Яо) (х2, Я1) а ( ) =*'- [[а,[! ь(*)- [[а,[! 1 [' хгдх 2 =х— 1 1 [ Их — 1 91(х) = 1 [' х'Их — 2 х=х — —; 3> ) ХгаХ -1 в сепарабельном гильбертовом пространстве Ь2[ — 1,Ц (см.
следствие 6.4). Заметим, что наряду с системой (7.13) ортонормированным базисом будет и любая другая система, члены которой отличаются от соответствующих членов системы (7.13) только знаком. В соответствии с процессом ортогонвлизации каждый элемент Яь(х) полученного ортонормированного базиса является линейной комбинацией первых я+ 1 злементов 1, х, х2, ..., х" исходной системы, т.е. является многочленом степени /с. Таким образом, ортонормированный базис (7.13) состоит из многочленов.
Учитывая вид скалярного произведения в Ь2[ — 1,1], вычисляем в явном виде несколько первых членов ортонормированного базиса (7.13): 560 7. РЯДЫ НО ОРтОГОнАльным системАм В ьр[а,з] 1 )' х41(х -1 х— 1 ) хгох — 1 Яг(х) = х — 1 ) 41х -1 1 ) з( г 1)й -1 )(г 1),~ (х — — ) =х — — х. 3 5 (ь Вь(х) = — (х — 1) ох" (при я = 0 считаем, что Ве(х) = 1). Причем докажем это утверждение не путем явного вычисления многочленов Вь(х), а используя только свойства системы функций (Вь(х))~~ е. Теорема 7.12.
Система функций (Вь(х)Ц' является ортогональной системой в гильбертовом пространстве Х 2[-1, Ц. ~ Для всякого я функция Вь(х) является многочленом й-й степени, т.е. непрерывной функцией, не равной тождественно Продолжая вычисления, в принципе можно вычислить в явном виде любой член Яь(х) ортонормированного базиса (7.13). Однако этот путь технически сложен, сопряжен с громоздкими вычислениями и не приводит к легко устанавливаемому явному представлению многочлена Щх).
Как отмечалось, точные выражения для Щх) не обязательны. Достаточно построить систему, члены которой совпадали бы с членами системы (7.13) с точностью до постоянного числового множителя. Тогда, пронормировав эту систему, получим требуемый ортонормированный базис. Покажем, что всякий многочлен Яь(х), й = О, 1,..., с точностью до постоянного множителя совпадает с многочле- ном 563 7.7. Много члены Лежандра Вычислим интегралы 1 = (х2 — 1)них, Й=6,1,...
-1 испольэуя рекуррентные формулы. 1 При Й = 0 получаем Ге = / (х — 1) ~ Их = 2. А при Й > 1 имеем — 1 х(х— Отсюда заключаем, что 2Й Г„=- — Г„„ЙеМ. 2Й+ 1 Применяя полученную формулу п раз, находим (2п + 1) (2п — 1)... 3 ' (2п + 1) П ' где по определению (2Й+1)Н = 1 3. 5 ... (2Й+ 1). С помощью найденного интеграла вычисляем норму много- члена Щ(х): 1 Га =~ (ив 2 -1 1 — 1 1)" дх= (х — 1)" (х — 1)дх= -1 1)л — 1 2 1. Г 1 (( 2 1)й-1 ~( .2 1) 2/ -1 1 à — 1~ 1= — ~ хд(х — 1) — 1ц 1 —— 2Й/ -1 1 — — / (х2 — 1) о~ — 11 1= — — Ге — Хе 2Й -1 2"+'(2Й)1Й! 2"+'Й1 (2Й) И 22"+1 (Й1) (2Й+ 1)11 2Й+ 1 2Й+ 1 564 7. РЯДЫ НО ОРТОГОНАЛЬНЫМ СИСТЕМАМ В Ье(е,ь) где (2Й))! = 2.4 ...
(2)с). Таким образом, [[Ль[[ = 02~1/ —, )с = О, 1, 2, ! 2 7' 2)с+1' а система пронормированных многочленов имеет вид Вь(х) 1 ) 2й+1 — = — у Вь(х) = Р,[[ = Ц2ь')!' 1 ~2й+1 с(~ = — — — (*'- 1) й(2" Ч 2 Их" й=0,1,2,..., (7.14) и представляет собой ортонормированный базис в гильбертовом пространстве с 2[-1,1]. Обычно в качестве базиса в Ьг[-1,1] используют не ортонормированную систему многочленов (7.14) с громоздким /2й+ 1 радикалом | —, а более простую ортогональную (но не ортонормированную) систему многочленов г Ре(х) = — — (х — 1) )с = О, 1, 2, ...
(7.15) )с! 2" с(х" | 1 Ре(х)Р„(х)с1х = -1 О, (сФп; 2 — 1с = и. 2п+1' Поскольку система (Рь(х))„'е является ортогональным базисом в гильбертовом пространстве Ьг[ — 1,1], то каждую функ- "Лежандр Адрнен Мари (1еяендте А.М.) (1782 — 1833) — французский математик. Многочлены Рь(х) называют мноеочленами Лежандра', а их представление (7.15) — (рорму вой Родриеа.
Многочлены Лежандра попарно ортогональны, однако их нормы не равны единице: 565 7.7. Мяогочлеяы Лежанлра цию Г(х) б Ьг[-1, Ц можно однозначно представить своим ря- дом Фурье по системе многочленов Лежандра: Г(х) =' 7 сьРь(х), а=О где сходимость ряда справа рассматривается относительно нормы в Ь2[ — 1,Ц, т.е.
в среднем квадратичном, а равенство выполняется почти всюду на отрезке [ — 1, Ц. Коэффиппентм Фурье сь определяются по формулам 2й+1 Г сь = — / Г(х) Рь(х) дх, я = О, 1, 2,... -1 7 (х) = ~ с2тР2т(х), ов=е где 4т+1 Г сз,д = Г(х) Руд(х) дх = 2 -1 1 = (4т+ 1) Г(х) Р2,„(х) дх, О т= 0,1, Нечетные функции из Ь2[ — 1, Ц имеют ряд Фурье по много- членам Лежандра с нечетными номерами: У(х) = ~ с2тп+1Р2тп+1(х)~ 1=О Как производные четных функций (х2 — 1) /(й! 2"), многочлеь ны Лежандра являются попеременно четными и нечетными функциями.
Поэтому в силу симметричности отрезка интегрирования [ — 1, Ц четные функции из Ь2[ — 1, Ц можно разложить в ряд Фурье по многочленам Лежандра с четными номерами: 566 7. РЯДЫ ПО ОРТОГОНАПЬНЫМ СИСТЕМАМ В Аз[а,6) где 4т+ 3 с2т+1 = / 1(х) Рэта+1(х) ох = 2 -1 1 = (4т+ 3) 7'(х) Р~„,+1(х) Нх, 0 т=0,1,2, Пример 7.2. Разложим в ряд Фурье по многочленам Лежандра в гильбертовом пространстве Ьз[ — 1, Ц функцию 7(х) = В Ьэ[-1, Ц любую функцию можно произвольно изменить на множестве меры нуль, сохраняя ее неизменной как элемент этого гильбертова пространства. Учитывая это, заменим за- данную функцию более простой: — 1, — 1~(х<0; д(х) = О, х=О; 1, 0<х<1. Функции у(х) и д(х) представляют собой один и тот же элемент гильбертова пространства Ьэ[ — 1, Ц. Поэтому их ряды Фурье по ортогональному базису в Ьз[ — 1,Ц, состоящему из многочленов Лежандра, совпадают.
Функция д(х) нечетна на симметричном отрезке [-1, Ц, поэтому она имеет ряд Фурье по многочленам Лежандра с нечетными номерами: ц д(х) = ~ сз~+1Рз+1(х), т=О 100, — 1 1 -500, 1, 300, х= — 1; -1<х<0; х= О; 0<х<1; х = 1. 567 7.7. Мяогочлеяы Лежаадра где сгт-1-1 —— (4т+ 3) 9(х) Рот+1(х) Пх = о 1 = (4т+ 3) Ргт+1(х) Их, о т=0,1, Используя формулы Родрига, находим 1 4т+ 3 /' <12~~~ 2 2„,+1„ (2т+1)!2гт+1 / 1хг +1( ) о 4 +3 У ( + (2т + 1)! 22т+1 ЛХгт 4 +3 (2т+1)! 22т+1 ~ где ,1гт Р (х) (х2 Цг +11 0 (2йн2й — 1)...(2й — 2т+1)Хгй 2т, т(й; (2й)! = (2т)!, т=й; О, т > й.
12т 11хгт ( Вычислим значения Р (1) и Р (0). При дифференцировании многочлена кратность всякого его корня уменьшается на единицу. Поэтому при (2т)-кратном дифференцировании многочлена (хг — 1)гт+1 с корнем х = 1 кратности 2т+1 получим многочлен, для которого число 1 является корнем кратности 1. Следовательно, Гт(1) = О. Для вычисления значения Р„,(0) используем равенство 568 7. РЯДЫ ПО ОРТОГОНАЛЬНЫМ СИСТЕМАМ В Ь2(а,6] Из этого равенства следует, что значение функции (х~~)(~ 1 в точке х = О отлично от нуля только при т = к, причем в этом случае оно равно (2т)! Учитывая это и применяя к многочлену (Х2 — цзт+1 фОрМуЛу биНОМа НЬЮтОНа, ПОЛуЧаЕМ ,12т Р.(о) = (.
Ц -+ 2иь+1 Х2ю С2~ + ( — ц2 +1 ~ (х~~) 6=О з=о 2т+ 111 Спз ( цлв+1(2 )1 ( цпь+1(2 )1 ( )' 2т+1 т т 1( + ц1 Следовательно, 4т+ 3 Сам+1 — — ( ) 2 1 (г'т(Ц вЂ” г',„(О)) = т (4т+3)(2т)1 т1 (т + Ц122та+1 ' Так как функции д(х) и Х(х) представляют собой один и тот же элемент гильбертова пространства Х,2[ — 1,1] и их ряды Фурье по многочленам Лежандра совпадают, то функция Х(х) имеет следующее разложение в ряд Фурье по многочленам Лежандра в Х2[ — 1, Ц: т=о где сходимость ряда справа рассматривается относительно нормы в Х2[ — 1,1), т.е.
в среднем квадратичном. ф У.а Мяогочлеяы Чебышева В заключение приведем несколько первых многочленов Лежандра в явном виде: Рз(х) = — (5хз — Зх), 2 Ро(х) = 1, Р4(х) = — (35х — 30хг + 3), 1 Р1(х) = х, Рг(х) = -(Зх — 1), г 2 1 Рв(х) = — (63х~ — 70х + 15х), (сравните с первыми многочленами системы Яь(х) Ц' в). 7.8. Многочлены 'Чебышева У(х) Е 1 г([-1, Ц, ~р) 4=» ~(х),/Ях) Е Ьг[ — 1,Ц. Легко видеть, что множество Ьг([ — 1,Ц, ~р) является действительным линейным пространством.
Оно бесконечномерно, поскольку содержит бесконечную линейно независимую систему элементов 1, х, хг, ..., х", ... Кроме того, из неравенства Ко- Пусть ~р(х) — некоторая фиксированная неотрицательная суммируемал на отрезке [-1, Ц функиил, не являющаяся на [ — 1, Ц почгаи всюду равной нулю. Рассмотрим на [ — 1, Ц измеримые функ44ии, суммируемые с квадратом и весом ~р(х), т.е. такие функции Дх), для которых интеграл Лебе- 1 га ],1~(х)у(х) ах конечен. Совокупность всех таких функций -1 Дх), с условием отождествления функций Дх) и д(х), для которых функции у (х) „/у(х) и д(х) 1Ях) совпадают почти всюду на отрезке [ — 1, Ц, обозначим через Ьг([ — 1,Ц, ~р).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
