IX Власова Е.А. Ряды (1081388), страница 71
Текст из файла (страница 71)
Очевидно, что 570 7, РЯДЫ ПО ОРТОГОНАЛЬНЫМ СИСТЕМАМ В Ьг(о,б] ши — Буняковского для 1'о[-1,1] следует, что 1 1 $у (( (г( (и(*(л / =/~(1( (Ог( () (г( (/й'Т)л $< -1 -1 Следовательно, для любых функций У, д Е Ьг([-1,1], (о) суще- 1 ствует и конечен интеграл ] 1(х) д(х) дг(х) дх. Положим — 1 (1, г( = 1 1( (г( (ф (вл г Г в г (( — г, г(, р(. -1 Нетрудно показать, что для (у, д) выполнены все аксиомы скалярного умножения. Таким образом, линейное пространство Ьз([-1, 1], (р) становится евклидовым пространством. Индуцированная скалярным умножением норма в этом евклидовом пространстве определяется равенством У 612([ 1гЦ|'Р).
Теорема Т.13'. Бесконечномерное евклидова пространство 1'о[-1,1] является еилаберпговым пространством. Система всех многочленов, определенных на отрезке [-1, 1], является его всюду плотным подмножеством. 1]1 "Эта теорема лвллетсл следствием полноты гильбертова пространства Ьг(Х,р) при Х = (-1, 1] и мере р, которве длл любого измеримого множества Е С ] — 1, 1] определена формулой р(Е) = 1'(о(к) дх.
Смл Колмогоров А.Я., Фомин С.В. Е 571 7.8. Мяогочлеяы Чебышева Рассмотрим систему одиочлеиов 2 ь как счетную ливейио независимую систему элементов гильбертова пространства Ьг([-1,Ц, у). Подвергнув эту систему процессу ортаоеоналиэации, получим некоторую замкнутую ортоеональную или ортонормироеанную [по желанию) систему (Щх))ь е многочлеиов в Ьг([ — 1, Ц, ~р), т.е. базис этого гильбертова пространства. Условие ортоиормироваииости системы (Щх))~~ е в Хг([ — 1, Ц, гт) в этом слУчае опРеДелЯетсЯ фоРмУ- лами 1 Яь[х) Я (х)~р(х) Йх = 1 )о, йФ -1 Неотрицательную суммируемую иа отрезке [ — 1, Ц функцию ~р(х), ие являющуюся иа этом отрезке почти всюду равной нулю, с помощью которой определяют гильбертово простраиство Ьг([ — 1, Ц, 1р), называют весом, или весовой фуннцией, а фуннции, ортогоиальиые в гильбертовом простраистве Ьг([ — 1,Ц, ~р), — ортпоаона.явными с весом ~р(х).
Система одиочлеиов (х")„ в результате процесса ортогоиализации в гильбертовом пространстве Ьг([ — 1,Ц,~р) для различных весовых функций ~р(х)приводит к различным системам ортогоиальиых миогочлеиов. В частности, если в качестве весовой взять функцию то процесс ортогоиализации системы одиочлеиов (х")ь в ьг([-1,Ц,~р) приводит к ортогональной системе, элементы которой с точностью до постоянного множителя совпадают с мноеочленами Чебьпиееа 1 Те(х) = 1, Т„(х) = — сов(пагссоех), и Е М.
[7.16) 572 7. РЯДЫ ПО ОРТОГОНАЛЬНЫМ СИСТЕМАМ В Ь2[о,6] Многочлены Т„(х) впервые были получены П.Л. Чебьппевым' при решении задачи об отыскании среди всех приведенных (т.е. с коэффициентом 1 при старшей степени) многочленов п-й степени такого многочлена, который на отрезке [ — 1, 1] имеет наименьшую максимальную абсолютную величину. Чебьппев показал, что решением поставленной задачи являются многочлены (7.16), в дальнейшем названные его именем. Приведем несколько первых многочленов Чебьппева в явном виде: Т1(х) = х, То(х) = 1, 1 Тз(х) = — (4хз — Зх), 4 Тз(х) = — (16х — 20х~ + бх), 16 Тз(х) = — (2х — 1), 2 Т4(х) = — (8х — 8х +1), 8 Теорема 7.14.
Система многочленов Чебьппева является ортогональной с весом 4о(х) = 1/Я вЂ” хз системой элементов в ь,([-1, 1], 1о). < Покажем, что многочлены Т„(х) принадлежат гильбертову пространству 79([ — 1, Ц, ~р) с весом 4о(х) = 1/~/1 — х~, т.е. 4Ь (+со, п = О, 1, 2, | Т„(х) 1/1 — хз -1 (7.17) *Чеаьппев Пафнутий Львович (1821 — 1894) — один из крупнейпп4х русских математиков Х1Х в. Интегралы (7.17) следует рассматривать как интегралы Лебега. Но подынтегральная функция каждого такого интеграла непрерывна и неотрицательна на (-1, 1), а поэтому сходимость интеграла Лебега равносильна сходимости несобственного интеграла Римана от той же функции (теорема 7.4).
Многочлены 573 7.8. Меогоеаееы Чебышева Т„(х) являются непрерывными ограниченными функциями на отрезке [ — 1, 1], а несобственный интеграл на этом отрезке от весовой функции сходится: | Ых 1г Я 7 к~ = агсгйпх[ = — — ~ — — ) = к (+со. Л вЂ” х~ -г 2 ~ 2) -1 Следовательно, при любом п несобственный интеграл (7.17) сходится в силу признака сравнения для несобственных инте- гралов: где М„= гпах То'(х). (-г 1) Теперь покажем, что многочлены Чебьппева попарно ортогональны с весом у(х) = 1/~/1 — х~, т.е. г(х= О, гг,-Ет.
Г Т„(х)Т (х) 41хв (7.18) -1 Интеграл в равенстве (7.18), понимаемый как интеграл Лебега, можно рассматривать и как несобственный интеграл Римана. Это следует из того, что подынтегрвльнвя функция представляет собой произведение непрерывной на отрезке [ — 1, 1] (следовательно, ограниченной) функции на интегрируемую на этом отрезке в несобственном смысле неотрицательную функцию у(х). Несобственный интеграл Римана от такой функции сходится абсолютно, а интеграл Лебега конечен (см. теорему 7.4), причем оба интеграла равны. Чтобы вычислить несобственный интеграл Римана, используем представление (7.16) для многочленов Чебьппева: 1 1 Тш(х)Т„(х) 1 Г сов(тагссовх) сов(пагссовх) дх— г1х. Г1 хг 2.
+о-г / Л вЂ” хв -1 -1 574 7. РЯДЫ НО ОРТОГОНАЛЬНЫМ СИСТЕМАМ В Ьг[а,6) В интеграле справа выполним замену переменного х = совФ, $ Е [О, я] (при этом г1х = — вш8г16 и вш$ > 0 при $ Е [О, и]): 1 | сов(т агссоз х) соз(п агссов х) — 1 гг гг вшЬЙ = ( сеется совпбгН. 1 7 созтФсовг1$ . 1 2т+ -в / ]з1п1[ 2т+и-г / о о 1 | Их= я (719) -1 Полученные формулы верны для натуральных значении т и 71. Если же т = О, то аналогично получаем 1 гг Тв(х)Т„(х) 1 /' ]( О, п > 0; -1 о Из выполненных вычислений следует, что система (Т„(х)) в гильбертовом пространстве Ьз[[-1,1], 1/Я вЂ” х~) ортогональна.
° Из формул (7.19) при т = 71 определяем нормы многочленов Чебьппева в гильбертовом пространстве 1'з [[-1,1], 1/ч1~ — х г: . 7 2~1. []Т„]] = — „, г1 Е 1ч. 1/2~г (7.20) Норму многочлена Те(х) легко вычислить непосредственно: Вычисляя последний интеграл с использованием формул для произведения косинусов, находим 575 7.8, Мяогочлеяы Чеоьппева Всякая функция из Ьз([-1,1], 1/Я вЂ” х ) может быть разложена в рлд Фурье по ортогональному базису из многочленов Чебьппева: Дх) =' ~~> с„Т (х), (7.22) о=о где коэЯфициентьь Фурье с„определяются формулами а сходимость ряда в (7.22) следует понимать как сходимость по норме гильбертова пространства Ьз([ — 1,1], 1/~/1 — х ), т.е.
сходимость равносильна условию / (7'(х) — Я (х)) /Г-хз -1 где Я (х) — частичные суммы ряда Фурье функции Дх) по многочленам Чебьппева. Многочлены Чебьппева являются попеременно четными и нечетными функциями, так как для любого и Е М 1 1 Т ( — х) = — соя(пзхссоя( — х)) = — соя(ли — пзхссозх) = 2" 2" = — ( — 1)" сое(пагссоех) = ( — 1) "Т„(х), х б [ — 1, 1]. Поэтому четные на [ — 1, Ц функции имеют ряд Фурье по много- членам Чебьппева с четными номерами, а нечетные функции— с нечетными номерами. Пример 7.3. Разложим в ряд Фурье по многочленам Чебьппева функцию 576 7.
РЯДЫ ПО ОРТОГОНАЛЬНЫМ СИСТЕМАМ В Ь2[а,6] Это четнал функция, поэтому ее ряд Фурье по многочленам Чебьппева содержит слагаемые только с четными номерами: Г(х) = ~Х~ =' ~ Сзггг72ггг(Х), ггг=о где 1 2 Г )х(У2лг ))т2 1~~/ 1Г).:Р О При т = 0 имеем о Если же т ) О, то 1 1 24™ Г ~Х~Т2 (Х) 22ггг+1 Г Х СОВ(2таГССОВХ) с2„, = — / 41Х = ггх. л l 171 — х2 л l 1/1 — х2 О О Полученный интеграл можно вычислить с помощью уже при- менявшейся подстановки х = сов 2, $ Е (О, л/2): 1 л/2 22'"+1 Г х сов(2тагссозх) 22'"+1 Г г(х = — ( сов$сов2т14(4 = 171 — х2 о о л/2 22"' Г = — / (сов (2т — 1)1+ сов (2т+1)6) Ж = о л 2т — 1 (2т — 1)л .
(2т+1)л 22 вш вгп + 2пг+ 1 22гп Г ( 1)ггг+1 ( 1)ггг ~~ ( 1)ггг+1 22го+1 л '1 2т — 1 2т+ 1) л.(4гп2 — 1) 577 7.В. Многочлеяы Чебьппезз Таким образом, разложение функции [х] на отрезке [ — 1, Ц в ряд Фурье по многочленам Чебьппева имеет следующий вид: 2 2 ( Ц +«2г ° о«=1 где сходимость ряда следует понимать как сходимость по норме гильбертова пространства «'г([ — 1, Ц, 1/~/1 — хг). Триеонометричесная система (сознг)„о является ортогональным базисом в гильбертовом пространстве Ьг[0,я]. Следующая теорема устанавливает связь между гильбертовыми пространствами Ьг([ — 1, Ц, 1/~/1 — хг) и Ьг[0, я] с выделенными в них ортогональными базисами (Т„(х)) и (созп$). е = агссозх, х=Е[ — 1,Ц, ««х «(е =— ~/à — хг 1 = / дх (+ос, /г(х) Я вЂ” хг -1 Г / (соз1) ««1 = о Теорема 7.15. Замена х = созг независимого переменного функций определяет естиестзенный изоморд«изм между гильбертовым пространством Ьг([ — 1,Ц, 1/~/1 — хг) с ортогональным базисом (Т„(х)~„'' и гильбертовым пространством .«'г[0,х] с ортогональным базисом (сознг)~~ о.
~ Замена переменного х = соз8 определяет отображение, которое каждой функции /(х), определенной на отрезке [ — 1, Ц, ставит в соответствие функцию «/«(1) = /(соз$), определенную на отрезке [О,х]. Покажем, что это отображение функции У Е Ьг([ — 1, Ц, 1/Я вЂ” хг) ставит в соответствие функцию «/«Е Е Юг[0, х], т.е. может рассматриваться как отображение из одного гильбертова пространства в другое. Чтобы не усложнять изложение дополнительными фактами из теории интеграла Лебега, докажем это утверждение лишь для тех функций, которые интегрируемы по Риману. Если функция /(х) Е Ьг [[ — 1, Ц, 1/Я вЂ” хг) интегрируема по Риману, то для функции /(сов 1) получаем 578 7.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
