IX Власова Е.А. Ряды (1081388), страница 67
Текст из файла (страница 67)
Если множество Е есть промежуток (а, Ь), то часто используют обозначение интеграла Лебега с двумя индексами: Ь Ь (Е) у (х) Их или 7" (х) дх. Теорема 7.1'. Всякая ограниченная функция у" (х), измеримая на ограниченном измеримом множестве Е интегрируема по Лебегу на Е. Пример 7.1. Функция Дирихяе ~ 1, х рационально; Р(х) = ( О, х иррационально, не интегрируема по Риману [Ч1] ни на каком отрезке [а, Ь] С Ж. Однако, согласно теореме 7.1, эта функция интегрируема по Лебегу на любом отрезке числовой оси. Вычислим интеграл Лебега от функции Дирихле, например, на отрезке [О, 1]. Для этого выберем произвольное разбиение т отрезка [О, 1] точками уе = О, у1, уз, ..., у„ь, у„= 1 (отрезок [О, 1] содержит все значения функции Р(х) ).
Тогда при и ) 2 прообразы промежутков [уь, уь+1), /с = 1, и — 2, являются пустыми множествами, прообраз промежутка [уе, уь) есть множество [О, 1] 1Я меры 'Смл Вулие Б.З. 537 7.3. Интеграл Леееге т([0, 1] ~ Я) = 1, а прообраз промежутка [у„1, у„] есть множе- ство [О, 1] ОЦ меры нуль. Поэтому Б,(П) = О т([О, 1] ~ 12) + у 1 т(ОП [О, 1]] = у„1 О = О Значит, (Ь) 11(х)ни= 1пп Е,(17)=0. У а(т)-+О о Отметим без доказательства некоторые свойства интеграла Лебега от ограниченных измеримых функций, которые понадобятся в дальнейшем.
1. Если / — неотрицательная ограниченная измеримая функция на ограниченном измеримом множестве Е, то (Ь) /(х) дх > О. Е 2. Если 7' и д — ограниченные измеримые функции на ограниченном измеримом множестве Е и Дх) < д(х), х Е Е, то (Ь) Дх) Их < (Ь) д(х) еЬ. 3. Если / и д — ограниченные измеримые функции на ограниченном измеримом множестве Е, то для любых действительных чисел а и 11 верно равенство В отличие от интеграла Римана интеграл Лебега можно определить и для неограниченных функций, хотя и не для всех. Введем интеграл Лебега от неотрицательных неограниченных функций. 538 7. РЯДЫ ПО ОРТОГОНАЛЬНЫМ СИСТЕМАМ В Ь2~а,'О) Пусть |(х) > О, х й Е.
Для всякого натурального Ф рассмотрим функцию ~к(х) = пинах), Ф), являющуюся измеримой ограниченной функцией. При этом Ь(х) < ~у+~(х), Ф Е 11, и 1пп Уу(х) = ~(х), х Е Е. к->со Для функций ~~ч(х) в силу теоремы 7.1 существует интеграл Лебега. Последовательность интегралов (Ь) ) ~у(х) бх не убы- Е вает и поэтому имеет предел (конечный или бесконечный) при Ф вЂ” ~ оо. Определение 7.3. Конечный предел последовательности интегралов (Ь) ) ~н(х)йх при Ф -++со называют икшегра- Е лом Лебега от неотрицательной измеримой функции Дх) по измеримому множеству Е: (о) Дх) Нх = 1пп (Ь) ~,ч(х) Ых.
(7.4) (Ь) 1(х) ах = (Ь) 1+(х) бх — (Ь) ~ (х) Их (7.5) называют иктпегралом Лебега от функции 7" (х). Как и выше, функции, для которых определен конечный интеграл Лебега, называют интегрируемыми по Лебегу, или суммируемыми функциями. Рассмотрим произвольную измеримую функцию 7(х), заданную на ограниченном измеримом множестве Е. Для этой функции введем две функции 7+(х) = шах(1(х), 0) и 7' (х) = = шах( — 7" (х), 0).
Нетрудно показать, что обе введенные функции измеримы на Е и неотрицательны. Кроме того, они связаны с функцией 7" (х) равенством 7'(х) = 7+(х) — 7 (х), х Е Е. Определение 7.4. Измеримую функцию У(х) называют интегрируемой по Лебегу, или суммируемой, если суммируемы функции 1+(х) и 7" (х). При этом число 539 7.3. Интеграл Лебега Замечание 7.1. Если для неотрицательной измеримой функции предел (7.4) бесконечен, то можно считать, что функция имеет бесконечный интеграл Лебега, равный +со. Для знакопеременной функции 7" (х) также можно расширить понятие интеграла Лебега, считая, что он равен +со, если ~ (х) суммируема, а Д~.(х) не является суммируемой (имеет бесконечный интеграл Лебега).
Аналогично в случае, когда 7" ~(х) суммируема, а ~ (х) не является суммируемой, интегралу Лебега от функции Дх) можно приписать значение — оо. При такой расширенной трактовке интеграла Лебега интегрируемыми следует считать в том числе и функции, имеющие бесконечный интеграл Лебега. Смысл термина „суммируемая функция" при этом не изменяется: он означает, что функция имеет конечный интеграл Лебега.
Итак, введение интеграла Лебега завершено и охватывается тремя определениями 7.2, 7.3 и 7.4. Остается проверить, что эти определения не противоречат друг другу. Пусть измеримая на Е функция Дх) ограничена и неотрицательна. Построим последовательность ~~~(х) в соответствии с определением 7.3. Так как ~(х) ограничена, то существует такой номер К, что Дх) < К, х е Е. Поэтому при Ф ) К имеем Лч(х) = ш|п(Дх), Ф) = 7'(х), х Е Е, т.е.
функции ~дч(х), начиная с некоторого номера, совпадают с функцией ~(х). Значит, последовательность интегралов (Ь)( ~у(х)дх с некоторого но- Е мера становится постоянной и имеет своим пределом интеграл (Ь) ( Я(х) Нх, вычисленный согласно определению 7.2. Пусть из- Е меримая функция ~(х) неотрицательна на Е. Тогда У (х) = О и определение 7.4 сводится к определению 7.3. Если измеримая функция Дх) ограничена на Е, то функции ~+(х) и 7 (х) также ограничены. Значит, интегралы от этих функций в равенстве (7,5) можно понимать в смысле определения 7.2. В этом случае равенство (7.5) превращается в одно из свойств интеграла Лебега от ограниченных функций. 540 7. РЯДЫ ПО ОРТОГОНАЛЬНЫМ СИСТЕМАМ В Ь2(а,Ь] Приведем без доказательства основные свойства интеграла Лебега.
Все рассматриваемые ниже множества и функции будем считать измеримыми. 1. Суммируемая на Е функция почти всюду конечна на Е. 2. Функция, суммируемая на Е, суммируема на всяком его измеримом подмножестве. 3. Если гп(Е) = О, то | |(х)Ых = О для любой функции Дх). Е 4. Если т(Е) > О, 7'(х) > О и | 7'(х) дх = О, то Дх) = О почти Е всюду на Е. 5. Если 7'(х) и д(х) суммируемы на Е, то при любых а, Р ЕЙ функция а7'(х) + ~дд(х) также суммвруема на Е н 6.
Если А < 7'(х) < В почти всюду на Е, то Ат(Е) < 7'(х) Их < Вт(Е). В частности, если 7'(х) > О почти всюду на множестве Е, то |,7'(х) ~Ь > О. Е 7. Если функции 7'(х) и д(х) суммируемы на Е и 7'(х) < д(х) почти всюду на Е, то 8. Интеграл от постоянной функции по измеримому множеству Е равен произведению значения функции на меру множе- ства Е: сдх = с. 7п(Е). 541 7.3. Иытеграл Леоега 9.
Пусть Е = Ц Е„вЂ” конечное или счетное объединение (и) попарно непересекающихся измеримых множеств, являющееся ограниченным множеством, и функция Дх) измерима на Е. Тогда |лом=К/л и. Е (н) Е 10. Если ((х) = д(х) почти всюду на Е, то | Дх)с(х = д(х)с(х. Е Е 11. Если )У(х)~ < д(х) почти всюду на Е и функция д(х) суммируема на Е, то функция ( (х) также суммируема на Е и | !~(х)!дх < д(х)дх. Е Е Кроме того, имеет место следующий критперий сулелаируелсостпи Функции.
Теорема 7.2. Для того чтобы измеримая на Е функция У(х) была суммируемой на Е, необходимо и достаточно, чтобы суммируемой на Е была функция ~Дх)~. При этом выполнятся неравенство Дх) с(х < ~Дх))с(х. Е Е Наконец, приведем две теоремы', устанавливающие связь между интегрируемостью по Риману и Лебегу. Теорема 7.3. Если функция Дх) интегрируема по Риману на отрезке [а, Ь], то она интегрируема по Лебегу (суммируема) 'Доказательство теорем см., ыапрымер: Нагпансон атлансон И.П. 542 7.
РЯДЫ ПО ОРТОГОНАЛЬНЫМ СИСТЕМАМ В Ьз(а,Ь) на отрезке [а, 6], и соответствующие интегралы равны: Ь Ь (Ь) Дх) дх = (В) Дх) сКх. Функция Дирихле (см. пример 7.1) показывает, что функция, интегрируемая по Лебегу, может быть неинтегрируемои по Риману, даже если она ограничена.
Известная теорема Лебега' утверждает, что, для того чтобы определенная на отрезке [а, Ь] действительная функция была интегрируемой по Риману, необходимо и достаточно, чтобы она была ограниченной и почти всюду на [а, 6] непрерывной. Класс измеримых функции, для которых существует интеграл Лебега, значительно шире. Напомним, что интеграл Римана существует только для ограниченных функций [Ч1]. На неограниченные функции он переносится с помощью несобственного интеграла. Принципиальное различие между несобственным интегралом и интегралом Лебега состоит в том, что первый можно определить лишь для функций, имеющих конечное число точек, в достаточно малой окрестности которых функция не является ограниченной, в то время как интеграл Лебега может существовать для функции, которая является неограниченной в сколь угодно малой окрестности каждой точки.
Теорема 7.4. Пусть Дх) — неограниченная на отрезке Ь [а, Ь] функция и несобственный интеграл (В) ] Дх) Их сходится. а Ф нкция Дх) является суммируемой на отрезке [а, Ь] тогда У Ь и только тогда, когда несобственный интеграл (В)] Дх)дх а сходится абсолютно, При этом Ь Ь (Ь) Дх) Их = (В) у (х) Их. 'Смс Насааасаа И.П. 543 74. Бавахово простралство й1(а,Ь) 7.4.
Банахово пространство Ь1[а, Ь] Рассмотрим некоторую измеримую функцию Дх), заданную на измеримом множестве Е. Обозначим через СБ(~) класс всех измеримых функций, почти всюду на Е равных функции Дх). Согласно свойствам суммируемых функций (см. 7.3), функции, равные почти всюду на Е, с точки зрения суммируемости и интеграла Лебега не различаются: они одновременно суммируемые или несуммируемые, и их интегралы Лебега равны. Кроме того, нетрудно видеть, что выполнение одних и тех же арифметических операций (сложение и умножение на число) над различными представителями классов СБ(У) и СБ(д) приводит к одному и тому же классу функций: Ч.~1 е СБ(У) Чд1 е СБ(д) Ча, /3 е Й: а~1+фд1 Е СБ(а1+фу). (7.6) Это позволяет при рассмотрении функций, суммируемых на множестве Е, отождествлять все функции одного класса, т.е.
считать одной функцией любые две функции, равные почти всюду на Е. В частности, все функции, отличные от нуля лишь на множестве меры нуль, можно считать одной и той же нулевой функцией. Множество всех функций, суммируемых на отрезке [а, 6] (с отождествлением функций, равных почти всюду на этом отрезке), образует линейное пространство относительно обычных операций сложения функций и умножения функции на число.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
