IX Власова Е.А. Ряды (1081388), страница 63
Текст из файла (страница 63)
ОРТОНОРМИРОВАННЫЕ СИСТЕМЫ Это позволяет найти все коэффициенты ~9„ю й = 1,п-1. В результате получаем (6.16) Из этого соотношения, а также из соотношений (6.14) при я = = 1, и — 1 заключаем, что выполняется первое соотношение (6.14) при я = и. Действительно, в представлении (6.16) в правой части достаточно заменить каждый элемент ~ь линейной комбинацией элементов дм дз, ..., дь что возможно в силу первого соотношения (6.14). В результате получим представление элемента ~„ в виде линейной комбинации элементов д1, д„, причем коэффициент при д„равен единице, т.е. в первом соотношении (6.14) при я = и имеем а„„= 1 ,-~ О. Отметим, что из этого представления вытекает, что Д„~ О, так как этот элемент является линейной комбинацией линейно независимой системы элементов и в этой линейной комбинации есть ненулевые коэффициенты.
Итак, если ненулевые элементы ~~, ..., ~„1 попарно ортогональны и удовлетворяют соотношениям (6.14) для к = 1, и — 1, то существует элемент ~„~4 О, определяемый формулой (6.16), такой, что система элементов 1п ~„ортогональна и для нее верны равенства (6.14). Согласно методу математической индукции, существует счетная ортогональная система (Яь м удовлетворяющая условиям (6.14). Тем самым первая часть теоремы доказана. Элементы ~ь определяются последовательно по возрастанию номеров с помощью формулы (6.16). х1тобы завершить доказательство теоремы, требуется построить не просто ортогональную систему элементов, а ортонормированную систему.
Поскольку все элементы ~ь ненулевые,то для этого достаточно вх пронормировать: б.б. Ортогоиааизаииа и суозестаоааиие ортогоиааьиого базиса 511 Построенная ортонормированная система (еь)~~ ~ является искомой, поскольку с учетом (6.17) равенства (6.14) можно записать в виде (6.13), если положить Из доказательства теоремы 6.15 вытекает, что каждый очередной элемент строящейся ортонормированной системы определяется с точностью до множителя х1. Таким образом, элементы любой другой такой системы будут отличаться от элементов построенной системы только знаком. Отметим также, что для исходной линейно независимой системы (дь)„, и эквивалентных ей ортогональной (Я~~ и ортонормированной (еаЦ" систем линейные оболочки систем еь ..., е„, Л, .", 1о и д~, ..., д„совпадают для любого натурального тк (е~, ..., е„) = (~~, ..., 7'„) = (д~, ..., д„). (6.18) Теорема 6.15 позволяет получить следующий важный результат.
Теорема 6.16. В гильбертовом пространстве Н существует счетный ортонормированный базис тогда и только тогда, когда Н является сепарабельиыас пространством. < Необходимость. Поскольку гильбертово пространство является банаховым, сепарабельность гильбертова пространства со счетным ортонормированным базисом следует иэ теоремы 5.11. Достаточность. Пусть Н вЂ” сепарабельное гильбертово пространство. Докажем, что в нем существует счетный ортонормированный базис. Из сепарабельности Н следует, что в этом гильбертовом пространстве существует последовательность элементов М = (дь)~~~ , являющаяся всюду плоитиььи мкожествоас. Не ограничивая общности рассуждений, будем считать, что первый элемент д~ отличен от нуля (иначе нужно изменить нумерацию элементов М). 512 6.
ОРТОНОРМИРОВАННЫЕ СИСТЕМЫ Обозначим Ф1 = д1 и рассмотрим последовательность оставшихся элементов (дь)~~ . Пусть дь — первый элемент в этой последовательности, линейно независимый с ф1 = дп т.е. дь ~ Лд1 ни при каком Л Е г". Такой элемент дь существует, поскольку иначе последовательность (дь©, являлась бы подмножеством одномерного подпространства (д1) гильбертова пространства Н (см.
теорему 5.4). Поскольку подпространство гильбертова пространства — замкнутое множество, то в этом случае выполнялось бы включение М С (д1), откуда (д1) = Н, и Н было бы одномерным пространством. Но это противоречит определению гильбертова пространства. Обозначим 1бз = дь и снова рассмотрим последовательность оставшихся элементов дь+и дь+з, Пусть д~ — первый элемент в этой последовательности, линейно независимый с ф1 = д1 и фз = дь. Такой элемент д~ найдется, поскольку иначе гильбертова пространство Н будет совпадать с линейной оболочкой (Ф1, Фг),т.е.
являться двумерным,что противоречит определению гильбертова пространства. Обозначим джаз = дь Продолжая процесс, построим бесконечную линейно независимую систему элементов (~„)~ 1 С М. Такая система будет бесконечной, поскольку для построенных Ф линейно независимых элементов ф1, фэ, ..., Фн в оставшейся части системы (дь) можно найти элемент д„линейно независимый с элементами ф1, фз, ..., фн, так как иначе гильбертово пространство Н совпадаю бы с линейной оболочкой (й1, фз, ..., ф,ч) и являлось бы конечномерным линейным пространством, что противоречит определению гильбертова пространства.
Система (1б„)~ 1 линейно независима, т.е. любая конечная ее подсистема фв1, дув~, ", Фв„, п1 < пз < < пь является линейно независимой, ПОСКОЛЬКУ ЛИНЕЙНО НЕЗаВИСИМа СИСтЕМа и1, Рг, ..., Фо„[1Ч]. Кроме того, любой элемент дь либо совпадает с одним из элементов ф„, либо является линейной комбинацией элементов Ф1 Фз, " 4в-1 для некоторого номера и. Следовательно, множество М = (дь)~~ является подмножеством линейной оболочки элементов ф1, ф~, ..., ф„, ...
Значит, замыкание линей- б.7. Изоморфяоеть тильбертояых проетраяетв 513 ной оболочки элементов фы фг, 1У„, содержит в себе множество М = Н, а построенная система (ф„)~ 1 является замкнутой счетной линейно независимой системой элементов гильбертова пространства Н. Применим к системе (ф„)~ 1 процесс ортогонзлизации Грама — Шмидта. В результате получим эквивалентную ортонормированную систему (е„)'„~ ы т.е. такую, что (еы ег1 ..., е„) = (фь 'Фг, ..., ф„), и Е 1Ч. Следовательно, линейные оболочки систем (е„) и (ф„) также совпадают.
Поскольку линейная оболочка системы (ф„) всюду плотна в Н, то и линейная оболочка системы (е„) всюду плотна в Н. Согласно теореме 6.12, ортонормированная система (е„) является счетным ортонормированным базисом сепарабельного гильбертова пространства Н. ~ Следствие 6.4. Применение процесса ортогонализации Грама — Шмидта к произвольной замкнутой счетной линейно независимой системе элементов сепарабельного гильбертова пространства Н позволяет получить счетный ортонормированный базис в Н. 6.7. Изоморфность гнльбертовых сепарабельньгх пространств Напомним, что линейные простпранстпва Ь1 и Ьг называют изоморфными, если существует биектпивное отпойражение ул Ь1 -е Ьг, сохраняющее алгебраические операции, т.е. удовлетворяющее следующим условиям: 1) ~0(х + у) = ф(х) + ф(у), х, у Е Ь1,' 2) ~р(Лх) = Л~р(х), х 6 Ьы Л е Р.
При этом само отображение ~р называют изоморфизмом линейных пространстпе Ь1 и Ьг. Определение 6.7. Гильбертовы простпранства Н1 и Нг со скалярными произведениями (, )и, и (, )и, называют 514 б. ОРТОНОРМИРОВАННЫЕ СИСТЕМЫ изоморфными, если существует такое биективное отображение ун Н1 -+ Нг, что верны равенства: 1) 1о(х + у) = у(х) + у(у), х, у Е Н1, 2) <р(Лх) = Л~р(х), х Е Нм ЛЕТ; 3) (<Р(х), 'Р(у)) и, — — (х, У)н, х, у Е НО При этом отображение 1о называют изоморфизмом гильбергповых простпрансгпв Н1 и Нг.
Изоморфизм гильбертовых пространств сохраняет не только алгебраические операции этих гильбертовых пространств, но и их скалярные произведения. Теорема 6.17. Всякое действительное (комплексиое) сепарабельное гильбертово пространство Н изоморфно действительному (комплексному) гильбертову пространству сг. < Пусть Н вЂ” сепарабельное действительное (комплексное) гильбертово пространство. Тогда, согласно теореме 6.16, в Н существует некоторый счетный ортонормированный базис (еь), .
Всякий элемент х Е Н единственным образом можно разложить в рлд по ортонормированноб системе (еь): х = сьеь, сь = (хь, еь), й Е 1Ч (рлд Фурье элемента х по этой я=1 системе). При этом имеет место равенство Нарсевалл ()х((~ = (сь ~~. Согласно этому равенству, последовательность я=1 с1, сг,, с„, коэффициентов Фурье любого элемента х Е Н принадлежит гильбертову пространству Ег. Зададим отображение <р: Н -ь Кг следующим образом: каждому элементу х Е Н поставим в соответствие числовую последовательность х = (сь)'~ его коэффициентов Фурье по ортонормированной системе (еь). Докажем, что отображение ~о биективно. Пусть х и у — два произвольных различных элемента гильбертова пространства Н, т.е. х — у ф О.
Поскольку система (еь) является ортонормированным базисом в Н, то она полна б.7. Иэоморфвость гввьбертовьех простравств 515 в Н (см.теорему 6.14). Следовательно, найдется такой номер /с е М, что (х — у, еь) ф О. Отсюда (х, еь) ф (у, еь), т.е. коэффициенты Фурье с номером к для элементов х и у различны и двум разным элементам гильбертова пространства Н соответствуют две разные последовательности коэффициентов Фурье по системе (еь). Таким образом, отображение у представляет собой инъекцию.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
