IX Власова Е.А. Ряды (1081388), страница 60
Текст из файла (страница 60)
Поэтому 9х — (у+у")/26 > д. Учитывая это, находим 4д~ = ))(х — у)+(х — у')(! + (((х — у) — (х — у*Ц = ~)2х — (у+у И(э+~~у — у )9г = у+у' г =4~~х — ~! +((у — у')Й >4д +Йу — у'!! Таким образом, 0 > ~)у — у'((г, что возможно лишь при 9у — у*9 = = О, откуда у =у' Напомним, что гильбертово пространство Н в то же время является и нормированным пространством.
Множество Х С Н называют подпространстпаом ги ььбертпова простпранстпва Н, если оно является подпростпранством нормированного простаранстпва Н. Следствие 6.2. Для любого подпространства Ь гильбертова пространства Н и произвольного элемента х е Н существует, причем единственный, элемент у Е Ь, такой, что Р(х,Ь) = 9х — У9.
~ Согласно определению, подпространство гильбертова пространства замкнуто. Кроме того, подпространство выпукло, что следует из определения линейного многообразия. Значит, к подпространству гильбертова пространства можно применить теорему 6.3. ~ 491 б.3. Ортоговалъяость 6.3. Ортогональность Напомним, что элеменпьы х и у евклидова (унитарнозо) пространства Н называют орпьоеональными (мы будем обозначать это так: х Х у), если (х, у) = О [1Ч). Элеменпг х Е Н называют орпгогональным подпростпранспьву Х с Н, если с 1.х для всех х Е Х,что будем обозначать я 3 Х.
Теорема 6.4. Если Х вЂ” надпространство гильбертова пространства Н, то множество Х"- = (я Е Н: я.1 Х) также является подпространством Н. < Выберем произвольные элементы яг, яг Е Х.~-. В силу определения множества Х,~ для всех х Е Х, справедливы равенства (гм х) = О, (яг, х) = О.
Поэтому для любых чисел амаг Е Р имеем (а~я~+агяг, х) = аг(яг, х)+аг(яг, х) =О, х Е Х. Следовательно, а~яг + агяг Е Х, т.е. Х вЂ” линейное многообраа зие. Докажем, что множество Хг. замкнуто. Пусть последовательность (х„) элементов множества Х. с сходится по норме гильбертова пространства Н к некоторому элементу я Е Н. Поскольку (я„, х) = О, х е Х, для всех и е 1Ч, то, согласно теореме 6.1 о предельном переходе в скалярном произведении, имеем (я, х) = 1пп (я„, х) = О, х Е Х. Следовательно, я Е Х.~. Так как любая предельная точка множества Х ~ является пределом некоторой последовательности элементов из Х "., то Х ~- = Х "- и множество Х.-~ является замкнутым. Итак, множество Х,~- — замкнутое линейное многообразие, т.е. надпространство гильбертова пространства Н.
> Подпространство Х.~ называют орпгоеональным доно.янением к подпространству Х в гильбертовом пространстве Н. 492 б. ОРТОНОРМИРОВАННЫЕ СИСТЕМЫ Отметим, что Ь П.о~ = О, поскольку для любого х Е Ь П Ь~ по определению множества Ь~ имеем (х, х) = О, откуда х = О.
Теорема 6.5. Пусть Ь вЂ” подпространство гильбертова пространства Н, х Е Н, а элемент у — тот элемент из Ь, для которого р(х,Ь) = 9х — у((. Тогда х — у Е г Необходимо доказать, что (х — у, Ь) = О для всех Ь Е Ь. Возьмем в Ь произвольный элемент Ь ф О. Так как элемент у, согласно условию теоремы, также принадлежит Ь, а Ь— подпространство, то у — ЛЬ Е г' для любого числа Л Е г. Значит, ))х — (у — ЛЬ) 9 > р(х, Ь) = ((х — у(!.
Возведем полученное неравенство норм в квадрат и запишем с помощью скалярного произведения: (х — у+ ЛЬ, х — у+ ЛЬ) > (х — у, х — у). Преобразуем неравенство, используя свойства скалярного ум- ножения: (х-у, Ь) ПМР— (Ь, х-у) и Л=— После подстановки этих значений в (6.6) приходим к неравен- ству ~(Ь, х-у)(~ ~(Ь, х-у))г ((Ь, х-у)~~ р,иг иЬег + иЬсг которое сводится к неравенству ! (Ь, х — у) )~ < О, справедливому для любого элемента Ь Е г'. Но так как левая часть этого не- (х-у, х — у) + Л(Ь, х — у) + Л(х — у, Ь) + ЛЛ(Ь, Ь) ) )(х — у, х-у) .
Упростив неравенство, находим Л(Ь, х — у) + Л (х — у, Ь) + ~Л~~)Щ~ > О. (6 6) Учитывая, что Ь ф О и, следовательно, 9Ь9 ф О, полагаем б.3. Ортогояалъность 493 равенства всегда неотрицательна, то (й, х — у) = О для любого Ь~Х, те. х — у~Х~. > Теорема 6.6. Пусть Х, — подпространство гильбертова пространства Н. Тогда для любого элемента х Е Н найдутся такие элементы у е Х и х е Х ~, что будет справедливым разложение х=я+х, причем это разложение единственно. ~ Пусть х Е Н. Выберем, согласно следствию 6.2, элемент у Е Х, для которого бх — у(( = р(х,Х). Тогда цо теореме 6.5 имеем х — у Е Х ~.
Положив л = х — р, получим х = у+ л, где у Е Х и х Е Х~. Докажем, что это представление единственно. Допустим, что существуют два разложения элемента х, т.е. х = у~+ л~ — — уз+юг, ум уз Е Х, а х~, хэ Е Х~. Из равенства двух сумм находим у~ — уг = яг — х~, причем у~ — рэ е Х и яэ — х~ Е Х поскольку Х и Ь~ — подпространства. Выше было отмечено, что Х ПЬ~ = О. Значит, у~ — уз = хз — х~ = О и ц~ = уъ г~ = гг.
Мы пришли к выводу, что два произвольных разложения элемента х совпали. Поэтому элемент х имеет единственное разложение. ~ В разложении х = р + г, у Е Х,, л Е Х,~ элемент у в подпространстве Х гильбертова пространства Н называют ортпогональноб проекцией элемента х на подпространство Х. Теоремы 6.4 и 6.6 переносят на бесконечномерные евклидовы пространства аналогичные утверждения из линейной алгебры [1Ч).
Используя понятие прямой суммы, утверждение теоремы 6.6 можно сформулировать следующим образом: гильбертово пространство Н можно представить в виде прямой суммы произвольного подпространства Ь и его ортогонального дополнения Х.~". Н = Х, 9 Х~-. Это утверждение верно для любого конечномерного евклидова пространства (1Ч), но если евклидово пространство бесконечномерно, то утверждение сохраняет силу лишь при дополнительных требованиях: пространство должно быть полным, а подпространство (в тер- 494 б. ОРТОНОРМИРОВАННЫЕ СИСТЕМЫ минологии бесконечномерных пространств — линейное многообразие) — замкнутым. В конечномерных пространствах оба дополнительных требования выполняются автоматически. В дальнейшем прямую сумму Н = Ь Ю Ь~. в гильбертовом пространстве Н будем называть оргпогональной сульмой.
Теорема 6.Т. Линейное многообразие М гильбертова пространства Н всюду плотно в Н тогда и только тогда, когда единственным элементом х е Н, ортогональным М, является нулевой элемент: М = Н с=» (х 1. М =ь х = 0). < Необходимость. Пустьлинейноемногообрззие М всюду плотно в Н (т.е. М = Н) и х 1 М. Тогда существует последовательность (у„) элементов из М, сходящаяся к х по норме в Н. Поскольку х 1.М, то (х, у„) = О, и е М. Значит, согласно теореме 6.1 о предельном переходе в скалярном произведении, 1пп (х, у„) = (х, х) = О, откуда х = О. Достаточность. Пусть в Н единственным элементом, ортогональным всем элементам из М, является нулевой элемент.
Множество М является подпространсгвом гйльбертова пространства Н (см. теорему 5.5). Рассмотрим его ортого— а — з нальное дополнение М Если г Е М, т.е. х.1 М, то х.1 М. В этом случае по условию теоремы х = О. Следовательно, М = О. Выберем произвольный элемент х Е Н. Согласно теореме 6.6, — з.
имеет место разложение х = у+я, где уЕ М, х Е М =О. Таким образом, х=рЕМ, и Н=М. ~ 6.4. Ортоиормироваииые системы и ряды Фурье Рассмотрим базисы в аильбертовых простпранствах (о базисах в банаховых пространствах см. 5.5). Определение 6.2. Произвольное множество Е (не обязательно счетное или конечное) ненулевых элементов гильбертова б.4. Ортоиормироевииые системы и ряды Фурье 495 пространства Н называют орпзогокалькой сисепелеой, если любые два различных элемента этого множества ортлогокальиьс (е~, ез) = 0 при е1, ее Е Е и е1 ф ео, Определение 6.3.
Ортогональную систему Е элементов гильбертова пространства Н называют орпьокормкроваккоб сиспьеяеой, если корма каждого элемента этой системы равна единице: ))е)) = 1, е Е Е. Отметим, что понятие конечной ортогональной (ортонормированной) системы введено в [1У], а счетной системы — в 3.1.
И в том и в другом случае ортогональная (ортонормированная) система понимается как упорядоченный набор элементов (конечная или бесконечная последовательность элементов). Поэтому и в общем случае такую систему следует считать упорядоченной и записывать как „несчетную последовательность" (ео)осу, где 1 — некоторое множество индексов. Мы ограничимся только счетными ортогонзльными и ортонормированными системами. В этом случае 1 = М, а систему можно записать как последовательность: (е„)'~ Пример 6.4.
В действительном гильбертовом пространстве 6 (см. пример 6.1) со скалярным умножением (6.1) ортонормированной является, например, такая система последовательностей: е1 = ( 1, О, О, ..., О, О, ...), ее=(0,1 0" 0 0 ") В этои системе е„= (хь )ь, где х„= 1, и Е )Ч и хь — — 0 для (о) со (о) (о) всех )с ~ и. Ортонормированность этой системы очевидна. 496 6.
ОРТОНОРМИРОВАННЫЕ СИСТЕМЫ Пример 6.5. В бесконечномерном евклидовом пространстве Ев(-я, я) кусочно непрерывных функций на отрезке [ — я, я) со скалярным умножением (Г, д) = Г"(х)д(х)гЬ,,Г,д Е Ев( — х,х] ортонормированной системой является триеонометричеснал система 1 сов х в1пх СОВ ПХ 31ПГ1Х ~/2~' ~/т ' ~/т ' ~~ ' ~/я Это доказано в 3.1. ф Если (е„)„1 — счетная ортонормированная система гильбертова пространства Н, то произвольная числовая последовательность (аь)~~ 1, ггь Е г', Й Е гч, позволяет составить ряд по этой системе вида ~, 'ггьеь, представляющий собой рлд элеменГг=1 тов нормированноео пространства Н.
Определение 6.4. Пусть Н вЂ” гильбертово пространство и (е„)„1 — счетная ортонормированная система в Н. Для любого элемента х Е Н числа сь = (х, еь), я Е гч, называют коэффициентами Фурье элемента х по ортонормированной системе (е„)'~ 1, а ряд ~ сьев, построенный с помощью этих в=1 коэффициентов, — рядом Фурье элемента х по этой ортонормированной системе. в Определение 6.5. Частичную сумму ~ сьев ряда Фурье я=1 элемента х Е Н по ортонормированной системе (е„)'„~ называют мноеоч.яеном Фурье и-го порядка элемента х. Основная цель этой главы — изучение рядов Фурье в гильбертовых пространствах. Выясним предварительно некоторые свойства многочленов Фурье. б.4.
Ортоиормировввиые системы и ряды Фурье 497 и = ~~! айей, й=! где коэффициенты разложения ай определены однозначно. Согласно теореме 6.3, для любого элемента х Е Н существует, причем единственный, элемент и,*, = Х,' айей Е Х „, такой, что й=1 в р(х, Х „) = ))х — ~~» айей )!. й=1 Следующая теорема показывает, что представляют собой элемент и„' и его коэффициенты ай. Теорема 6.8. Пусть Н вЂ” произвольное гильбертово пространство, (е1,..., е„) — конечная ортонормированная система в Н и Х „= (е1, ..., е„) — линейная оболочка этой системы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
