IX Власова Е.А. Ряды (1081388), страница 64
Текст из файла (страница 64)
Убедимся, что отображение у является сюръекциеб, т.е. множеством его значений является все гильбертово пространство Кя. Для этого докажем, что любой элемент х = (хь) гильбертова пространства Рэ является образом элемента х = ~; хьеь гильбертова пространства Н. Так как х е Кэ, то ряд ~ ~хе ~~ сходится. Значит, последовав=1 тельность частичных сумм этого ряда фундаментальна,т.е. Чб>0 ЗМ=Х(я)е1Ч Что>Н Чп>т: ~~~ ~хь~ <я. я=та+1 л л )фл — Я,л)! = (~ ~ь хьеь)~ = ь=тл~-1 ь=тл+~ )хь(я, и > тп. Отсюда следует, что последовательность (Я„) фундаменталь- на, так как 'тя> 0 ЗН= М(е) 61Ч Чп,т> Л: 'бЯл — Ял)( < ~/я.
В силу полноты гильбертова пространства последовательность (Ял) сходится. Значит, и ряд ~ хьеь сходится к некоторому в=1 элементу х Е Н. Для последовательности (Я„) частичных сумм ряда ~ хьеь в /с=1 силу того, что система (е„) ортонормированнзя, имеем 516 б. ОРТОНОРМИРОНАННЫЕ СИСТЕМЫ у = ~~~ уьеь.
ь=1 х = ~~) хьеы я=1 Тогда х+у=~~ (хь+уь)еь, Лх=Л~> хьеь=~' (Лхь)ею ЛЕР. Это значит, что элементу х+ у Е Н соответствует последовательность (хь + уь) Е К2, а элементу Лх — последовательность (Лхь) Е Мг. Поэтому, согласно определению отображения ~р, имеем у(х + у) = (хь + уь1 = (хь1+ (уь1 = ~р(х) + у(у), ср(Лх) = (Лхь) = Л(хь) = Лу(х), Л Е Р. Наконец, установим соответствие скалярных произведений. С одной стороны, по определению скалярного произведения в гильбертовом пространстве 1г для произвольных х = ~; хьеь и ь=1 Так как система (еь) — ортонормированный базис, то любой элемент в Н, в том числе и элемент х, можно разложить в ряд Фурье по этой системе (см. теорему 6.10).
В силу единственности разложения элемента по счетному базису ряд хьеь и есть ряд Фурье элемента х, т.е. последовательность я=1 (хь1 является последовательностью коэффициентов Фурье элемента х. Поэтому, согласно определению отображения <р, последовательность х = (хь) Е ~з является образом элемента х Е Н: х = у(х).
Таким образом, отображение ~р является инъективным и сюръективным, а значит, биективным. Докажем, что отображение ~р сохраняет алгебраические операции гильбертова пространства Н. Пусть х и у — произвольные элементы гильбертова пространства Н, а их разложения в ряд Фурье имеют вид 6.7. Изоморсрлоеть гилъбертовых проетраветв 517 у = ~; уйей имеем й=1 (»Р(Х), »Р(У))1, — — (Х, У)1 — — ~» Хйдй. С другой стороны, в силу теоремы 6.1 о предельном переходе в скалярном произведении и вследствие попарной ортлогональвос»пи элементов системы (ей) получаем 00 ео »» и (х, у)„= (~~» хйей, ~» уйей) = ( 1пп ~~» хйей, 1пп ~~» уйей) = »с=1 й=1 й=1 й=1 = 1пп (~~» хйей, ) уйей) = 1пп с» хйуй = ~~» хйуй.
й=1 й=) й=1 »с=1 В результате приходим к равенству (ср(х), ср(у))1, —— (х, у), х,у Е Н. Итак, биективное отображение ср: Н -+ Рз сохраняет алгебраические операции и скалярные произведения гильбертова пространства Н, а потому является изоморфизмом гильбертовых пространств Н и Кз. ~ь Следствие 6.5. Любые два действительных (комплексных) сепарабельных гильбертовых пространства иэоморфны.
Ф-'.,р: Н1 -+ Н„ (6.19) ставящее в соответствие каждому элементу е = ~, сйей иэ Н1 ос й=1 элемент д = '„» сйдй иэ Но, является изоморфизмом сепарабель- й=1 ных гильбертовых Н1 и Но. ~ < Пусть Нп Нг — произвольные сепарабельные гильбертовы ПРОСтРаНСтна И (Ей)ей 1, (дй)ой" — НЕКОТОРЫЕ ОРтОНОРМИРОВаиные базисы в Н1 и Нз соответственно. Зададим иэоморфизмы ср: Н1 -+ Кг и с»»: Но.
-+ Кз, как в теореме 6.17. Тогда отображение 518 б. ОРТОНОРМИРОВАННЫЕ СИСТЕМЫ Ф ~=~(Кее) =и(Каь ~~ — ') = сь))еь)~ — = ~) сл — дь, е Е Н1. (6.20) дь '9ерД Ы! „, !Ы Изоморфизм (6.20) назовем ес~тьестеенным пэоморфиэиом сепарабельных гильбертовых пространств Н1 и Нз с выделенными в них ортогональными базисами (еь) и (дь). Если при естественном изоморфизме гнльбертовых пространств Н1 и Нз с выделенными в них ортогонзльными базисами (еь)'~, и (дь)~~ элементу е = 2, 'сьеь из Н, соответствует 00 я=1 элемент д = 2,' сядь из Нз, то между коэффициентами сь и сь ь=1 разложений элементов е и д по базисам (еь) и (дь), согласно (6.20), имеет место следующая связь: )(еь'9 сь= — сь й61Ч. 1!вЛ (6.21) Изоморфизм (6.19) назовем естпесгпеенным иэоморфиэиом сепарабельных гильбертовых пространств Н1 и Нз с выделенными в них ортонормированными базисами (еь)» и (дь)~~ соответственно.
Естественный изоморфизм гильбертовых пространств Н1 и Нз сохраняет все коэффициенты Фурье соответствующих друг другу элементов из Н1 и Нз по выделенным в них ортогональным базисам. Всякие два ортогональных (не обязательно ортонормированных) базиса (еь)~~ и (дь)~~, гильбертовых пространств Нм и Нз также порождают изоморфизм этих гильбертовых пространств. Действительно, ортогональным базисам (еь) и (дь) соответствуют ортонормированные базисы (еь/~)еь(() и (дь/))дЩ которые порождают изоморфизм ~р гильбертовых пространств.
При этом б.7. Изоморфиость гильбертовых пространств 519 Верно и обратное утверждение: если некоторое отображение ~р: Н1 — + Н2 гильбертовых пространств Н1 и Н2 с выде ленными в них ортогонэльными базисами (еь)1~1 и (дь)~я 1 всякому элементу е = 2 сьеь из Н1 ставит в соответствие такой со а=1 элемент д = 2, сьдь из Н2, что коэффициенты сь и сь связаны й=1 соотношениями (6.21), то отображение у является естественным изоморфизмом гильбертовых пространств Н1 и Н2. Таким образом, (6.21) является характеристическим свойством естественного изоморфизма гильбертовых сепарабельных пространств с выделенными в них ортогональными базисами. В заключение приведем теорему, справедливую для произвольных (не обязательно сепарабельных) гильбертовых пространств. Теорема 6.18 (тпеорема Рисса — Фишера). Пусть (4~„)'„~ 1 — произвольная ортонормированная система в гильбертовом пространстве Н и числа с„Е У, п Е 1ч, таковы, что ряд ~ ~с„~2 сходится.
Тогда справедливы утверждения: о=1 1) ряд ",1 с„фп сходится и является рядом Фурье некоторов=1 ОО го элемента х Е Н, т.е. х = ~ с„4~, с, = (х 1дп) > п Е М' а=1 2) яЩ2 ~-' )~ )2 ~ Последовательность (с„)'~ 1 в соответствии с условием теоремы является элементом гильбертова пространства с2. Рассмотрим в гильбертовом пространстве Н надпространство Но,полученное путем замыкания линейной оболочки ортонормированной системы (ф„) (см. теорему 5.5). Подпространство Но является сепарабельным гильбертовым пространством, а система (15„) — счетным ортонормированным базисом в нем. Согласно теореме 6.17, подпространство Но изоморфно гиль- 521 Вопросы и задачи является скалярным умножением в Ь, индуцирующим норму в Ь. 6.5. Докажите, что если в комплексном нормированном пространстве Ь для всех х, у Е Х выполняется равенство параллелограмма ))х+у()г+ ))х — у))г = 2((х()г+ 2))у))г, то функция (х, у) = +1, х, у е х, (~х+фр )(х у~)г ((х+;ф)г ((х —,фр является скалярным умножением в Ь, индуцирующим норму в Ь.
6.6. Пусть (1р„)~с 1 — ортогональная система в гильбертовом пространстве Н. Докажите, что ряд 2 ф„сходится в Н сс тогда и только тогда, когда сходится числовой ряд ~ ~~4Ц . а=1 6.Т. Пусть (е„)'„— ортонормированная система в действительном (комплексном) гильбертовом пространстве Н, а (Л„)асс 1 — ПОСЛЕдОВатЕЛЬНОСтЬ дЕйСтВИтЕЛЬНЫХ (КОМПЛЕКСНЫХ) чисел. Докажите, что ряд 2 ' Л„е„сходится в Н тогда и только сс а=1 тогда, когда ~, )Л„(г (+со. а=1 6.8. Докажите, что для того чтобы элемент х гильбертова пространства Н был ортогонален подпространству Ь С Н, необходимо и достаточно, чтобы для любого элемента у Е Ь выполнялось неравенство ((х(! < Йх — у)!.
6.9. Докажите, что в гильбертовом пространстве сг множество М= (ха)~~1ЕКг: 2 ха — — О а=1 является линейным многообразием, всюду плотным в сг. 6.10. Докажите, что при фиксированном и Е г) множество М„= (хл)~, 1 Е сг.. ~', ха = О а=1 522 б. ОРТОНОРМИРОВАННЫЕ СИСТЕМЫ является подпространством гильбертова пространства 1э. Най- дите ортогональное дополнение к М„в Гз. 6.11. Приведите пример бесконечномерньп~ подпространств М и Ф гильбертова пространства Кэ, для которых Юэ = М ® Ф. 6.12.
Докажите, что линейная оболочка последовательности (х~"~~'„~ г элементов гильбертова пространства Мг, где х~"> = = (2 "~" Ц)~~, п Е И, всюду плотна в сэ. 6.13. Докажите, что если евклидово пространство является сепарабельным, то всякая его ортогональная система не более чем счетна. 6.14. Пусть (е„)„'~ ~ — произвольная ортонормированная система элементов гильбертова пространства Н и ~; с„е„ = п=1 = хе — сумма ряда Фурье элемента х Е Н. Докажите, что разность х — хе ортогональна всем элементам системы (е„~. 6.15.
Пусть (4„)~ ~ — линейно независимая система в бесконечномерном евклидовом пространстве Е, а (Я'~ ~— ортогональная система в Е, которая связана с системой (ф„~ равенствами Фп = о п1ь +... + а„„~„, и Е М; ~в = бь~ф~ +... + 6ддФд, и 6 1Ч, где а„„у~ 0 и Ь„„Ф О, и Е 1Ч. Докажите, что если другая ортогональная система (д„)„~ в Е связана с системой (Ф„~ теми же равенствами, то при вс~с и 6 М элемент д„отличается от элемента ~„только постоянным множителем. Т.
РЯДЫ ПО ОРТОГОНАЛЬНЫМ СИСТЕМАМ В л 2~а,Ь1 Важнейшими нормированными пространствами являются различные функциональные пространства, т.е. линейные пространства, элементами которых являются функции. К такого рода линейным пространствам относится, например, бесконечномерное евклидова пространство Ее[а, 6] кусочно непрерывных на отрезке [а, 6] функций. В этих линейных пространствах норма задается с помощью определенного интеграла. Однако если для этого использовать интеграл Римана, то получаются нормированные пространства, не являющиеся полными [пример— уже упомянутое евклидова пространство Ее[а, 6]).
Обеспечить полноту функциональных пространств можно, расширив класс интегрируемых функций. Для этого нужно пересмотреть понятие определенного интеграла и вместо интеграла Римана ввести другой тип интеграла — интеграл Лебега. Интеграл Римана можно использовать только для непрерывных функций или функций, имеющих „не слишком много" точек разрыва. Интеграл Лебега применим к значительно более широкому классу функций, который, в частности, включает неограниченные функции.
Класс интегрируемых по Лебегу функций настолько широк, что построение неинтегрируемой функции становится весьма сложной задачей. В этой главе определен интеграл Лебега и с его помощью введены гильбертовы пространства Ха[а,Ь] и Ьз([а,Ь],д). В этих линейных пространствах рассмотрены различные ортогональные и ортонормированные системы и ряды по ним. В интеграле Лебега интегральные суммы строятся на основе разбиения отрезка интегрирования, но не на смежные промежутки, как в интеграле Римана, а на множества весьма общего 524 7.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
