IX Власова Е.А. Ряды (1081388), страница 59
Текст из файла (страница 59)
Это следует из сходимости рядов ~; )х„)2, 2»у„»~ и неравенстпва Гельдера для рядов при о=1 о=1 р=г: о=1 о=1 *Д. Гильберт (18б2-1943) — круннейший немецкий математик конца Х1Х вЂ” начала ХХ в. Пример 6,1, Рассмотрим действительное нормированное пространство е2 (см.
пример 5.4 для случая р = 2). Покажем, что в этом нормированном пространстве можно ввести скалярное умножение таким образом, чтобы норма в е2, определяемая формулой (5.2), была индуцирована этим скалярным умножением. Зададим скалярное умножение в е2 следующим образом: для любых двух элементов х = (хьф и у = (уь)~~' этого нормированного пространства положим 483 б.1. Гиаъбертоаы пространства Выполнение же аксиом скалярного умножения для функции (х, р) очевидно.
Индуцированная скалярным умножением (6.1) норма в е2 задается следующим образом: 'бх() = 1/(х, х) = о=1 (х„)2 = ()х~~~, х = (~~)~~ 1 Е К~, т.е. совпадает с нормой, заданной в нормированном пространстве сг. Как отмечалось ранее (см. Ь), все нормированные пространства ср, р > 1, полны, т.е. являются банаховыми. Следовательно, бесконечномерное нормированное пространство е2 со скалярным произведением (6.1) является гильбертовым пространством. Это гильбертово пространство, как и соответствующее нормированное пространство, обозначают символом е2. Так же можно ввести комплексное гильбертово пространство е2, состоящее из комплексных последовательностей х = = (хь)~~1, г„Е С, н Е Ы, таких, что ~, ~х„~~ ( оо. В этом о=1 линейном пространстве скалярное произведение двух последовательностей х = (хь)~~' и 1о = (шьЦ' определяют формулой (Х~ Н1) — ~' Хон1о Индуцированная таким скалярным умножением норма также совпадает с нормой, действующей в е2, которая задается фор- мулой (5.3).
Бесконечномерное евклидово пространство не является гильбертовым, если оно не полное. Приведем пример такого евклидова пространства. 484 б. ОРТОНОРМИРОВАННЫЕ СИСТЕМЫ Пример 6.2. Рассмотрим бесконечномерное евклидова пространство Ее[а,б! кусочно непрерывных функций. Скалярное умножение в нем задается формулой (х, у) = х(1)у($)й, х,уб Ее[а,б!. О Можно показать, что относительно нормы, индуцированной этим скалярным умножением, евклидова пространство Ее[а,б] не является полным и, следовательно, гильбертовым пространством.
Приведем два важных свойства произвольных евклидовых (унитарных) пространств, которые будут использованы в дальнейшем. Следующая теорема фактически утверждает, что скалярное умножение, как функция двух переменных, непрерывно относительно нормы, индуцированной скалярным произведением. Теорема 6.1. Пусть последовательности (х„) и (у„) элементов произвольного евклидова (унитарного) пространства Н сходятся к элементам х е Н и у е Н по норме, индуцированной скалярным умножением в Н. Тогда числовая последовательность скалярных произведений ((х„, у„) ) сходится к скалярному произведению (х, у).
м Так как !па х„= х, числовая последовательность Ц[х„— х[!) в-~во сходится к нулю и, следовательно, является ограниченной. В силу свойств нормы для всякого и Е г1 имеем [[х„[! = [[х„— х+ х[! < [[х„— х[[+ [[х[!. Значит, последовательность ([[х„[!) также ограничена. Используя неравенство Коши — Бунлновскоео, получаем ! (х„, у„) — (х, у) ! = ! (х„, у„) — (х„, у) + (х„, у) — (х, у) ! = = ! (х„, у„— у)+ (хв — х, у) ! < ! (хю ув -у) [+ ! (хв х, у) ! < < [[х„[! [[у„— у[! + [[х„— х[! [[у[!. 485 б.1.
Гиаъбертовы пространства Каждая из последовательностей (]]х„]! ]]у„- у]]) и ( ]]х„— х]! ]]у]]) является бесконечно малой как произведение бесконечно малой на ограниченную [1-7.5]. Поэтому ](х„, у„) — (х, у) !-+О, и-+со, например, в силу теоремы о „эажатойв последовательности (1-6.5]. Отсюда сразу следует, что числовая последовательность ((х„, у„) ) сходится к числу (х, у), т.е. 1пп (х„, у„) = (х, у). и-+оо Теорема 6.2.
Во всяком евклидовом (унитариом) пространстве Н справедливо равенстпво парол.аелоерамма ]]х+у]! +]]х — у]]г =2]]х]! +2]]у]], х,у б Н. < Используя определение нормы и свойства скалярного умно- жения,получаем ]]х+ у]! + ]]х — у]! = (х+ у, х+ у) + (х — у, х — у) = = (х, х) + (у, х) + (х, у) + (у, у) + (х, х) — (у, х) — (х, у) + (у, у) = =2(х, )+2(у, у) =2!! ]]г+2]]у]]~ Замечание 6.1. Равенство параллелограмма важно потому, что дает критерий для норм, которые являются индуцированными некоторым скалярным умножением. В самом деле, если норма ]]х]! индуцирована скалярным умножением, то, согласно теореме 6.2, для этой нормы справедливо равенство параллелограмма. Пусть норма ]]х]! в нормированном пространстве Ь удовлетворяет равенству параллелограмма.
Тогда можно показать, что функция, которая в действительном случае определяется равенством ]]х+ у]]г ]]х — у]]г (х, у)= 4 486 а ОРтОнОРмиРОВАнные системы а в комплексном случае — равенством (х, у) = +1 +у[[2 [[х у[[2 [[х+1у[[2 [[х Оу[[2 4 4 является скалярным умножением, причем зто скалярное умножение индуцирует норму [[х[[. Тем самым нормированное пространство Х превращается в евклидово (унитарное) пространство. Пример 6.3.
Покажем, что в нормированном пространстве С[0, Ц нельзя ввести скалярное умножение, которое индуцирует его норму. Для этого достаточно показать, что норма в С[0, Ц не удовлетворяет равенству параллелограмма. Норма в С[0, Ц определяется следующим образом: [[х[[ = п1ах [х(Ф) [, х Е С[0, Ц. 1Е[0, Ц Рассмотрим, например, функции х(Ф) = 1 и у(1) = 1 — 1. Для этих функций имеем [[х[[= п1ах [1[=1, [[у[[= 1пах [1 — 1[=1, 1Е[0, Ц 1Е[0, Ц [[х+у[[ = п1ах [1+ (1 — 1)[ = 1, 1Е[0, Ц [[х — у[[ = п1ах [1 — (1 — й)[ = 1.
1Е[0, Ц Прямой проверкой легко установить, что равенство параллело- грамма для функций х(с) и у(1) не выполняется. 6.2. Расстояние до подпространства Пусть Н вЂ” гильбертово пространство, М вЂ” его подмножество. Тогда для любого х Е Н расстоянием отп элемента х до множесгпеа М называют число р(х,М) = 1пГ [[х — и[[. ием 487 б.2. Ресстоввве до подпрострввствв Отметим, что если х Е М, то р(х, М) = 1пГ [[х — и[[ = [[х — х[[ = осМ = О. В каких еще случаях расстояние от элемента до множества равно нулю? Лемма 6.1.
Пусть Н вЂ” гильбертово пространство. Расстояние от элемента х Е Н до множества М С Н равно нулю тогда и только тогда, когда х принадлежит М или является предельной точкой этого множества, т.е. р(х,М) = О «=» х Е М. < Пусть р(х, М) = О, т.е. 1пГ [[х — и[[ = О. Если х е М, то в силу «ем свойства замыкания х е М с М. Если же х ф М, то, согласно определению точной нижней грани, для любого числа е ) О можно указать элемент и Е М, и ~ х, для которого [[и — х[[ < б. То же самое можно сказать по-другому: любая е-окрестность Уе(х) = (и Е Н: [[и — х[[ < е) содержит точки н Е М 1(х). Это значит, что элемент х является предельной точной множества М. Доказательство обратного утверждения аналогично.
~ Следствие 6.1. Если М вЂ” замкнутое подмножестпео гильбертова пространства Н и х ф М, то р(х, М) ) О. Пусть х и у — элементы действительного (комплексного) линейного пространства Ь. Множество [х, у] = (в Е Ь: в = (1 — а)х + ау, а Е К, О < а < 1) назовем огпреэном, соединяющим точки х и у. Множесепво М линейного пространства Ь называют выпунлым, если оно вместе с любыми своими точками х1 и хз содержит и весь отрезок, соединяющий зти точки, т.е. для любых х1, хз Е М и а 6 К, О < а < 1, имеем (1-а)х1+ ахз Е М.
Теорема 6.3. Пусть М вЂ” замкнутое выпуклое множество в гильбертовом пространстве Н и х Е Н. Тогда существует, 488 б. ОРТОНОРМИРОВАННЫЕ СИСТЕМЫ причем единственный, элемент у Е М, такой, что р(х,М) = Цх — уЦ. (6.2) д < р(х,и„) = Цх — и„Ц < д+ —. 1 (6.3) Докажем, что последовательность (и„) является фундамен- тиальной. Выберем два произвольных элемента и„ и ио1 этой последовательности и для элементов х — и„и х — и,„гильберто- ва пространства Н запишем равенстпво нараллелоерамма: Ц(х — и„) + (х — и,„)Ц + Ц(х — и„) — (х — и )Ц = 2Цх — и„Цг+2Цх — и„,Цг Отсюда находим Ци„— и„,Ц~ = 2Цх — и„Ц~+2Цх — и„Дг — Ц2х — и„— ио,Ц~ = = 2Цх — и„Цг+ 2Цх — и„,Цг — 4!!х — " !! (6 4) Так как М вЂ” выпуклое множество, а элементы и„и ио, принадлежат М, то (и„+и )/2 б М.
Следовательно, согласно определению числа д, имеем ~ Если х Е М, то р(х, М) = О = р(х, х) = Цх — хЦ, т.е. в качестве у Е М можно взять сам элемент х. Единственность у очевидна, поскольку для любого х Е Н, отличного от х, имеем Цх — хЦ > О. Пусть х ф М. Так как М замкнуто, то д= р(х,М) > О. По определению д = р(х,М) = 1пГ Цх — иЦ. Значит, согласно нЕМ свойствам точной нижней грани, для всякого и Е 1Ч можно выбрать такой элемент и„Е М, что 489 6.2. Расстоялие до эодпростраастаа Используя неравенства (6.3) и (6.5), из (6.4) получаем ))и„— иоД~=2))х — иД~+23х — ио,'5~ — 4~)х — " )~ < 2 2 < 2(с1+ — ) + 2 (д+ — ) — 4<12 = = 2с1 +4 — + — +20 +4 — + — — 4И 2 с1 2 2 с1 2 2 2 т т =4(-+ — ) +2( — 2+ — 2) < (4с1+2)( — + — ). с1 с1 1 1 1 1 Возьмем произвольное в > 0 и выберем Ф = Ф(в) так, чтобы Ф > (Зс1+4)/в2.
Тогда при и > М и т > Ж имеем ((и„— ио,)(~ < (44+ 2) ( — + — ) < — < в~ 1 1 8с1+4 и т Таким образом, И>0 ЛФ=Ф(в)ЕМ Чи>Ф Чт>Ф: )(и„— и ((<в, что и означает фундаментальность последовательности (и„). Далее, поскольку Н вЂ” гильбертово пространство и, значит, полно, существует предел у Е Н фундаментальной последовательности (и ). Покажем, что элемент у удовлетворяет требуемым условиям.
Во-первых, у Е М, так как (и„) С М и М замкнуто. Во-вторых, учтем, что на основании теоремы о предельном переходе в скалярном произведении 1пп 3х — и„8' = '3х — у3. и-+со Переходя к пределу в неравенстве (6.3) при п -+ оо, получаем 11 И< 1пп ))х — и„(( = ))х — у)) < 11п1 (д+ — ) = д, т.е. 5х — у)) =с1.
490 В. ОРТОНОРМИРОВАННЫЕ СИСТЕМЫ Наконец, установим единственность элемента у Е М, для которого выполняется условие (6.2). Пусть некоторый элемент у' Е М также удовлетворяет условию (6.2), т.е. 9х — у*!) = д. Запишем равенство параллелограмма для элементов х — у и х — у*: ) + ( «)~~2+ в( ) ( «)в2 2их уг2+2гх у«(~2 —,Я2 Отметим, что у, у' е М и, следовательно, (у+ у')/2 Е М, так как множество М выпуклое.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
