IX Власова Е.А. Ряды (1081388), страница 54
Текст из файла (страница 54)
Мы показали, что линейная комбинация произвольных элементов х и у из М принадлежит этому множеству. Рассуждения можно повторить с произвольным количеством элементов. Это доказывает, что множество М является линейным многообразием в нормированном пространстве Ь. ~ Определение 5.5. Мкожеспэво У в нормированном пространстве Ь называют всюду плотпным, если У = Ь. Другими словами, множество У с Ь является всюду плотным в Ь, если для всякой точки х Е Ь в любом открытом шаре У(х, е) = (у Е Х: ))х — у(( < е) содержится хотя бы один элемент из У.
445 5.4. Сепарабельпые проетрапетаа Оцределеиие 5.6. Нормировонное пространстпво Ь называют сенврабельнььн, если в нем существует счетное всюду плотное подмножество. Напомним, что множество называют счетным, если существует взаимно однозначное соответствие между этим множеством и множеством натуральных чисел. Счетное множество можно записать как последовательность. Поэтому нормированное пространство Х сепарабельно тогда и только тогда, когда существует последовательность (х„)~ 1 элементов из Ь, для которой верно утверждение ЧхеЬ 'Й>0 ЗЙЕ1Ч: ))хь — х)!<с То же самое можно сформулировать иначе: в сепарабельном нормированном пространстве Ь существует последовательность (х„)'~ 1, такая, что всякий элемент х Е Ь либо совпадает с одним из членов этой последовательности, либо является пределом некоторой ее подпоследовательности.
Пример 5.9. Множество рациональных чисел Я является счетным всюду плотным множеством в нормированном пространстве 1к с нормой ))х)! = (х~, х Е Й. Действительно, для любого х Е К и любого числа е > О интервал (х — е, х+ е) содержит хотя бы одно рациональное число: достаточно выбрать натуральное число о > 1/(2е) и тогда расстояние между соседними рациональными числами вида тп/о будет равно 1/о < 2е, так что хотя бы одно такое число попадет в любой интервал длины 2я. Множество действительных чисел К с нормой ))хй = ~х) является банахоаььи нростпранстпвом, сходимость по норме которого совпадает с обычной сходимостью числовых последовательностей.
В этом банаховом пространстве множество Я является счетным всюду плотным. Значит, И является сепарабельным банаховым пространством. 446 5. РЯДЫ В НОРМИРОВАННЫХ ПРОСТРАНСТВАХ Пример 5.10. Банахово пространство К" с еенлидоеой нормой ~~> [хг[з, х= (х1, ..., х„) Е К", )=1 также является сепарабельным.
Счетным всюду плотным мно- жеством в этом банаховом пространстве будет, например, множество ))г~ = [х Е К~: х = (гм гз) г„), гя Е)[1) 1 =1) н). Теор 'ма 5.6 (тпеорема Вейерштрасса)'. Для любой непрерывной на отрезке функции существует последовательность многочленов, сходящаяся к данной функции равномерно на данном отрезке. Пример 5.11. Теорема Вейерштрасса позволяет доказать, что банахово пространство С[а, Ь] непрерывных на отрезке [а, Ь] функций является сепарабельным. Счетным всюду плотным множеством в С[а, Ь] является множество многочленов с рациональными коэффициентами.
Покажем это. Согласно теореме Вейерштрасса, для любой непрерывной на отрезке [а, Ь] функции х(г) существует последовательность многочленов, которая равномерно на [а, Ь] сходится к х($), т.е. для любого числа е ) 0 найдется многочлен р($), такой, что шах [х(г) — р(г)! < —. ге[а,6[ 2 'См., например: Г.М. Фиг)венгогьц. Пусть р(г) = а„6" + а„11" 1+... + а16+ ае, где а; Е К, 1 = О, и,— коэффициенты многочлена р(г). Положим с = шах([а], [ЬО. Поскольку Я = К, для каждого коэффициента а;, г = О, н, можно 447 5.4. Сепарвоевьпые прострвпства выбрать такое рациональное число т;, что !а;-г;! < 2(са -]- са-1+ + с+ 1) ' Оценим модуль разности многочленов р(Ь) и ро(й) = таа" + + та 11а 1 +... + то на отрезке [а, Ь[: и а а !Р(Ф) -РО(1)1= ~ ,'Ь а;Ф' — ~~) т;О'~ < ~1 [а; — т;1!Ф'1 < Ьао в=о а=о а е Я 2(с" + с" 1+...
+ с+ 1) '~ 2 Иэ этой оценки вытекает, что !!Р— ро11 = а [р(4) — ро(1)1< -. ~о[а,е] 2 Оценим расстояние от функции х(с) до многочлена ро(с) в нормированном пространстве С[а, Ь]: 1[х -р011 — шах [х(1) — ро(4)1 < се[а,е] е с ~ ~~~ !х(1) — РИ)1+ ща~~ [Р(1) — Рой)! < -+ — = с. к[а,Ь] се[а,е] 2 2 Итак, для любого элемента х е С[а, Ь! существует такой многочлен ро с рациональными коэффициентами, что !!х — ро!! < е.
Значит, множество всех многочленов с рациональными коэффициентами всюду плотно в С[а,Ь!. Это множество счетно, так как является счетным объединением (по степеням много- членов) счетных множеств В~~ многочленов с рациональными коэффициентами степени п. Каждый многочлен иэ множества В~ однозначно определяется своими коэффициентами, т.е. набором из и+ 1 рационального числа, и поэтому соответствует некоторому элементу множества яа+1. Поэтому множество счетно, так как находится во взаимно однозначном соответствии с некоторым подмножеством счетного множества ф'+~.
448 5. РЯДЫ В НОРМИРОВАННЫХ ПРОСТРАНСТВАХ Пример 5.12. Покажем, что банахово пространство пь ограниченных последовательностей (см. пример 5.3) не является сепарабельным. Доказательство проведем от противного. Предположим, что в 1п существует счетное всюду плотное множество Ее. Для каждого элемента х е Ее рассмотрим множество 11 К, = у Е ин [[х - 1)[[ < -) . 3) Так как Ее всюду плотно, то для любого элемента л Е п1 найдется такой элемент х Е Ее, что [[х — г[[ < 1/3, т.е.
я Е Кя для некоторого х Е Ед. Поскольку Ее счетно, его можно записать в виде последовательности: Ее = 1х1")). Пусть последовательность хрб имеет вид хОО = (х~ ~~~ О и Е М. Для каждого п Е М выберем число х„ на отрезке [О, 1], которое отличается от х„не менее чем на 1/3. (а) Это можно сделать, так как интервал [х„— 1/3, х„+1/3) (я) (а) имеет длину 2/3 и не накрывает отрезок [О, Ц. Последовательность х = (г„1 принадлежит п1, так как все ее члены принадлежат отрезку [О, 1[, и потому последовательность ограничена по модулю числом 1. Однако эта последовательность не попадает ни в одно из множеств Кя, х Е Ее. Действительно, для любого пЕМ [[я — х~") [[ = яир [хь — х, [ ) [г„— х1") [ >— ьеи и л ф К при х = х1"). Но выше, исходя из того, что множество Ее всюду плотно, мы пришли к выводу, что каждый элемент г Н пь принадлежит хотя бы одному из множеств К . Тем самым получено противоречие, которое доказывает, что в гп нет счетных всюду плотных множеств и что это банахово пространство является несепарабельным.
5.5. Сходвность рядов в баваховых вростравствах 449 5.5. Сходнмость рядов в банаховых пространствах Пусть (хп)„' 1 — некоторая последовательность элементов нормированноео проппранстпва Ь. По аналогии с числовыми рядами выражение вида х1+хз+... +ха+..., или ~ хп, называп=1 ют рлдом элементное нормированнозо простпранства Ь. Рассмотрим последовательность часп1ичных сумм данного ряда, т.е. последовательность (я„)~~о элементов я„Е Ь вида оп = х1+хз+'''+ ха~ и Е 1ч.
Определение 5.7. Р*д ~; хп элементов нормированного п=1 пространства Ь называют сходлиьимсл по норме в Ь, если в х сходится последовательность (Я„)~' 1 его частичных сумм. В этом случае предел Я Е Ь последоватпельностпи частичных СО сумм называют суммой данного р,яда и пишут Я = ~ хп, или 00 п=1 Я = ,'), хп, если из контекста понятно, в каком нормированном п=1 пространстве (по какой норме) рассматривается сходимость ряда.
Таким образом, ряд ~ х„элементов нормированного пров=1 странства Ь сходится к элементу Я Е Ь тогда и только тогда, когда Иш Я =Я, или 1пп ))߄— Я))ь =О. и-~со и-+00 Теорема 5.Т (необходимый признан сходимости рлда). Если ряд ~ хп элементов нормированного пространства Ь сходится, то последовательность (хп) этих элементов сходится к нулевому элементу О Е Ь. 450 б.
РЯДЫ В ВОРмиРОВАВВы~ х1РОстРАнстВАх ~ ряд ~, хп сходится, следовательно, существует предел поп=1 следовательности его частичных сумм: 1пп Яп = Я. Поэтому и-+со 1пп хе= Иш (Яп — Я„1) = 11ш Яп — 1пп Яп 1=Я вЂ” Я=О. и и-+со и-+оп и-~со и-тоо Пусть теперь Ь вЂ” банахоео простпранстаео. Для рядов в банаховых пространствах,так же как для числовых и функциональных рядов, имеет место следующий критерий сходимости.
Теорема 5.8 (критперий Хотин сходимостпи р*да в банаховом пространстве). Пусть 1 — банахово пространство. Для того чтобы ряд ~; хп элементов из Ь сходился в Ь, п=1 необходимо и достаточно, чтобы для него было верным утверждение и+р Че > О 31т'(с) Е М Чп > 1т'(е) тря й: ~~ ,'1 хе~~ < е. й=п+1 ~ Сходимость ряда,), хп эквивалентна сходимости последове; п=1 тельности его частичных сумм (Я„)'„"' 1. В банаховом пространстве сходимость последовательности эквивалентна ее фундаментаальностаи: Че > 0 ЗФ(с) Е Я Чн > пт(е) ЧР Е У4 ~~~Я +р Я )~ < е.
и+р Поскольку йЯп+р — Я„(! = ~( ~; хе~~, то получаем требуемое. ~ 'й=п+1 Для рядов в банаховых пространствах имеет место следующий достаточный признак сходимости. Теорема 5.9. Пусть ~;хп — ряд элементов банахова п=1 пространства Ь, причем выполняются условия: 1) ух„)! < ап, Б.Б.
Сходвмость рядов в бвввховых врострввстввх 451 и 61Ч; 2) чисювой ряд ~; а„сходится. Тогда ряд Я х„также в=1 в=1 сходится. ~ Заметим,что числовой ряд ~, а„ состоит из неотрицательв=1 ных слагаемых, так как а„> ]]х„]] > О, п е 1Ч. Поскольку этот числовой ряд сходится, то, согласно критерию Кокаин сходимостаи числового ряда (см. теорему 1.3), имеем 'й > О ЛФ(е) Е 1Ч Чи > Л(е) ЧрЕ 1Ч: ]ос+1+ а +г+ "+ а +р] = а +1+ ав+г+" + а„+р < Е.
Для всех и > Ф(е) и р е 1Ч, используя аксиомы нормы, получаем ]]Хо+1+Хо+1+...+Хв+р]] ~ ~]]Хо+1]]+ ]]Хв+г]]+...+]]Хв+р]] ~~ < а„т1+ ав+г+... + а„+р < Е. Итак, выполнено условие критерия Коши сходимости ряда из элементов банахова пространства. Следовательно, этот ряд сходится. ~ Замечание 5.1.
Теорема 5.9 в применении к банахову пространству С[а,Ь] соответствует признаку Вейер1итарасса равномерной сходимости функциональных рядов. Обратим внимание на то, что этот прюнак можно использовать для проювольных функциональных рядов. В случае же применения теоремы 5.9 к нормированному пространству С[а,Ь] можно доказать признак Вейерштрасса только для функциональных рядов, состоящих из непрерывных функций. Следствие 5.3.
Пусть ~', х„— ряд элементов из банахова в=1 со пространства Ь. Если чисювой ряд ~', ]]х„]] сходится, то ряд сс в=1 ~ х„также сходится в 5. в=1 452 5. РЯДЫ В НОРМИРОВАННЫХ ПРОСТРАНСТВАХ ~ Полагая а„= (~хтД, п Е 1Ч, получаем сходящийся числовой ряд а„, причем ))х„9 < а„, п Е К Таким образом, выполняются в=1 ОО условия теоремы 5.9, следовательно, ряд 2 х„сходится. ~ Определение 5.8. Пусть ~', х„— ряд элементов нормиров=1 СО ванного пространства Ь. Если сходится числовой ряд 2 ))х,Д, СО а=1 то ряд ~; х„называют абсолютпно сходящимся. я=1 Согласно следствию 5.3, в банаховом пространстве всякий абсолютно сходящийся ряд является также сходящимся. Оказывается, что сходимость абсолютно сходящихся рядов — отличительный признак банаховых пространств. Теорема 5.10. Если в нормированном пространстве Х каждый абсолютно сходящийся ряд сходится, то нормированное пространство Ь является банаховым.
< Необходимо доказать полноту Ь, т.е. показать, что любая фундаментальная последовательность в Ь сходится. Пусть (х„)~ 1 — произвольная фундаментальная последовательность в Ь. Это зна птт, что верно утверждение ~Й >0 ЛМ(е) Е г1 Чп> йт(е) Чтп> п: ))х — х„)! <е. (5.7) Для е = 1/2 найдется такой номер Дтт, что ))х,„— х„)! < 1/2 при и > Дтт и тп > и. Выберем какой-нибудь номер и.. > Мь Тогда ))х„, — х„, )~ < 1/2 при тп > пь Положим е = 1/2~.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
