IX Власова Е.А. Ряды (1081388), страница 51
Текст из файла (страница 51)
1?ш [[х„— х[[ = О. При этом элемент х Н Ь называют пределом последоватпель- ностпи (х„)~ „сходящейся по норме в нормированном про- странстве Ь, и обозначают 1?ш х„= х или х„т х, и — т +ос. 1пп (Л„х„) = 1?ш Л„1ш1 х„. а-+оо и-+сю в-+оо 1?ш (х„~ у„) = 1?ш х„~ 1?ш у„, и->оо в-+оо в-+со Понятие сходимости последовательностей определено и для произвольных метрических пространств [?[. Напомним, что элемент х метрического пространства Х с метрикой р является пределом последовательности (х„)~ 1 элементов иэ Х, если 1пп р(х„,х) = О.
в-+оэ Если последовательность (х„)'„" т элементов нормированного пространства Ь сходится по норме к элементу х Е Ь, то в этом случае говорят о сходимостпи по норме (сходимостпи в нормированном простпранстпве). Как и для числовых последовательностей, предел сходящейся последовательности в нормированном пространстве единственный. Если последовательность в нормированном пространстве сходится, то всякая ее подпоследовательность также сходится, причем к тому же самому пределу. Кроме того, нетрудно показать, что если последовательности (х,Д„ т и (у„)„ т элементов нормированного пространства Ь сходятся по норме, эаданнной в Ь, а последовательность (Л„)„ 1 является сходящейся числовой последовательностью, то последовательности (х„~ у„)~ 1 и (Л„х„)„1 также сходятся по норме в Ь и верны равенства: 427 бп.
Нормированные пространства В силУ Равенства Р(х„,х) = 0хо — х)~ длЯ метРики, инДУциРованной нормой в нормированном пространстве Е, сходимость по норме всякой последовательности (х„) элементов вз Ь к элементу х Е Ь эквивалентна сходимости этой последовательности к элементу х по метрике р. Наличие индуцированной метрики в нормированных пространствах позволяет перенести в нормированные пространства важнейшие понявия метрических пространств, а именно: ограниченность, замкнутость и компактность множеств, ограниченность и непрерывность функций и т.д.
Проиллюстрируем это на примере некоторых понятий. Мкожестпво М нормированного пространства Ь называют ограниченным, если ЛК>0 Ух ЕМ: )Щ <К. Точку х нормированного пространства Ь называют предельной тиочкой мкожестпва Х С Ь, если 'тг > 0 Зх, Е Х: 0 < )~х — хаЙ ( е. В нормированном пространстве Ь точка х является предельной точкой множества Х с Ь тогда и только тогда, когда существует последовательность (хо)'„ыт отличных от х элементов из Х, сходящаяся к элементу х по норме в Ь. Мкожесптво Х нормированного пространства Ь называют замкнутым, если оно содержит все свои предельные точки.
Отображение (функцию) ~р: Ь| -+ Ьэ нормированного пространства Ь| с нормой () ))т в нормированное пространство Ьз с нормой Й ~~з называют кепрерывкым в пточке а Е Ьм если 'т'г>0 Лб=б(г) >О т'хЕЬ|.' ух — а~~т < б = фР(х) — У(а)))з < е. Откображекие ул Ь1 -+ Ьэ, непрерывное в каждой точке нормированного пространства Ьы называют непрерывным ка нормированном простпранстпве Ьь 428 5. РЯДЫ В НОРМИРОВАННЫХ ПРОСТРАНСТВАХ Напомним, что нормированное пространство Ь называют ё-мерным, если оно н-мерно как линейное пространство, и называют бесконечномерным, если оно бесконечномерно как линейное пространство Щ. Рассмотрим примеры некоторых конкретных нормированных пространств. Пример 5.1.
Евклидова пространство Е можно рассматривать как нормированное пространство, если в нем ввести евклидову норму ||х|! = 1/(х, х), х Е Е. В частности, нормированным пространством является арифме- тическое евклидова пространство К" с евклидовой нормой и ||х|! = ~~> х~~ Ь=1 Анапогично в комплексном линейном пространстве С" всевозможных упорядоченных совокупностей х = (г1, ..., г„) комплексных чисел, которое является унитарнььм пространством со скалярным произведением (Х, У) =~> ХьУЮ Х=(Х1, ..., Х„), У=(У1, ..., У„), 1=1 норму можно задать формулой Е]ль|2 Ь=1 Эту корму называют унитарной.
Пример 5.2. Рассмотрим линейное пространство С[а,6] функций, непрерывных на отрезке [а,6]. В этом линейном 5.1. Нормированные проетраветна 429 пространстве определим норму следующим образом: ))х[[ = тпах [х(Ь)], х Е С[а, Ь). те[в,ь] Поскольку любая непрерывная на отрезке функция достигает своего наибольшего значения [1-9.5), определение нормы корректно. Проверка первых двух аксиом нормы не вызывает затруднений. Выполнение третьей аксиомы следует из свойств модуля действительного числа. Действительно, для любого фиксированного $ 6 [а,Ь]имеем [х(т)+у(Ф)[ < )х(т)[+ [у(т)[ < шах [х(т)[+ шах ]у(т)).
тв[в,ь] те[а,ь] Выбрав в качестве $ то значение, в котором непрерывная функция [х(т) + у(т)] на отрезке [а, 6] достигает максимума, заключаем, что тпах [х($)+у(Ф)[ < шах )х(Ф)[+ шах ]у($)[. те[а,ь] тв[в,ь] те[а,ь[ Это и есть неравенство треугольника, так как с помощью нормы оно записывается в виде ][х+ у[[ < [[х[[+ ]]у[[. Таким образом, линейное пространство непрерывных на отрезке [а, 6] функций с введенной нормой становится нормированным пространством. Это нормированное пространство имеет стандартное обозначение С[а, 6].
Последовательность злементов нормированного пространства С[а,6] фактически является функциональной последоватпельностпью. Покажем, что сходимость по норме в С[а,Ь] совпадает с равномерной сходимостпью функциональной последоватпельностпи на отрезке. Пусть последовательность (х„Ц' т из С[а, Ь] сходится по норме к функции х Е С[а, Ь). Тогда [[х„— х[[ = шах ]х„(Ь) — х(1)) -+ О, и -+ оо. те[в,ь] Поскольку впр [х„(т) — х(т)[ = тпах [х„(Ф) — х(т)[, те[а,ь! те[а,ь] 430 5.
РЯДЫ В НОРМИРОВАННЫХ ПРОСТРАНСТВАХ то в силу теоремы 2.2 имеем равномерную сходимость функциональной последовательности (х„($))'„1 к функции х($) на отрезке [а,6]. Согласно теореме 2.2, верно и обратное утверждение: если последовательность (х„($))„1 функций нз С[а,6] равномерно на [а, 6] сходится к функции х(1), то эта последовательность сходится и по норме в С[а,6]. Пример 6.3. Множество ограниченных числовых последовательностей является линейным пространством относительно операций почленного сложения последовательностей и почленного умножения последовательностей на числа.
В этом линейном пространстве зададим норму формулой ]]х[[ = зпр[хь], х = (хь)~~ 1. йеи Поскольку числовое множество, состоящее из членов последовательности (хь)~', ограничено, то, согласно теореме о существовании точных верхней и нижней граней [1-2.7], величина вар[ха[ конечна, следовательно, норма задана корректно. Нейе1Ч трудно доказать, что аксиомы нормы выполняются. При этом неравенство треугольника можно доказать, как и в примере 5.2, используя свойства модуля действительного числа. Нормированное пространство ограниченных последовательностей обычно обозначают через п1.
Изучим сходимость по норме в нормированном пространстве пь Пусть имеется последовательность (х~"))~~, элементов нормированного пространства п1, т.е. для каждого номера п е р) элемент х00 = (х„. ), — ограниченная числовая последовательность. Предположим, что последовательность (х00)„'~о сходится по норме в п1 к ограниченной числовой последовательности х = (хь)„',т.е. []х~ ) — х]] = впр[хь — хл[ -Ф 01 и + оо.
ахеи 431 о.1. Нормвроваввме пространства Поскольку для любого номера Й Е Ы имеет место неравенство )хй — хй) < апр)хй — хй(, (и) (и) йен то при каждом фиксированном значении Й Е Я последовательность ()хй" — хйЦ'~ 1 является бесконечно малой при и ~ оо.
Значит, числовая последовательность (хй )и „состоящая из (и) оо Й-х членов последовательностей х("), сходится к числу хй— Й-му члену последовательности х Е пй. Отметим, что зта сходимость является равномерной' по переменному Й, так как все числовые послеДовательности Ох, — хй~)в 1 имеют мажоРиРУ- (и) со ющую бесконечно малую последовательность (апр~хй — хй~).
(в) йек Пример 5.4. Пусть р — некоторое число, причем р > 1. Рассмотрим множество последовательностей действительных чисел х = (хй)~~'1, таких, что ряд ~, (хй)р сходится. Это мной=1 жество обозначим символом ср. В множестве ср введем почленные операции сложения последовательностей и умножения их на числа. Очевидно, что для любого Л Е Ж последовательность Лх = (Лхй)йк' также принадлежит множеству ср. Для доказательства того, что сумма любых двух последовательностей из Кр также принадлежит ср, воспользуемся неравенсплеом Минковского длл рядов (см.
Д.5.1) ВЕРНЫМ Прн р ) 1 дЛя ЛЮбЫХ ПОСЛЕдОВатЕЛЬНОСтЕй (Хй)ойо1 И (уй)~~ „принадлежащих множеству Гр. В зтом неравенстве из сходимости рядов справа следует сходимость ряда слева, а зто И ДОКаЗЫВагт, ЧтО ПОСЛЕДОВатЕЛЬНОСтЬ (Ха+ Уй)сйо1 ВХОДИТ В 'Последовательность (л~ ~)„, можно рассматривать как функнионаеьную последовательность, опредееенную на множестве М (й = 1, 2, ...). 432 5. РЯДЫ В НОРМИРОВАННЫХ ПРОСТРАНСТВАХ множество 1р. Итак, относительно рассмотренных операций множество 8р является линейным пространством.
Введем в Кр норму, используя формулу (5.2) Выполнение первых двух аксиом нормы очевидно. Как и ранее, выполнение третьей аксиомы следует из неравенства Минковского. Таким образом, 8 является нормированным пространством. Аналогично можно определить комплексные нормированные пространства Гр, состоящие из последовательностей комплексных чисел (хь)~~ , таких, что ~;~х„~о < оо. Норма в этом п=1 линейном пространстве определяется формулой (5.3) 5.2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
