IX Власова Е.А. Ряды (1081388), страница 48
Текст из файла (страница 48)
Пример 4.Т. Найдем преобразование Фурье функции (см. пример 4.6) 1, -1<х<1; О, )х))1. Поскольку функция 1(х) абсолютно интегрируема на М, ее преобразование Фурье выражается несобственным интегралом, сходящемся в обычном смысле. Поэтому +СО е(Л) / д ) -вЛе ~ / -1Ле,1 ~/2я / ~/юг 1 ОО -с 398 4. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ Вычислим интеграл при Л ф О и преобразуем его, используя формулу Эйлера: 1 е-гА* 1 егл! е-гм 2 а1пЛ1 ДЛ) =- — —, ~/юг 4Л ! г ~/2х 4Л ~Г2х Л При Л = О получаем 1 Г 21 ,Г(Л) = — 1 Ь= —. ~/2х ~/2х -Е Итак, 2 а1пЛ1 ,Г(Л) = — Л= О.
2 Заметим, что функция ~(Л) непрерывна при всех Л Е й. Вычислим обратное преобразование Фурье функции Г(Л). Так как функция Г(х) удовлетворяет, например, усювиям теоремы 4.3, а композиция прямого и обратного преобразований Фурье есть интеграл Фурье, то 1, — 1<х<1; г(~]( ) У(*+ )+Г(х — О) 2 2' О, !х!)1. Заметим, что образ функции Г(ж) при последовательном применении прямого и обратного преобразований Фурье, т.е.
функция г' 1 ~Г[~]] (х), не во всех точках совпадает с исходной функцией Г(х). Причина зтого очевидна — для функции Г(х) не во всех точках выполняется условие (4.33). 4.6. Косаяус-преоореаоаавие я сявус-преобрааоаааяе Фурье 399 4.6. Косинус-преобразование и синус-преобразование Фурье Рассмотрим действительные функции действительного аргумента. Как показано в 4.3, икквегралм Фурье четных и нечетных действительных функций приводят к представлениям исходной функции вида С у(Л) ьйп Лх ввЛ о С ~У(Л) соя Лх ИЛ и о с некоторой константой С и некоторыми функциями Д(Л) и у(Л). Эти функции выражаютсл через исходную функцию интегралами того же вида.
Поэтому здесь, как и в случае интпеграла Фурье е комплексной форме, можно ввести прямые и обратные преобразования, а интеграл Фурье рассматривать как композицию прямого и обратного преобразований. Если действительная функция ~(х) абсолютно интегрируема в промежутке [О, +оо), то определяемые несобственными интегралами функции Г2 Г ус(Л) = ~/ — / у(х)совЛхдх о (4.34) Хв(Л) = ~( / У(х)81пЛхох, о (4.35) заданные в промежутке [О, +со), называют косинус-преобразованием Фурье и синус-преобразованием Фурье функции Дх). Для косинус-преобразования Фурье и синус-преобразования Фурье также используют обозначения Рс[)'](Л) и Р,[У](Л).
400 4. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ В силу абсолютной интегрируемости функции г'(х) и оценок ]Дг) сов Л1[ < ]у(г)], Щг) вшЛ1] < [Дг)], й Е [О, +со), Л Е Ж, несобственные интегралы в (4.34) и (4.35) сходятся абсолютно при любом Л Е Й. Отметим следующую очевидную связь между преобраэоеаггием Фурье и косинус- и синус-преобразованиями Фурье. Преобразование Фурье четной действительной функции г (х), абсолютно интегрируемой на 1к, совпадает с косинус-преобразованием Фурье функции |(х), рассматриваемой на луче [О, +со): Р'[г](Л) = — / у(х)е г~*дх = ~/2гг,г +ОО +СО 1 — у(х) совЛхг1х — 1 — ( |(х)в1пЛхг1х = ~/2гг ~/2гг / — у(х)созЛхдх= р;[~](Л), ЛЕ [О, +со) ~/2гг о (здесь использованы свойства четности фу ци г( ) нк и „Г(х)совЛх и нечетности функции Дх) вшЛх на й).
Анавогично преобразование Фурье нечетной действительной функции г" (х), абсолютно интегрируемой на К, равно синус-преобразованию Фурье этой функции, умноженному на комплексное число — 1: Щ](Л) = — г"(х)е ' *г1х = ~/2~г у +со +со ~2~г 1 — — 1(х)совЛхг1х — 1 — / ~(х)вшЛхг1х = ~/2гг ./ — 00 — 00 = -1 — Дх) зшЛхгЬ = -ъР,ДЯЛ), Л Е [О, +со) ~/2я о 4.6. Косииус-преоврвзоваиие и сииус-ппеобрвзовавие Фурье 401 (здесь использованы свойства нечетности функции Дх) сов Лх и четности функции У(х) ОшЛх на Ж).
Рассмотрим функцию Дх), определенную в полуинтервале [О, +со). Ее можно продолжить на всю числовую прямую И до четной, положив у (х) = у ( — х), х Е ( — со, 0), или до нечетной, положив Дх) = -Д вЂ” х), х й ( — оо, 0) (во втором случае, возможно, необходимо переопределить функцию в нуле: ДО) = 0). Если функция Дх) в промежутке [О, +со) удовлетворяет условиям теоремы 4.3 или 4.4, то с помощью этих продолжений и формул (4.15), (4.17) можно получить разложения функции Дх) в интеграл по косинусам и по синусам: = а — 1 (Л) соз ЛхбЛ, х Е (О, +со); 2 ~ я,1 Π— Г у,(Л)вгпЛхЫЛ, х Е (О, +со). 2 'г' я / О Наконец, если функция У(х), кроме условий теоремы 4.3 или 4.4, во всех своих точках разрыва удовлетворяет условию (4.33), то для нее верны формула обраиьения носинуспреобразования Фурье ~(х) = — ~,(Л)соОЛхЫЛ, х Е (О, +со) (4.36) О (в точке х = 0 формула обращения верна, если ДО) = Д+0)) и формула обраи4ения синус-преобразования Фурье +00 ~(х) = — У,(Л)згпЛхсХЛ, х Е (О, +со) (4,37) О (в точке х = 0 формула обращения верна, если У(0) = 0).
Эти формулы обращения кратко можно записать так: р.[р,[Л] =у и Г,[р,у]) =у. 402 4, ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ Пример 4.8. Функция 1(х) = е, х Е [О, +со) при Ь > О абсолютно интегрируема в промежутке [, е [О +со). Поэтому в соответствии с определением косинус-преобразование функции 1(х) имеет вид +оо +со Р,[Д(Л) = ~( — / 1(х)сояЛхдх= у — [ е сояЛхдх. о о В примере 4.3 был вычислен интеграл +со Ь 1(Ь, ) — ь*совахйх= —, абай, Ь>О.
62 ~. 2' о С помощью этого интеграла получаем Ус[1](Л) = ~( — 1(6, Л) = ~ — — я, Л Е [О, +со). Аналогично синус-преобразование функции 1(х) имеет вид (см. формулу (4.35)) .Ь;[1](Л) = ~ — / 1(х) вшЛхйх = у — у е вшЛхсЬ. н о о Используя интеграл 1(Ь,а), для всех а Е К и Ь > О находим +со +со -ьв ,7(Ь а) = е о*вшах дх = — — ~ яшах де 3 о о +00 ( -ь Ь Ь/ =-- шахе ь + — (е алешах= [о о +00 а +а Ь ( ' Ьвт о 4.б. Косииус-иреобрааоааиие и сиаус-иреобрааоаааие Фурье 403 Таким образом, Р [У](Л) Ч Г(Ь,Л) = ~/ — о 2, Л е [О, +со). )2 Г2 Л Функция Г(х) = е аа, Ь > О, абсолютно интегрируема в промежутке [О, +со), непрерывна в этом промежутке и дифференцируема в интервале (О, +со), а в точке х = 0 имеет обобщенную производную.
Таким образом, функция Дх) удовлетворяет условиям теоремы 4.3. Непрерывность функции означает и выполнение условия (4.33). Поэтому для нее верны формулы обращения косинус-преобразования Фурье +оэ +со ~2 Г 2 Г ЬсовЛх е ь*=~/ — /,Г(Л)совЛхИЛ= — / ИЛ, хе[0,+со), с я / Ьо+Л2 о О и синус-преобразования Фурье +со +со е аа = ~/ — !,Г,(Л)вшЛхдЛ = — / сй, хб (О, +со) ~2 Г-, 2 ГЛвшЛх и / Ьэ+Ло О О (в точке х = 0 разложение не выполняется, поскольку функция Дх) = е ~* в нуле не равна нулю). Заметим, что с помощью этих разложений можно вычислить ииупегралы Лааьиаса: Г совах Ь = и е оа а > 0 Ь > О.
Ьэ+хг о | Нх= — е '~, а>0, Ь>0. Ьэ+хэ 2 о Для этого достаточно в полученных вьппе разложениях положить х = а и заменить (переобозначить) переменное интегрирования Л на х. 404 4. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ 4.7. Свойства преобразования <лзурье Отметим некоторые свойства преобразования Фурье.
Теорема 4.7 (пьеоремо о линебностии преобразования Фурье). Если комплексноэначные функции у и д определены и абсолютно интлегрируены на числовой прямой 1к, то для любых комплексных чисел а и ~3 справедливо равенство РЮ+Рд]= Рй+РР[д] ~ Очевидно, что из абсолютной интегрируемости функций ~ и д следует абсолютная интегрируемость функции а~+ 13д для любых а Е С и,б Е С.
Вычислим преобразование Фурье этой функции, используя свойство линейности несобственного интеграла [Ч1]: Р[ау+,бд](Л) = — 1 (аДФ)+~дд(й))е 'мсЕй= Ч'2к,l +СО +со =а — / ~яе ы~вь+0 — / дяе ы~Ж= ~/2~г l ~/2к / = аР[Д(Л) + 13Р[д](Л), Л Е 1к. Следует заметить, что аналогичным свойством обладает и обратное преобразование Фурье. Покажем, что теорема 4.6 обращения прямого и обратного преобразований Фурье, доказанная для действительных функций, верна и для комплексных функций. В самом деле, если комплексная функция Дх) = и(х) +ьо(х) удовлетворяет условиям теоремы 4.6, то этим же условиям будут удовлетворять действительные функции и(х) и е(х). Следовательно, для них справедливы формулы Р [Р[и]] = и, Р [Р[е]] = е, Р[Р [н]] = н, Р[Р [е]] = е. 405 4.7.
Свойства иреобрааоваиив Фурье Отсюда в силу доказанной линейности преобразований Фурье имеем Р 1[Р[~]] = Р [Р[и+во]] = Р [Р[и]+аР[и]] = = Р [Р[и]]+1Р [Р[и]] = и+Ы = ~, Р[Р [У]] = Р[Р [и+се]] = Р[Р [и]+ 'Р Я = = Р[Р [и]]+аР[Р [е]] = и+ 1и = у". Теорема 4.8. Если комплекснозначная функция у (х) определена и абсолютно интегрируема на числовой прямой К, то ее преобразование Фурье 7'(Л) является непрерывной и ограниченной функцией на К. Кроме того, если функция у (х) кусочно непрерывка на прямой К, то выполняется равенство 1пп 7(Л) = 1пп 7(Л) = О.
Л-~+со Л-) -со М Докажем сначала теорему для действительной функции 7 (х). Непрерывность функции ,ЦЛ) = — У(с)е ы~Ж= ,/г г +со -~-оо 1 = — / уфсовМВ$ — г' — / 7(1)вшЛ4й 1 Г ЛI2~г л/2я / на К непосредственно следует из теоремы 4.1, поскольку функция 7 (с) абсолютно интегрируема на К, а функции сов Лс и ьйпЛв 2 непрерывны на К2 по переменным Л и Ф и ограничены на К ([совЛМ] ( 1, [в1пЛй] ( 1, Л,2 Е К). Стремление к нулю на бесконечности функции ЦЛ), т.е. условие 1пп 7'(Л) =О, Л->со 406 4. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ в силу кусочной непрерывности функции Д$) вытекает иэ теоремы 4.2 (леммы Римана для несобственных интеграяов).
Ограниченность функции у(Л) на Ж следует из оценки [К(Л)! = — Г Дс)е 'май! < — Г Щ1)[й <+со. (438) Пусть теперь Дх) = и(х) + зе(х) — комплексная функция. Если Дх) абсолютно интегрируема на К, то в силу оценок ]и(х)[ < [~(х)[, [и(х)] < Щх)[ функции о(х) и е(х) также абсолютно интегрируемы на К. Кроме того, из кусочной непрерывности функции ~(х) = о(х) + + Ы(х), согласно определению, следует кусочная непрерывность функций и(х) и е(х). В этом случае действительные функции и(х) и е(х) удовлетворяют условиям данной теоремы и, следовательно, их преобразования Фурье подчиняются доказанным выше свойствам непрерывности, ограниченности и стремления к нулю на бесконечности.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
