IX Власова Е.А. Ряды (1081388), страница 44
Текст из файла (страница 44)
у (х+0) + Дх — 0) 2 то на множестве И'1 (О) функцию Дх) можно представить следующим образом: 1 Г совЛх — ЛО1пЛх Пх) =,„ / 1+ Лв О причем для всех х Е ( — оо, 0) +ОО 1 /' совЛх — ЛвшЛх я / 1+Л2 о а для всех х Е (О, +ос) 1 /' сов Лх — ЛвшЛх я / 1+Ля о В точке х = 0 формула (4.12) сводится к следующему: ~(0+0)+У(0 — 0) 1 1 /' ~КЛ 2 2 я / 1+Ли о Значение интеграла Фурье 1/2 отличается от значения функ- ции у(0) = 1. 364 4. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ 4.3. Интеграл Фурье в случае четных и нечетных функций Пусть абсолютно интегрируемая на К функииа,Г(х) является четной: ,Г( — х) = 4'(х), х е ( — оо, +со).
Тогда при любом Л е К функция Г(х)совЛх переменного х является четной на К, а функция Г(х) вшАх — нечетной на К. Это обстоятельство приводит к следующим формулам для вычисления функций а(Л) и Ь(Л) (см. (4.1)): а(Л) = — / Дй)созЛИЙ = — / Г(Ф)созЛйй, Л Е К; 1 Г 2 à — 00 о 1 Г Ь(Л) = — У,Г(1) о1пЛЫ ьч 0. В соответствии с определением 4.1 интеграл Фурье четной функции Г(х) принимает вид е( ~=~~.р) л~.ьр~ ыеа1= о 2 Г = — / сов ЛхбЛ Д1) сов Лй(й, х Е К.
(4.13) о о Если четная функция Дх) удовлетворяет условиям теоремы 4.3 или 4.4, то верно равенство 2 Г Г Г(х+О) + Г (х — О) — / сооЛхбЛ ~ Г(1)сооЛ1й = х с К. 2 4.3. Интеграе Фурье в онучке четных и нечетных функций нк " 365 Пример 4.2. Представим функцию 1(х) =е * хЕ(-со,+со), интегралом Фурье. График функции изображен на рис. 4.2. Функция ~(х) является четной и дифференцируемой на 1к. Нетрудно убедиться в том, что она абсолютно интегрируема: Рнс. 4.2 +оо +оо +оо | ~Дх))ей=2 е * Нх<2/ е1 *ох=2е. /О -оо О г На основании следствия 4.2 функцию 1(х) = е * всюду на Ж можно представить своим интегралом Фурье, который для четной функции Дх) = е * задается формулой (4.13): +оо +со ,|(х) =е * = — соОЛхдЛ е ~ совЛМС> хай.
О О Представим этот интеграл Фурье в явном виде, т.е. вычислим его внутренний интеграл 1(Л) = е ~ соОЛИО. О Для этого, используя дифференцирование несобственного интеграла по параметру, составим дифференциальное уравнение, Решением которого является функция 1(Л). Подынтегральная функция ~р($,Л) = е ~ совЛ$, а также ее частная производная ~р~(й,Л) = -4е ~ апЛФ непрерывны в области Р = [О, +ос) х Ж. 366 4. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ Кроме того, )Ог(г,Л)! < е ~ !ср~А(г,Л)! < ве ' (4, Л) ЕР, Р Р и интегралы от иажорируюн4их функций е ~ и ге ~ сходятся: | -Р 1 Г -с' г 1-Р~+ ге й= — — / е И( — 4)= — — е 2 .1 2 ~О 2 Поэтому на основании признака Вейерштрасса равномерной сходимости интеграла по параметру (ЧЦ несобственные инте- гралы сходятся равномерно по параметру Л на всей числовой пря- мой К.
Следовательно, несобственный интеграл 1(Л) = у(й,Л)~й= е ~ совЛИ4 является непрерывной и дифференцируемой функцией на )а [ЧЦ, а ее производная Р(Л) непрерывна на Ж и определяется формулой Х'(Л) = 4р,(Ь,Л)сЫ= — ге "в(пЛИг. | е ~й< е Ж=е; О О е ' совЛИв и Р О | Р ге ' в1пЛИв О 4.3. Ивтетрал Фурье в соучае четвых и вечетиых фуивиий 367 Применим к интегралу 1'(Л) формулу интегрирования по чв; стям: / 142.11 Ф2 1 42, !+ 1'(Л) = — у ое вшЛеаь'= — у в1пЛос((е ) = — е вшЛ4~ 2/ 2 1о о о Л вЂ” — / е Н(вшЛ4) =-- / е совльаь= — — 1(Л).
2,( 2/ 2 Итак, функция 1(Л) является решением следующего линейного однородного дифференциального уравнения первого порядка [ЧПЦ: 1'(Л) + -1(Л) = О. Это уравнение можно решить 2 разделением переменных Имеем сЕ1 Л вЂ” = — — дЛ. 1 2 Проинтегрировав обе части уравнения, находим Л~ 1 ЩЛ)! = — — +)п~с!, 4 где С вЂ” любая константа, не равная нулю.
Последнее урав-Л2 /4 пение можно преобразовать к виду 1 = Се " 4, в котором С уже может принимать любые значения, так как значение С = О соответствует решению 1(Л) = О, потерянному при разделении переменных. Учитывая начальное условие 1(О) = / е до=— Г р ~/и 2 о (зто интпеграл Эйлера — Пуассона), находим постоянную ин- тегрирования С = л/я/2. Окончательно получаем 1(Л) а,-л/4 2 368 4. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ Подставляя найденное выражение для функции 1(Л) в интеграл Фурье функции Г(х) = е *, заключаем, что зта функция имеет следующее представление: +00 +00 е * = — ~ Г(Л)совЛхИЛ= — у е Г совЛхдЛ, хеК. л 2 Г 1 Лв4 л/ о о Пусть абсолютно интегрируемая на действительной числовой прямой К функция Г(х) является нечетной: Г( — х) = — Г(х)л х Е К.
Тогда при любом Л Е К функция Г(х)совЛх переменного х является нечетной на К, а функция Г(х) вшЛх — четной на К. Формулы (4.1) для вычисления функций а(Л) и Ь(Л) сводятся к следующим: а(Л) = — /,Г(8) сов ЛИ1 = 0; 1 Ь(Л) = — / Г(1) в1пЛСй = — ~,Г(й) в1п ЛИС, Л Е К. — ОО О Интеграл Фурье нечетной функции Г(х) принимает вид Е,)=/(,р) л «лир л )лл= = — ! ОшЛхдЛ Г ЯО1пЛ1йл х Е К. (4.14) 2 Г о О Если функция удовлетворяет условиям теоремы 4.3 или 4.4, то +олл +00 — / вшЛхдЛ / ГЯО1пЛ1сй= 2 Г . Г, Г(х+О)+ Г(х — О) х Е К. 2 о 0 4.3. Интеграл Фурье в случае четных н нечетных функций 369 Пример 4.3.
Представим функцию ~(х) = е ~*~вшх, х Е 1я, интегралом Фурье. График функции изображен на рис. 4.3. Рис. 4.3 Функция 4'(х) является нечетной и дифференцируемой всюду на Ж. Действительно, во всех точках х ф О функция Дх) дифференцируема как произведение дифференцируемых функций е ~*~ и в~их, а дифференцируемость в точке х = О можно проверить непосредственно: е япььх — О . ~а ~ . О1пььх -(Ьк) Ьт-+О ььх Ьт-+О Ьт-+О ььх Кроме того, )е ~*~япх! ( е ~*~, х Е ас, т.е. функция Дх) по модулю оценивается сверху функцией е 1т~, являющейся интегрируемой на ас: +00 +Ос | ~+со е ~*~йх=2 е *сЬ= — 2е *~ =2. О Поэтому на основании признака сравнения для несобственных интегралов [ЧЦ функция Дх) = е ~*~япх является абсолют- 270 4. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ но интегриру ег и емой на числовой прямой Ж и ее, согласно следствию 4.2 всюду на Ж можно представить своим интегралом Ф рье который в данном случае задается формулои ( .
+00 +00 Дх) =е ~*~вшх = — в1пЛхс1Л е ~с~вшсв1пЛИ1, хе К. о о Чтобы представить этот интеграл Фурье в явном виде, нужно вычислить его внутренний интеграл Г с сов(1-Л)с — сов(1+Л)с е ~ ~ в1псв1пЛйссс = / е о о +СО +СΠ— — е 'сов(1 — Л)ИС вЂ” — / е ссов(1+Л)Ис. 2 ~ ~ | е е с о ~ ~ ~ ~ 2 1 ~ о ~ ~ с о Для этого найдем интеграл +Со 1(6,а) = е мсоваИс, а е К, 6) О, о применив дважды формулу интегрирования по частям: +Со -с-оо с -и Х(Ь,а) = е мсоваИС = — — соваИе ь/ о о +СО +Со — с + Сс1 -- +-/ ° ° — Ь-Ь/ Ь !о Ь/ о +00 И = —, + — „е в1пас~ — — е ссв1пас = о +ОС 2 1 а' 1 а Ь Ьо — — — е мсоваИ1 = — — — с(Ь,а).
о 4.3. Ивтегрвл Фурье в случае четвых и вечетвых фувкввй 371 Из полученного равенства находим 1 аг 1(Ь,а) = — — — л(Ь,а), Ь 1(Ь,а) = Ь Таким образом, — Л) = 1 1+ (1 — Л)г ' Г е ~соя(1 — Л)1й = 1(1,1 о +со | е ' соя (1+ Л) И1 = 1(1 1 о 1 1+ (1+ Л)г +оо +со | 1 ( е ~бз1пйя1пЛИЮ = — / е ~соя(1 — Л)Ш— 2/ +оо 2 / — — / е ~соя(1+Л)гас= г 2(1+ (1 — Л)г о 1 2Л 2(1+ (1+ Л)г) (1+ (1+ Л) ) (1+ (1 - Л)') ' Итак, функцию е ~т~ ешя на всей прямой Ж можно представить следующим образом: 2 /' 2ЛвшЛя,1Л я,/ (1+(1+Л)г)(1+(1-Л)г) о 4 / ЛяшЛх и С (1+(1+Л)г)(1+(1-Л)г) о Интеграл Фурье был определен для функций, заданных на всей числовой прямой Ж.
Однако интеграл Фурье четных и 4. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ нечетных функций можно вычислить, используя значения этих функций только на положительной полуоси [О, +со). Очевидно также, что интеграл Фурье можно определить и с помощью значения этих функций только на отрицательной полуоси (-со, 0]. Это наводит на мысль, что интегралом Фурье можно представить и функции, определенные только на положительной (или отрицательной) полуоси.
Функции, заданные только на одной полуоси, например на [О, +со), можно доопределять на другой полуоси ( — оо, 0) любым способом. Вообще говоря, можно доопределять произвольно (например, нулем), однако, учитывая простоту выражений интегралов Фурье четных и нечетных функций (см. (4.13) и (4.14)), более естественным способом является доопределение функции до четной или нечетной.
При этом в интеграле Фурье для полученной четной или нечетной функции остается ограничиться рассмотрением того полуинтервала ( — оо, 0[ или [О, +оо) значений аргумента х, в котором определена исходная функция 1(х). Рассмотрим, например, функцию 1(х), заданную только на положительной полуоси [О, +ос). Пусть 1(я) абсолютно интегрируема в этом промежутке. Продолжим функцию Дя) на отрицательную часть числовой оси так, чтобы полученная функция стала четной, т.е. для всех х (0 положим 1(Я) = 1(-х). Доопределенная таким образом функция 1(я) задана на всей числовой прямой К, четна и абсолютно интегрируема на К.
Поэтому ее интеграл Фурье можно вычислить по формуле (4.13). Если функция 1(х) в полуинтервале [О, +со) удовлетворяет условиям теоремы 4.3 или 4.4 (кусочко кепрерывка, обладает односторонними производными или кусочко мокотиокка на каждом отрезке), то, очевидно, доопределенная на К функция 1(х) удовлетворяет условиям теоремы 4.3 или 4.4 на всей прямой К, и, следовательно, для функции 1(я) при я Е [О, +со) 4.3. Иитегрел Фурье в случае четиых и иечетиых функций 373 выполняется соотношение — совЛхсЕЛ Д1)совЛМй.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
