IX Власова Е.А. Ряды (1081388), страница 47
Текст из файла (страница 47)
Рассматриваемая функция как раз является примером такого рода: существуют точки х Е И, в которых замена несобственного интеграла в смысле главного значения несобственным интегралом в обычном смысле недопустима. Покажем, что при всех я ф ~1 можно утверждать, что несобственный интеграл в формуле (4.28) сходится не только в смысле главного значения, но и в обычном смысле, в то время как в точках х = Ы интеграл (4.28) сходится только в смысле главного значения, т.е. в обычном смысле расходится. Действительно, согласно замечанию 4.2, достаточно рассмотреть и исследовать на сходимость мнимую часть интеграла (4.28)— 391 4.4. Комплексвав форма иятеграаа Фурье интеграл 1 / в1п Л(в1п Ла т1 Л -00 (4.29) 1 /'вшЛ1в1пЛя я/ Исследуем на сходимость несобственный интеграл +~о +ОО 1 р вшЛЫпЛх 1 Г совЛ(1 — я) — совЛ(1+я) ил= — ~ т/ Л 2я/ Л Если х ~ Ы, то этот интеграл представляет собой разность двух сходящихся несобственных интегралов вида [ЧЦ вЂ” ИЛ, А 140.
2.Д' Л Следовательно, интеграл (4.30) сходится. И в силу нечетности подынтегрвльной функции интеграл (4.29) также сходится. Поэтому при всех х ~ Ы1 символы Ч.р. в формуле (4.28) можно опустить и рассматривать сходимость интеграла в обычном смысле. Если х = ! или х = -1, то интеграл (4.30) представляет собой разность двух несобственных интегралов, один иэ которых +со +ао вида ) — дЛ сходится, а второй вида / -ИЛ расходится.
см 2Л( 1 Л Х в Отсюда вытекает, что интеграл (4.30) расходится и, значит, Как отмечалось выше, подь1нтегральная функция непрерывна при всех Л Е К. Следовательно, для всякого в ) 0 существует определенный интеграл 392 4. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ расходится интеграл (4.29). Таким образом, при х = Ы интегралы (4.29) и (4.28) сходятся только в смысле главного значения.
Итак, — е' *ЫЛ, хфЫ; Дх+О) + Г(х — О) +СО -Ч.р. / — е' *ЫЛ, х = Ы. 1 Гнпп д, / Л Учитывая, что функция Г (х) непрерывна всюду на чнсловон оси, кроме точек х = Ы, получаем следующее представление функцииГ(х): ,1(х) = — / — е' *сИ, х у~ Ы, 1 'Г"31ПЛ1,.„. †° / л т.е. +00 Г В точках х = -1 и х =1 интеграл Фурье рассматриваемои функции принимает значения 1 Г 31пЛ1 си Г(Ы+О)+ Г(Ы-О) 1 -Ч.р.
/ — е'"'сИ = 2 2' л которые отличаются от значений функции Г(х). 393 4.5. Преобрыоаание Фурье 4.5. Преобразование <Зтурье Как показано в примере 4.6, интпегра т Фурье в комплексной форме функции т" (х) приводит к представлению этой функции в виде несобственного интеграла +со С д(Л) е' *ИЛ с некоторой константой С и некоторой функцией д(Л).
При этом функция д(Л) выражается через функцию т(х) аналогичным интегралом. Если для комплекснозначной функции т" (х) несобстпвенный интпеграл ,т(Л) = — Ч.р. т(М)е ™й ~Г2я (4.31) сходитпсл в смысле главного значения при любом Л Е 'ж, то определяемую этим интегралом комплексноэначную функцию ,т'(Л) называют прямым преобразованием Фурье функции .т (х). Аналогично функцию ,т(Л) = — Ч.р.
У(т)е™ат, ~/2~г (4.32) которая определена на К, если несобственный интеграл сходится в смысле главного значения при любом Л й ж, называют обратпным преобразованием Фурье функции т'(х). Отметим также, что прямое и обратное преобразования Фурье очень близки друг к другу и их можно поменять местами. Выбор знака минус в показателе экспоненты прямого преобразования Фурье н знака плюс в показателе экспоненты обратного преобразования Фурье условный и является лишь данью традиции.
394 4, ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ Если комплекснозначная функция Дх) абсолютно ивтаегрируема на Й, то в силу оценок ]у(Ф) е '«'! < ]Д1)], ]~($) е'"~! < ]ДМ)), 4, Л Е 'и, несобственные ннтеграяы в формулах (4.31) и (4.32) сходятся абсолютно при любом Л Е К и, следовательно, сходятся. Поэтому в этих формулах можно снять символы главного значения. В результате формулы прямого и обратного преобразований Фурье примут вид +со +со У(Л) ос 1 ( Хте а, У(Л) = 1 1 И4) 1 6И. — со — сс Прямое и обратное преобразования Фурье фактически являются отображениями, область определения и область значений которых являются некоторыми множествами функции, определенных на всей числовой оси. Функции выступают как аргументы преобразований, но в свою очередь имеют аргумент.
Поэтому удобно прямое преобразование Фурье функции ~(х) обозначать через Щ](Л), где в квадратных скобках указан аргумент преобразования Фурье, т.е. функция У, а в круглых скобках — аргумент функции, которая является образом ~(я) при преобразовании Фурье. Аналогично обозначают и обратное преобразование Фурье: Р 1]у](Л). Если интеграл Фурье Ф(х) действительной абсолютно интегрируемой на К функции Дх) сходится в каждои точке х, то его можно представить в виде композиции прямого и обратного преобразований Фурье: +со +со Ф(х) = — Ч.р. ИЛ ~(4) е-1л(1-х),Н 2к +со +со — м.р. Г," ~ — ' Глс,-"'о)о =г-'(гуЯ~,~. Вообще говоря, обратное преобразование Фурье не является обратным отображением к прямому преобразованию Фурье, 395 4.5.
Преобразование Фурье так как область определения обратного преобразования Фурье и область значений прямого преобразования Фурье не совпадают: даже если функция Дж) абсолютно интегрируема, то для ее преобразования Фурье у'(Л) обратное преобразование Фурье Е 1[,~], определяемое формулой (4.32), может и не существовать. Кроме того, равенство у(х) = Р 1~Щ]] = у означает, что функция Дх) совпадает со своим интегралом Фурье во всех точках х 6 Ж. Но из теоремы 4.4 следует, что существуют функции, которые в некоторых точках (точках разрыва) отличаются от своего интеграла Фурье.
Тем не менее, если ограничить область определения прямого преобразования Фурье, например, абсолютно интегрируемыми непрерывными функциями, удовлетворяющими условиям Дирихле, то, согласно теореме 4.4, будем иметь ~(х) = Р 1[Щ]](х), т.е. отображение, обратное прямому преобразованию Фурье будет обратным преобразованием Фурье. Это объясняет, почему два преобразования так названы. Описанная связь между прямым и обратным преобразованиями Фурье позволяет получить для этих преобразований формулы обращения, т.е. формулы, по которым можно восстановить функцию по ее прямому (обратному) преобразованию Фурье. Теорема 4.6 (теорема обращения преобразования Фурье).
Пусть действительная функция у(х) абсолютно интегрируема на числовой прямой Й, удовлетворяет условиям теоремы 4.3 или 4.4 и, кроме того, во всех своих точках разрыва удовлетворяет условию У(х+О) + у (х-О) (4.33) 2 Тогда верна форму ьа обращения прямого преобразования Фурье ~(х) = — Ч.р. ~(Л)е' *дЛ, х Е Й, ~/2~г 396 4. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ а также Формуле обращения обратноео преобразования Фурье г(х) = — Ч.р. ЯЛ)е ™ЙЛ, хай. ~Г20г н Формула обращения прямого преобразования Фурье вытекает из теоремы 4.3 или 4.4 (в зависимости от условий, которым удовлетворяет функция у(х)).
Действительно, если функция у(х) удовлетворяет условиям теоремы, то, согласно теореме 4.5, ее интеграл Фурье Ф(х) сходится всюду на 1к, причем Ф(х) = у (х), х б Ж. Но, как показано вьппе, Ф(х) = г г [Щ]] (х). Поэтому у (х) = г' ~ [Щ]1(х) = г' ~ [г(Л)](х), что и дает формулу обращения прямого преобразования Фурье. Докажем справедливость формулы обращения обратного преобразования Фурье. Пусть ,г" (Л) = — У(х) ем*Их, Л е И.
~/2~г г Тогда +00 +со у(Л) = — у(х)е"*Их = — / у(х)е ™Йх. ~/20г Ог ~/20г 1 -00 — 00 Это означает, что функция у(Л) является прямым преобразованием Фурье у(х), т.е. у(Л) = К(Л). Используя формулу обращения прямого преобразовании Фурье, получаем у(х) = — Ч.р. ( ~(Л)еы*бЛ. 1 ~/2гг .г' Следовательно, +со +ОО У(х) = Дх) = — Ч.р. ~,г(Л)е'"*ИЛ = — Ч.р. у(Л)е '"*бЛ. 397 4.о. Преоораэоаавие Фурье Это доказывает справедливость формулы обращения н для обратного преобразования Фурье. ~ Теорема 4.6 верна для комплексных функций действительного переменного (см. 4.Т).
Пусть функция ~(х) удовлетворяет условиям теоремы обращения преобразования Фурье. Функцию Я(Л) = — Д$)е ' Ж 2з. „( называют спектреьаъное2 фрнкциеб исходной функции Дх). 0 точки зрения механики функция е'л* есть аналитическое представление гармонического колебания. Поэтому формулу обращения прямого преобразования Фурье 7'(х) = Ч.р. Я(Л)е'леЫЛ можно понимать как разложение механического движения, описываемого функцией 1(х), в суперпозицию бесконечного числа независимых колебаний с различными частотами, а спектральную функцню Я(Л) — как меру интенсивности отдельных колебаний, соответствующих различным значениям частот Л.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
