IX Власова Е.А. Ряды (1081388), страница 46
Текст из файла (страница 46)
Кроме того, для обоих типов интегралов имеет где а,,В Е го соп яжеместо своиство, связанное с операциеи комплексного р +00 +00 Дх) дх = |(х) ох. ло от комнлекснозначной функции, рассматривая несоби мнимой частей атой ственны ные интегралы деиствительной +со функции. Несобственный интеарал | „г( ) „г(х)ох от кома плексноэначной функции Дх) = и(х)+ж(х), определеннои на промежутке [а, оо, н [ +со) называют сходлн4нмсл, если сходятся несобственные интегралы 382 4.
ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ Действительно, +оо +со +со | и(х)+Ы(х)с(х = и(х)с(х+г и(х)дх = О О о +со +со +со = | ()а*- | (оо= |(.(о- (о)ш. +со Несобстпеенныб интпеерал | Дх) ах отп комп ьексно- О эначноб фрнкт4ии Дх) = и(х)+Ы(х), определенной на промежутке (а, +ос), называют абсолютпно сходли4имсл, если сходится несобственный интеграл от действительной функции й ')1: +со +со | ~Дх)~ дх = из(х) + ил(х) Йх < +со. о О Интеграл ) Дх)дх от комплекснозначной функции Дх) = О = и(х) + Ы(х) абсолютно сходится тогда и только тогда, когд а +оо +со абсолютно сходятся интегралы | и(х)дх и | и(х)дх от ее о о д ействительной и мнимой частей.
Это следует из очевидных неравенств ~и(х)~ < ) |(х)~, ~е(х)~ < )~(х)), ~Дх)! < )и(х))+ )и(х)(, которые уже были использованы при обсуждении пределов, и признаков сходимости несобственных интегралов от действительных функций [ЧЦ. Как и в случае действительных функций, если несобственный интеграл от комплекснозначной функции сходится абсолютно, то он сходится.
При этом ! Дх)с(х < ~Дх))дх. О о 383 4.4. Компаеиеяаа форма яятеграла Фурье Пусть действительная функция Дх) определена на всей числовой оси К. В случае, когда несобственный интеграл от этой функции по бесконечному промежутку (-со, +ос) расходится, часто используют главное значение этого несобсшвенного инптегрвла.
Напомним, что так называют предел Ч.р. у (х) Их = 1пп Дх) <Ь. Аь+оо / Символы Ч.р., указывающие на то, что используется главное значение несобственного интеграла, берут свое начало от начальных букв французского выражения еа1епг рппс1ра1 (главное значение). Если этот предел существует, то говорят о несобстпвенном интпеграле, сходящемся в смысле главного эначенна Отметим, что если несобственный интеграл сходится, то он сходится и в смысле главного значения, причем обычное значение несобственного интеграла и его главное значение совпадают. Поэтому для сходящихся интеграаов понятие главного значения на самом деле не дает ничего нового. Главное значение несобственного интеграла позволяет расширить круг используемых интегралов, вовлекая в оборот часть расхода+оо щихся интегралов. Например, несобственный интеграл ) хдх сходится в смысле главного значения, так как +оо А +А 4 г+ Ч.р.
хдх = 1пп / хИх = 11ш ~ — 1 = О. А->+оо У А-++оо ~ 2 ~/ -оо -А Однако в обычном смысле этот интеграл расходится, поскольку о +оо расходятся оба интеграла ) хдх и ) хдх. -оо О Пусть комплекснозначная функция Дх) = и(х) + 1и(х) определена на всей числовой оси и интегрируема на любом отрезке 384 4. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ [а, Ц. По определению полагаем, что +00 +СО +ОЭ Ч.р. у(х)ггх = Ч.р. и(х) ггх+ 4Ч.р. е(т) ггх, при зтом будем говорить, что несобственный интеграл от комплекснозначной функции сходится в смысле главного значения, если сходятся в смысле главного значения несобственные интеграпы от действительной и мнимой частей комплекснозначнои функции. Нетрудно убедиться в том, что и для комплекснозначной ф нкцни понятие сходимости несобственного интеграла в смы- ФУ еле главного значения расширяет понятие его обычной сходимости: если несобственный интеграл от комплекснозначной функции сходится, то он сходится и в смысле главного значения, причем к тому же самому числу.
Понятие главного значения несобственного интеграла необходимо для того, чтобы представить интеграл Фурье в комплексной форме. Теорема 4.5. Пусть действительная функция Дх) абсолюпгно интегрируема на числовой прямой К, а также удовлетворяет всем остальным условиям теоремы 4.3 или 4.4.
Тогда для всех х Е К имеет место равенство ИЛ у(4)е '~~' ) гй (4 21) 2 2я м Поскольку функция Дя) удовлетворяет условиям теоремы 4.3 или 4.4, то интеграл Фурье (4.3) функции Дх) сходится и имеет место разложение — НЛ ~Я сов Л(4 — х) й, я Е К. (4.22) 2 я/ 0 -со 385 4.4. Компаекелал форма лятеграеа Фурье 3зфиксируем х Е Й и рассмотрим следующие функции перемен- ного ЛЕЙ: +со +со у (Л) = У(Ю) сов Л(2 — х) сй, фе(Л) = У(4) з1ПЛ(1 — х) еи. -оо -оо Функция Дх) является абсолютно интегрируемой на Ж, а функции и (й,Л) = созЛ(1 — х) и 1ь (1,Л) = з1пЛ(й-х) при во~с х Е Й непрерывны и ограничены по совокупности переменных 1 и Л в Ж2, так как )созЛ(1 — х)) (1, )з1пЛ(ь — х)~ (1, (ь, Л) Е аС .
2 Согласно теоРеме 4.1, пРи всех х Е Ж фУнкции ~Ре(Л) и тье( ) являются непрерывными в каждой точке Л Е Й и, следовательно, интегрируемыми на каждом конечном отрезке [А, В]. Кроме того, функция <р, (Л) четная: ~ре(-Л) = Дй) соя(-Л(~ — х)) <Н = у (1) соз Л(1 — х) г1ь = <ре(Л), а функция ф~(Л) нечетная: ф*(-Л) = У(~)з1п(-Л(1- )),11= — У(1) з1пЛ(~ — х) а = -ф.(Л). 386 4.
ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ Формула (4.22) означает сходимость (при всех х Е ж) несоб- ственного интеграла ( уо(Л) ИЛ, причем О 1 7 У(х+О)+У(х-О) О Так как функция уо(Л) является четной, то ее несобственный О +оо интеграл / уо(Л) ПЛ сходится и равен интегралу / ~оо(Л) ЫЛ. -оо О Следовательно, при х Е Й +оо О +оо Р (Л)ВЛ = — ~Р (Л)сй+ Ооо(Л)(ХЛ О вЂ” оо О р,(Л)~Л = -Ч.р.
р (Л)~Л. (4.28) 2/ * 2 Для нечетной непрерывной функции ф (Л) при всех А ) О интеграл по симметричному отрезку (-А,А] существует н равен нулю: А | ф,(Л)<ЕЛ=О. -А Поэтому для всех х Е Й сходится в смысле главного значения +оо несобственный интеграл ) Ф (Л)НЛ, причем Ч.р. ф (Л)ЫЛ= 11щ Гф (Л)НЛ=О. (4.24) А-ь+оо у +оо (Заметим, что несобственный интеграл ( ф,(Л) НЛ в обычном смысле может расходиться.) 387 4.4. Комплексвае форма ввтеграла Фурье Учитывая (4.23) и (4.24), находим ~(х+О)+~(х-О) 1 / (Л)„.Л 2 и лг 0 +со +оо = — Ч.р.
г' гр (Л)г1Л вЂ” — Ч.р. г(л (Л)ЫЛ = 2п 2п — со -со = — г р. ~ (е,~л> - с.~ле сл = 2п +ос +со = — ср. ~лл/гдГ ~лгл- )-ге л(л- ))лл= 2п. +со +со = — Ч.р. г1Л 1Яе '~~' е1М. 2п При переходе к последнему равенству использована формула Эйлера (Х], согласно которой соя ( — Л(4-х)) + Ып ( — Л(4-х)) = е '"л~ *лл Л,балх б К. Таким образом, формула (4.21) доказана.
~ Определение 4.2. Интеграл Ф(х) = — Ч.Р. ггЛ У'(4)е '"(г агг1гс х Е К, (4.25) 2п входящий в правую часть равенства (4. ), а 4.21) называют пкгпе- еролом Фурье в комплекено41 форме функции Д ), лютно интегрируемой на й. 4. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ 388 Замечание 4.1. Следует обратить внимание на то, что формула (4.25) определяет не какой-то новый интеграл Фурье, а лишь другую, комплексную, форму его записи.
Действительная часть интеграла Фурье в комплексной форме совпадает с интегралом Фурье в обычной (действительной) форме (4.3), а его мнимая часть равна нулю. Замечание 4.2. Как видно иэ хода доказательства теоремы 4.5, необходимость использования главного значения несобственного интеграла в формулах (4.21) и (4.25) возникает +оо только потому, что несобственный интеграл ( у1 (А) ЫА может расходиться.
Если же этот интеграл сходится, то интеграл Фурье в комплексной форме (4.25) также сходится, и в этом случае можно вместо (4.21) использовать формулу — с(А /яе о'(~ *1 сМ х Е й. (4.26) 2 2я/ Кроме того, в силу замечания 4.1 при выполнении условий теоремы 4.5 действительная часть интеграла Фурье в комплексной форме всегда сходится. Поэтому при проверке воэможности представления функции интегралом Фурье в соответствии с формулой (4.26) достаточно проверить сходимость (в обычном смысле) мнимой части комплексной формы интеграла Фурье.
Замечание 4.3. При получении формулы (4.21) интеграл (4.24), равный нулю, можно было не вычитать из интеграла (4.23), а, наоборот, добавлять. Равенство при этом не нарушается. Это изменение приведет лишь к тому, что в экспоненте интеграла Фурье в комплексной форме показатель изменит знак, т.е. в комплексной форме интеграла Фурье показатель можно выбирать как со знаком минус, так и со знаком плюс.
Общепринятой является формула со знаком минус, т.е. формула (4.25). 389 4.4. Комплексиях форма яитеграаа Фурье а~+О)+У(х-О) 1 (,~ «л(г х)„, 2 2я 1 (~р ИЛ вЂ” ~Л(Г-х) мь 2к -оо В этом интеграле вычислим внутренний интеграл: е 'Л(' х1 ~г ЛФО; 21, Л=О. Поскольку Е-ГЛ(С-х) Г -ГЛ(Г-х) (Л, 'Л Е1Л(Г+х) е'лх(е'лг — е *«') е'лх . 2ьйпЛ1 Л то 2е'Лх а(п Л1 Л ' ' (4.27) 21, Л=О. -гЛ(Г-х) мь Пример 4.6. Представим интегралом Фурье в комплексной форме функцию 1, -1<х<1; О, (х( >1, график которой изображен на -( О 1 х рис. 4.6.
Рис. 4.6 Функция Дх) абсолютно интегрируема и кусочно посгяоякка на К, следовательно, она удовлетворяет условиям как теоремы 4.3, так и теоремы 4.4. Поэтому ее можно представить интегралом Фурье в комплексной форме: 4. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ Заметим, что 2е'"* вшЛ1 .,„, . вшЛ1 1пп = 21 Бшем* 1пп — = 21.
А. о Л л-+о л-+о Л1 Поэтому интеграл (4.27) (а также его действительная и мнимая части) как функция от Л является непрерывной функцией при всех значениях Л Е ж. Для краткости обозначим эту функцию (2е'~*в!пЛ1)/Л. Тогда с учетом этого обозначения получаем следующее представление функции Дя): +СО Дх+О) + ~(х — О) 1 )' 2е'"* ешЛ1 = — Ч.р. ~ 2 2к ( Л1 = — Ч.р. / е' *дЛ, я Е К.
(4.28) ~ в1пЛ1 л Как мы уже отмечали, интегралы, сходящиеся в смысле главного значения, могут, вообще говоря, и не сходиться в обычном смысле при всех значениях х Е К или хотя бы при некоторых. Поэтому необоснованная замена главного значения интеграла его обычным значением может привести к ошибке.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
