IX Власова Е.А. Ряды (1081388), страница 41
Текст из файла (страница 41)
Вектор Х(Д() в случае 3.22. дискреткое преовреэоеакке Фурье 335 вычисления прямого дискретного преобразования Фурье является вектором значений сеточной функции в узлах О, Т/1ь7, (Ф вЂ” 1)Т/Н. Вектор Х(Ж) в случае вычисления обратного дискретного преобразования Фурье является вектором дискретных коэффициентов Фурье некоторой сеточной функции, которую и необходимо восстановить.
Параметр о принимает значения: о = 0 для прямого дискретного преобразования Фурье и о = 1 для обратного дискретного преобразования Фурье. 2. и = 1. 3. й =О. 4. и = О. 5, / = й2" + е + 1, 1 = й2" ~ + е + 1, р = ко/2" 6. Если н = О, то в = вшр, если и = 1, то в = -вшр. 7. с = совр. 8, 1~ — 2 ~ +1, у~ — — у + 2" ~.
9. АА(~) = А(1) + А(1~)с+ ВЯ)в, ВВЯ = В(1) — А(1~)в+ + В(1Дс, АА(у~) = А(1) — А(1~)с — В(1~)в, ВВ(Я) = В(1)+А(1~)в— — В(1~)с. 10. о = о+1. 11. Если о — 2" ~ < О, то вернуться к шагу 5, если о — 2" ~ > > О, то перейти к шагу 12. 12. й = й+ 1.
13. Если й-2"" "< О, то вернуться к шагу 4, если й — 2к " > > О, то перейти к шагу 14. 14. А(1) = АА(1), В(1) = ВВЯ, 1 = 1, Д1. 15. п = и+1. 16. Если и — т < О, то вернуться к шагу 3, если и — т > О, то перейти к шагу 17. 17. Если о=1, то перейти к шагу 18.
Если и =О, то АА(1) = = АА(1)/Ф, ВВЯ = ВВ(1)/Я, 1 = 1, И, и перейти к шагу 18. 18. Выходные данные: АА(Ф), ВВ(И) — М-мерные массивы действительных и мнимых частей комплексного вектора 1'(Ж), полученного путем применения прямого или обратного дискретного преобразования Фурье к вектору Х(Ж). ЗЗО 3, РЯДЫ ФУРЬЕ Дополнение 3.1. Доказательство леммы Римана дли определенных интегралов Докажем теорему 3.10 (лемму Римана).
Нвм необходимо показать, что для всякой кусочно непрерывной на отрезке [а, Ь] функции ~(х) имеют место следующие соотношения: 1пп Дх)сов(хйх=О, 1пп |(х)втсхйх= О. (-+оо,/ ф-+сю,/ Пусть сначала ~(х) — кусочно носьпояв иоя (спьуненчашая) фрнкьЬи*. Это означает, что существует такое разбиение отрезка [а, Ь! точками хе, хь, ..., х„, о=хе <хь « х„=Ь, что ~(х) = Сь, если х Е (хь м хь), й = 1, и, где Сь Е К вЂ” некоторые постоянные. Тогда имеем следующие равенства: ь хь | ее-~ =~ |я*) в ~~= а ь=1... г л Сь = ~~> Сь / сов(х Нх = ~> — (в1п~хь — в1п(хь 1).
ь=1 ь=1 Поскольку синусы ограничены по модулю единицей, то при ~ -+ оо получаем ь | 1 У(х)сов(хдх < — ~~~ 2[Сь! -+ О, (-ь со. в=1 К! Заметим, что значения функции ~(х) в самих точках разбиения хе, х1, ..., х„в доказательстве не используются и могут быть произвольными.
Пусть теперь у(х) — произвольная кусочно непрерывная на отрезке [а, Ь! функция. Покажем, что для любого числа е > 0 337 Д.3.1. Докеаательотао леммы Рямаяа найдется такая ступенчатая функция д(х), что [7(х) — д(х)] <, х е [а, Ь]. (3.70) Выберем произвольное число е > О. Из кусочной непрерывности функции ?(х) на отрезке [а, Ь] следует, что на [а, Ь] можно указать конечное число точек а = де < у1 « ... дм = Ь, таких, что в интервалах (д и у ), у = 1, Ф, функция 7" (х) непрерывна и существуют конечные пределы ~(у? 1+О) = 1?ш У(х) и у(д -О) = 1?ш 7" (х).
а-+Ю 1+О а-~у,. -О Прежде всего определим функцию д(х) в точках 91, у = О, М, положив д(ду) = У(ду) Для каждого номера ? = 1, Ж рассмотрим отрезок [у? н д?] и определенную на этом отрезке функцию Д(х), равную 7(х) в интервале (д и д ), а на концах отрезка доопределенную по непрерывности: у(д? 1+О), х = д? ~; Ях) = ~(х), хб(д? 1,ду); Дду — 0), х = ду, [11(х ) — Ях ) [ < (3.71) Все функции Ях) на своих отрезках [у н д?] являются непрерывными. Следовательно, каждая такая функция равномерно непрерывна на своем отрезке [?-5.9]. Поэтому для каждого 2 = 1, Д? найдется число Ю (е) > О, такое, что для любых точек х' и ха из отрезка [ду му ], удовлетворяющих условию ]х' — х" [ < о (е), верно неравенство 338 3.
РЯДЫ ФУРЬЕ Подберем такие натуральные числа Ь1, чтобы выполнялись неравенства Л1= э э <Б1(е), 1=1,Ф. Разбив интервал (у и у ) на полуинтервалы 1 = (у ~+ (т-1)111, у ~+ т11 ], т = 1, йу — 1, и интервал 1 ~,, = (у ~ + (йу — 1)Ь1, у ~ + Й,О ), определим в интервале (у. му ) функцию д(х) следующим образом. На каждом промежутке 1, т = 1, Й., эта функция постоянная и совпадает со значением Яу ~ +т11 ) функции Ях) в правом конце промежутка 1 . Функцию д(х) определим указанным образом на всех интервалах (уу и у ). Тогда она в силу (3.71) в каждом интервале (уу и у ) удовлетворяет неравенству Щх) — д(х)( < Поскольку 1(х) = 11(х) при х Е (у и у ), то Щх)-д(х)!<, хЕ(у пу), (3.72) и это верно для каждого интервала (уу и у ). Учитывая, что в точках уе = а, у~, уг, ..., уи = Ь ранее положили д(уу) = 1(у ), заключаем, что неравенство (3.72) выполняется для всех точек х Е [а, Ь'.
Таким образом, существование кусочно постоянной функции д(х), удовлетворяющей неравенству (3.70), доказано. Продолжим доказательство леммы Римана. Согласно доказанному ранее, для всякой ступенчатой функции д(х) верно равенство 1пп д(х) сов(х Ых = О. 4-+оо,/ я Поэтому найдется такое Се > О, что при (ф~ > Се будет выпаль няться неравенство )~д(х) совсхЫх~ < е/2. Учитывая это, а я 339 Д.3.2. О достаточных прививках олодвмоети также неравенство (3.70), при )([ > сд получаем Ь ! у(х)сов~хг1х = ь Ь = |Я*>-вв*'вв Е*в*в|вв*'в Г в*~ < о а Ь Ь <|~г~.)-в(О~~ г*~в*+ /в~*в.
г*в.~< 2(Ь- а) 2 ь Это означает, что 1пп ||(х) совСхдх = О. Аналогично доквзы- 6 ~во а вается и второе равенство 11ш | г" (х) в1псхдх = О. ~ 6-воо о Дополнение 3.2. О достаточных признаках сходимости ряда Фурье Теорема 3.11 является следствием более общей теоремы. Сформулируем зту теорему. Теорема 3.19 (ььриэнак Дини). Пусть функция г" (х) определена на К, имеет период 2к и является кусочно непрерывной на отрезке [ — к, к].
Если в точке х Е К при некотором значении о > 0 существует (конечен) интеграл 6 | [ |(х+и) + Дх-и) — 2| (х) ~ Ни, о то тригонометрический рлд Фурье функции 6 сходится в точке х к значению (У(х+0)+У(х — О))/2 Ф 340 3. РЯДЫ ФУРЬЕ Нетрудно показать, что любая функция, удовлетворяющая условиям теоремы 3.11, также будет удовлетворять и условиям признака Дини (для любой точки х Е й). Таким образом, теорема 3.11 действительно является следствием признака Дини. Признан Дирихле (см. теорему 3.12) также является следствием другой общей теоремы.
Прежде чем сформулировать эту теорему, введем следующее понятие. Функцию у(х), заданную на отрезке [а, Ь], называют ф1гкнциеб с озранинеккым иэменекием, если существует такая постоянная М > О, что, каково бы ни было разбиение отрезка [а, Ь] точками а = хо < < хг « х„= Ь, справедливо неравенство ~~г фхь) — Дхь г) [ < М.
в=1 Всякая функция, монотонная на отрезке [а, Ь], имеет ограниченное изменение, причем сумма, стоящая в последнем неравенстве слева, не зависит от выбора точек разбиения и всегда равна ]1(Ь) —,г" (а)]. Ограниченная кусочно мокоигоннал на отрезке функция также имеет на этом отрезке ограниченное изменение. Теорема 3.20 (признак Жордака). Пусть функция у(х) определена на й, имеет период 2я и является кусочно непрерывной на отрезке [ — я, я]. Если точка х Е К такова, что при некотором значении б > 0 функция г(х) имеет ограниченное изменение на отрезке [х — б,х + д], то тригонометрический ряд Фурье функции г' сходится в точке х к значению ( г (х+0) + ~(х-0)) /2.
ф Из этой теоремы, в частности, следует, что если 2я-периодическая и кусочно непрерывная на отрезке [ — я, гг] функция имеет на этом отрезке ограниченное изменение, то ее ряд Фурье будет сходиться в любой точке х Е К к значению (У(х+0)+У( -0))(г. Покажем, что признаки Дини и Жордана не сводятся один к другому, т.е. существуют функции, которые подпадают под один признак, но не подпадают под другой. 341 Д.З.2. О достаточннгх признаках сходимости Рассмотрим кусочно монотонную и непрерывную на отрезке [ — х, и] функцию 1 х Е [ — и, 0) 0 (О, зг]; у( .) ~1п— О, х=О. Покажем, что эта функция удовлетворяет условиям признака Дирихле (а значит, и условиям признака Жордана), но не удовлетворяет условиям признака Дини в точке х =О.
Действительно, эта функция непрерывна в любой точке х ч6 0 на отрезке [ — х, х]. В точке х = 0 она тоже непрерывна, так как 1пп 1".(х) = = — = О. 1 1 х+о 11щ 1п!х! Оо х+о 2к Функция ~(х), как нетрудно заметить, не убывает на интервале (О, х) и не возрастает на интервале ( — и, 0), а потому кусочно монотонна на отрезке [ — х,х]. Значит, она удовлетворяет условиям признака Дирихле (в формулировке теоремы 3.18). Ее ряд Фурье сходится к самой функции всюду на отрезке [ — х, и] (отметим, что |(-х) = Ди)), и в частности в точке х = О.
Однако условия признака Дини в точке х = 0 не выполняются, поскольку для любого 6 > О, 0 < 6 < и, имеем | ] |(О+гб) + |(О-и) — 2|(0) [ ~(и) о о б б = — 2/ „= — 2| г =-21 ! о 2г о = -21п[1п — [+2 1пп 1п]1п — ~ =+со. 2х [ х-++о [ 2и 342 3. РЯДЫ ФУРЬЕ Рассмотрим другую 2з-периодическую функцию гр(х), которая на отрезке [ — я, я] определена следующим образом: х соо —, х Е [-я«0) 0 (О, я]; г «Р(х) = х~' О, х=О.
Функция «р(х) дифференцируема в каждой точке х Ф ия, и Е 1Ч, а в точках х = ия, и Ф О, она имеет односторонние производные. Функция «р(х) также дифференцируема и в точке х = 0: (Дгх)з сов гр~(0) = 1пп 1пп гйхсоо — = О. а*-«о Ьх ах-«о (бгх)з Поэтому функция го(х) удовлетворяет условиям теоремы 3.11, а значит, и условиям признака Дини. Ее ряд Фурье сходится в любой точке х Е Й к значению функции в этой точке. Однако функция «Р(х) не имеет ограниченного изменения на отрезке [ — а,а] при любом а ) О. В данном случае достаточно рассмотреть отрезок [О, а], причем можно считать, что а < я.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
