IX Власова Е.А. Ряды (1081388), страница 55
Текст из файла (страница 55)
В силу утверждения (5.7) найдется такой номер Мг, что ((х — х„~~ < 1/2з при и > Фз и тп > и. Выберем номер пг > шах(Мз, п1). Тогда ))х„, — хш Й < 1/2 и ~~х,„— х„,(( < < 1/22 при тп > пз. Продолжая так и далее, на я-м шаге для е = 1/2" определяем такой номер Дть, что ((х,„— х„(( < 1/2" при и > Дть и тп > и. Затем выбираем номер пь > шах(Фю пь т). При таком выборе о.о.
Сходвиость рядов в оаваховых вростравствах 453 бУДЕм иметь (~хпх — хпх,(! < 1/2" 1 и '8х — хп„~~ < 1/2" пРн 1П > 11Ь. В РЕЗУЛЬтатЕ ПОЛУЧИМ ПОДПОСЛЕДОВатЕЛЬНОСтЬ (Хив)1~ ПОСЛЕДОВатЕЛЬНОСтИ (Хп)~~ 1, таКУЮ, ЧтО !~Хи„, — Хи„!! < 2,, 1 (5.8) Составим следующий ряд элементов нз Ь: хп~ + (хих — хи~) + (хпх — хих) + ° .. + (хих+~ — хпх) +... Этот ряд абсолютно сходится, поскольку числовой ряд '8х„,'8+~~> ~~х„„~, — х„„)! В=1 почленно мажорнруется сходящимся числовым рядом ~~-' 2" я=1 Так как всякий абсолютно сходящийся ряд, согласно условию теоРемы, схоДитсЯ, то сходитсЯ н РЯД хи, + 2,'(хи,, — хи„). я=1 Обозначим сумму этого ряда Я, Я Е Ь, н найдем частичные суммы этого ряда: Ки хи~ + ~~ ~(хпх+~ хих) я=1 Хд, + Хд~ — Хп, + ХдС вЂ” ХИХ +...
+ Хпп, — Хи„,, = Хдт. Итак, для всех т Е М справедливо равенство: о',и = хи Сходнмость ряда к элементу Я е Ь означает, что последова- тЕЛЬНОСтЬ (Я,и) = (Хи ) ЕГО ЧаетИЧНЫХ СУММ СХОДИТСЯ К ЭЛЕ- менту Я по норме в Ь. Таким образом, подпоследовательность (хд )сс 1 фУндаментальной последовательности (хи)и 1 сходятся (к элементу ЯЕ Ь). Согласно теореме 5.2, последова- тЕЛЬНОСтЬ (Хи)и 1 таКжЕ СХОДИТСЯ (К ТОМУ жЕ ЗЛЕМЕНтУ ЯЕЬ).
Поскольку последовательность (хп)'„~ произвольная, нормырованное пространство Ь является банаховым. 1 454 5. РЯДЫ В НОРМИРОВАННЫХ ПРОСТРАНСТВАХ 5.6. Банаховы пространства со счетным базисом В нонечномерном нормированном простпрвнстпве всякая максимальная линейно независимая система является его базисом (1Ч], т.е. всякий элемент нормированного пространства единственным образом можно представить в виде линейной комбинации элементов этого базиса.
Распространение понятия базиса на бесконечномерное нормированное пространство неизбежно приводит к бесконечным (по крайней мере, счетным) системам элементов этого нормированного пространства и к рядам в нем. Определение 5.9. Пусть 1, — бесконечномерное банахово пространство.
Последовательность (еь)ь элементов банахова пространства Ь называют снетпным базисом в Ь, если для любого элемента х Е Ь существует единственный ряд вида ~, хьеы хь Е У, сумма которого равна х: й=1 х = ~~1 хьею й=1 (5.9) Обратим внимание на то, что базис (еь)~ 1 — это не просто множество элементов нормированного пространства Ь, для которого при некотором упорядочивании выполняется свойство (5.9), а последовательность элементов (еь)~' с данным, зафиксированным порядком элементов вней.
Изменение порядка элементов в последовательности (еу,)~~ изменяет последовательность,и приводит к другому базису. Более того, измененная таким образом последовательность может вообще не быть При этом числа х1, хз, ..., хы называют ноординатпами элементпа х банахова нростпранства Ь в базисе (еь)ь а представление (5.9) — разложением элементпа х в р*д но базису (еь)ь б.б. Банаховы пространства со счетным базисом 455 базисом' в Ь. Отметим также, что не во всяком банаховом пространстве существует счетный базис. Примеры будут приведены ниже.
Пусть (еа)~~ — счетный базис банахова пространства Ь. Тогда (еа)ело 1 является линейно неэавпсилеоб спстпемоб, т.е. линейно независимой является всякая конечная подсистема ее элементов. Это следует нз единственности разложения элементов банахова пространства Ь по базису. Действительно, если какая-нибудь конечная подсистема ел„еа„..., ел„элементов базиса (еа)са банахова пространства Ь линейно зависима, то можно найти такие коэффициенты Лп Лт, ..., Л„, одновременно не обращающиеся в нуль, что О = Л1еа, + Лзеае + "+ Л„еа„. В этом случае нулевой элемент банахова пространства будет иметь два разных разложения по базису (еа)я 1 (второе разложение имеет только нулевые коэффициенты).
А это противоречит определению базиса. Отметим, что в отличие от конечномерного линейного пространства, где всякая максимальная линейно независимая система является базисом, в бесконечномерном банаховом пространстве счетная линейно независимая система, вообще говоря, не обязательно является базисом. Действительно, во всяком бесконечномерном банахоаом пространстве всегда существует счетная линейно независимая система, а базис, как отмечалось выше, существует не всегда. Пример 5.13.
Рассмотрим банахово пространство ср, р > 1 (см. пример 5.4), и счетную систему (еа), элементов этого банахова пространства, где еь — последовательность, у которой Й-й член равен единице, а остальные равны нулю, т.е. еа = (О, О, ..., О, 1, О, О, ...). Покажем, что последовательность а-1 (еа)а 1 является базисом в ср. 'Базисы банахова пространства Ь, которые остаются базисами при любой перестановке его членов, называют безусловными базисами.
Известно, что,например, в банаховом пространстве С[а,Ь] безусловных базисов нет. 456 5. РЯДЫ В НОРМИРОВАННЫХ ПРОСТРАНСТВАХ Всякий элемент х Е ср — это чисяовая последовательность (хй), для которой ~ ~хй~Р < оо. При этом норма элемента й=1 1 х задается формулой )ф) = (~ (хй)Р)" Покажем, что х = й=1 = ,'т, хйей. Частпичнал сумма Я„= ~ хйей этого ряда предй=1 й=1 ставляет собой последовательность (хт,хз,...,х„,О,О,...), в ко- торой первые и членов совпадают с первыми п членами по- следовательности х, а остальные равны нулю.
Поэтому по- следовательность х — Я„ имеет вид (О,..., О,х„.тт,х„+з,...) и, следовательно, Поскольку числовой рлд ~ ~х„~Р сходится, то последовав=1 тельность сумм Вч = ~ ~х„+й~р его тт-х остааптков стремится й=1 к нулю при тт -+ оо (см. свойство 1.3). Поэтому Ищ ((х — Я„~~ = 1пп В~тР = О, тт-+со тт-тоо а это означает, что элемент х Е Гр является суммой ряда хйей. й=1 Покажем, что полученное разложение элемента х по системе (ей)йо' 1 единственно. Действительно, пусть существует другой ряд ~ уйей, для которого х = ~; уйей. Тогда ряд ~ гйей, где й=1 й=1 й=1 хй = хт, — Уй, й Е М, схоДитсЯ к нУлевомУ элементУ в ср, т.е.
к последовательности, составленной из одних нулей. Покажем, что все коэффициенты хй ряда равны нулю, нли хй = уй, Й Е 1Ч. Фиксируем некоторый номер тп. Поскольку ряд )„яйей схой=1 дится, для любого в > О можно выбрать такой номер М(е), что б.б. Бапаховы прострааства со счетпым бааисом 457 при и > Ф(с) будем иметь ~~ ~ хйей~~ < с. Иэ равенства О = й=в+1 = Я„+В, где Π— сумма ряда ~; «йей, Яа — его н-я частичная со й=1 сумма, а Ап = ~, хйей — сумма -го остатка, заключаем, й=в+1 что ))Я (~ < с при и > М(с). Но Ув представляет собой последовательность (гм гт,, х„, О, О, ...1, а норма этой последовательности равна Из этого представления находим, что )г ( < (фв)) при н > т.
Выбрав и > щах(тн, М(с)), заключаем, что (х ! < с. Поскольку с > О выбираюсь произвольно, то на самом деле )г,в! = О, а так как и т — произвольно выбранный номер, то все коэффициенты х равны нулю. Банаховы пространства со счетным базисом обладают следующим важным свойством. Теорема 5.11. Банахово пространство со счетным базисом сенарабельно.
< Ограничимся доказательством для случая действительного банахова пространства. Пусть в банаховом пространстве Ь имеется счетный базис (ейск' . Множество М всевозможных линейных комбинаций элементов базиса с рациональными коэффициентами, т.е. множество в М = г е Ь: г = ~ гйей, гй Е Щ Й = 1, н ййп является счетным как счетное объединение счетных множеств. Докажем, что М = Ь, т.е. М всюду нлотпное множество в Ь. Выберем произвольный элемент х Е Ь. Поскольку система (ей1сйо — базис, то имеет место разложение х = ~ хйей, где ййп 458 5.
РЯДЫ В НОРМИРОВАННЫХ ПРОСТРАНСТВАХ хй — координаты элемента х в базисе (ейск' . Из сходимости ряда следует, что 1пп 5х — о„9 = 1пп )~х — ~~т хйей)~ = О. Следовательно, для произвольного е ) 0 можно выбрать такой номер п,что будет выполняться неравенство ))х — ~~т хйей)~ < †. ййп (5.10) Так как множество рациональных чисел Я всюду плотно в И (см. пример 5.9), для каждого числа хй, я = 1, и, можно выбрать рациональное число гй, при котором будет справедливо неравенство 2п~~ей '9 При таком выборе имеем и в тт )~~ хйей — Ятйей~~~ —— ~)~ь (хй — гй)ей(~ ~( ййн ййп ййн а в < тт )хй — гй) )~ей)! < ~~т '9ей)! = тт — = —.
(5.11) 2тт9ей9' 2тт 2' Используя неравенства (5.10) и (5.11), получаем а а и и ~)х — ~~ гйей(~ < ~(х — ~ хйей)(+~~~~ хйей — Я гйе~$ < — + — =е. й=т й=1 й=1 й=1 Таким образом, для любого числа е нашелся такой элемент и г = 2' ,гйею пРинадлежащий множествУ М, что 9х — г8 < е, а й=т это означает, что множество М является всюду плотным в Ь. Следовательно, банахово пространство Ь сепарабельно.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
