IX Власова Е.А. Ряды (1081388), страница 58
Текст из файла (страница 58)
474 5. РЯДЫ В НОРМИРОВАННЫХ ПРОСТРАНСТВАХ Дополнение 5.1. Неравенства Минковского и Гельдера 'Теорема 5.15 (нераеенстпео Гельдера для конечных сумм). Для любых комплексных чисел хь " х~ и уь " у~ произвольных действительных р > 1 и д > 1, удовлетворяющих 1 1 условию — + — = 1, справедливо неравенство Р Я (5.25) ~ Докажем вспомогательное неравенство а" И аЬ( — + —, р ч (5.27) верное для любых а > О, Ь > О, р > 1 и д > 1, для которых 1 1 — + — = 1. В силу того, что функция 1пх в промежутке (О, +со) выпукла вверх, для всяких х > О, у > О и любого а Е (О, 1) верно неравенство 1п(ах+ (1 — а)у) > а1пх+ (1 — а) 1пу.
Пусть а > О, 6 > О, а числа р > 1, у > 1 связаны равенством -+ — = 1. Используем выпуклость логарифма, полагая в не- 1 1 Р Ч равенстве о = 1/р (при этом 1 — а = 1/д), х = ар и у = 6~. В результате получим г1 1 ~ 1 1 1п~-аг+ — ЬЯ) > — 1пал+ — 1пЬЯ = 1па+1п6= 1паЬ. р Ч р ч Поскольку функция 1пх возрастает в области определения, то из записанного неравенства вытекает неравенство (5.27) при Д.о.1. Неравенства Минковского н Генъдера 475 а > О и Ь > О. Справедливость неравенства (5.27) при а = О или Ь = О проверяется непосредственной подстановкой.
Вернемся к неравенству Гельдера. Введем обозначения: 1 1 х= (~/,) ) ~ = (~в е) (52а Если Л = О или 1а = О, то неравенство Гельдера очевидно, так как в этом случае либо х1 = ... — — х„, = О, либо 91 =... = у„, = О. Пусть Л > О и 11 > О. Полагаем а„= —, Ь = —, и=1,т. )хо( )уо! й Тогда, используя неравенство (5.27) для неотрицательных чи- сел а„и 6„, получаем серию неравенств (х„у„! )х„(р )р„)е — ( — + —, о=1,т. Л, РЛР 9де ' Умножая эти неравенства на Лр и суммируя их, а также учитывая (5.28), находим Теорема 5.16 (неравенство Гельдера для рядов).
Пусть действительные числа р > 1 и д > 1 связаны равенством 1 1 оо со -+ — = 1. Если числовые ряды 2 ~х„~Р и 2 )у„)е сходятся, то р ч о=1 о=1 справедливо неравенство (5.29) Д.5.1. Нерввеветвв Миввовекеге в Гельдерв 477 1 1 Полагая — = 1 — —, к первой сумме в правой части неравенства я р (5.31) применим неравенство Гельдера для конечных сумм: т ли ил 1 1 К! .1! .+ий-'< (К~ .Е)'(К! .+и.!"-'и)'= л='и л=1 л=1 1 =ф..е)'ф... е)' Здесь мы использовали тождество (р — 1)и7 = р. Аналогично „, 1 Х.~и.й ..ии.й ' < (К~ий) (Е)" ии~') Учитывая зти неравенства в (5.31), находим 1 К! ° иий < (К! .ииЕ) ф! .й)'и (Я1ий)'). При ) ~ял+ дар = 0 неравенство Минковского очевидно. л=1 ил При ~ ~х„+ у„~е ~ 0 разделим обе части предыдущего неравенл=1 1 ства на ~ ~; ~х„+ Ул~е( е УчитываЯ, что 1 — — = —, пРиходим к 1 1 л=1 я р неравенству (5.30).
~в Теорема 5.18 (нераеенстпео Минноеснозо для рядов). т т Пусть р ) 1. Если ряды ~, ')юл)Р и ~', )ул~е сходятся, то л=1 л=1 справедливо неравенство 1 1 1 ф... е)'.ф..е)'.фи.е)' (иии~ 478 5. РЯДЫ В НОРМИРОВАННЫХ ПРОСТРАНСТВАХ < Доказательство теоремы опирается на неравенство Минковского для конечных сумм. В условиях теоремы для любого натурального т верно неравенство (5.30). Заменяя в правой части этого неравенства частичные суммы рядов Я ~х„~я и иь я=1 ~„~у4" суммами этих рядов, получаем а=1 1 1 1 (Й~" г)' ф*.~)' (Й~..~)' Следовательно, частичные суммы энакоположительного ряда ~ ~х„+ у„~я ограничены в совокупности, а потому этот ряд п=1 сходится (см.
1.4). Переходя в неравенстве (5.30) к пределу при т — ' +оо, получаем неравенство Минковского для рядов. ~ Вопросы и задачи 5.1. Докажите, что в любом нормированном пространстве Ь справедливо неравенство !йхЙ вЂ” )!у(!! ( йх — уй, х,убей. 5.2. Докажите, что если в нормированном пространстве последовательности (х„) и (у„) сходятся по норме к элементам х и у, а числовая последовательность (Л„) сходится к числу Л, то последовательности (х„+ у„) и (Л„у ) сходятся по норме к элементам х + у и Лх. 5.3. Докажите, что если в нормированном пространстве последовательность (х„) сходится по норме к элементу х, то 1пп 8х„() = ))х)). 5.4.
Докажите, что функция 1 I1 ))=(1.) )'), *=( „" .~~1г, Ы1 является нормой в Ж". Вопросы и задачи 5.5. Выясните, сходится ли в нормированном пространстве ПЬ ПОСЛЕДОВатЕЛЬНОСтЬ (Х(")), ГДЕ Х(") = (Х„ )сьо , ЕСЛИ: (а) / 1, Й = 1,п; б) х~" — — —, Й Е 1Ч. () 5.6. Докажите, что следующие функции являются нормами в арифметическом пространстве Ж": 1 ) )) )! = (1 1 ) ~) ) б~ 1) )) = ~Ы1 Ь=Ь Ь=Ь г) ]х(1)]сМ+ шах ]х (1)[; ЬЕ[а,Ь] а в) шах ]х'($)]; ЬЕ[а, Ь] д) ]х(Ь) — х(а)]+ шах ]х~(1)].
ЬЕ[а, Ь] 5.8. Докажите, что линейные пространства ср, п~, С[а,6] являются бесконечномерными. 5.9. Докажите, что любое конечномерное линейное многообразие нормированного пространства является его подпространством. 5.10. Выясните, являются ли подпространствами нормированного пространства С[0,1] множества следующих функций: а) монотонные функции; б) четные функции; в) многочлены степени не вьппе Й; г) непрерывно дифференцируемые функции; 5.7. Выясните, являются ли заданные функции нормами в линейном пространстве непрерывно дифференцируемых на отрезке [а, Ь] функций, и если да, то определите, является ли соответствующее нормированное пространство банаховым: а) шах ]х(с)]; б) ]х(а)]+ шах ]х'(Ф)[; ФЕ]а,Ь] ЬЕ[а,Ь] 480 в.
РЯДЫ В нОРмиРОВАнных пРОстРАнстВАх д) функции х(1), удовлетворяющие условию х(0) = 0; 1 е) функции х(г), удовлетворяющие условию х(г) й = О. -1 5.11. Докажите, что любая фундаментальная последовательность метрического пространства ограничена. 5.12.
Докажите, что нормированные пространства т и Кр являются полными. 5.13, Пусть 2 хп и ~; уп — ряды в нормированном проп=1 п=1 странстве Ь, а злементы х Е Ь и у Е Ь вЂ” их суммы. Докажите, что ~~) (Хп+уп) =Х+у, '~~1 (ЛХп) =ЛХ, ЛЕВ (ЛЕС). п=1 5.14. Докажите, что если ряды ~; хп и ~; уп в нормироп=1 п=1 ванном пространстве Ь абсолютно сходятся, то для любых гг и 11 РЯД 2 (ггхп + ~ЗУп) также схоДитсЯ абсолютно. п=1 5.15. Докажите, что в подпространстве С*[ — гг, я] нормированного пространства С[-х,х], которое состоит из функций х(г), удовлетворяющих условию х(-х) = х(я), система 1, совх, сов2х, ..., совггх, не является замкнутой.
5.16. Докажите, что в подпространстве нормированного пространства С[О,я/2], состоящем из тех функций х(г), которые удовлетворяют условию х(0) = О, система япх, вгпЗх, ... яп(2гг+ 1), ... замкнута. 6. ОРТОНОРМИРОВАННЫЕ СИСТЕМЫ В ГИЛЬБЕРТОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ Гильбертовы пространства, представляющие собой частный случай банаховых пространств, гармонично сочетают в себе характеристики как банаховых, так и евнлидовых пространств. Это дает ряд замечательных свойств, выделяющих их и из банаховых, и из евклидовых пространств. Гильбертовы пространства составляют наиболее распространенный и широко используемый в приложениях класс беснонечномерных линейных пространств.
6.1. Гнльбертовы пространства Ранее (см. 3.1) были рассмотрены бесконечномерные евклидовы пространства и некоторые их свойства. Введение в евклидовом пространстве евклидовой нормы превращает его в нормированное пространство. Тем самьпи на евклидовы пространства распространяется все, что было сказано о нормированных пространствах. В частности, можно говорить о полном евнлидовом просхпранстве, которое (относительно евклидовой нормы) является полным нормированным, или банаховым, пространством. В дальнейшем, говоря об евклидовых пространствах как о нормированных пространствах, мы будем иметь в виду норму, индуцированную скалярным произведением.
Отметим, что наряду с евклидовыми пространствами,т.е. действительными линейными пространствами со скалярным умножением, можно рассматривать и комплексные линейные пространства со скалярным умножением, которые называют 482 б. ОРТОНОРМИРОВАННЫЕ СИСТЕМЫ уннтпарнымн простпранстпвалти. В унитарном пространстве У скалярное умножение (х, у) удовлетворяет тем же аксиомам, что и в евклидовом пространстве, за исключением аксиомы коммутативности, которая заменяется следующей: (х,у)=(у,х), х,убей. Определение 6.1. Бесконечномерное полное евклидово (унитарное) пространство называют действительным (комплексным) еилъбертповылл простпранстпвом' Другими словами, гильбертово пространство — это бесконечномерное банахово пространство, норма в котором индуцирована скалярным умножением. Приведем пример гильбертова пространства. (х,у)=,'» хну' (6.1) о=1 Это определение корректно, поскольку числовой ряд 2 х„у„ о=1 сходно»ся, причем абсолютна.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
