IX Власова Е.А. Ряды (1081388), страница 65
Текст из файла (страница 65)
РЯДЫ ПО ОРТОГОНАЛЬНЫМ СИСТЕМАМ В Ьт(а,Ь) вида. В связи с этим возникает необходимость в развитой теории измерения таких множеств, так как в интегральных суммах длины смежных отрезков в случае интеграла Римана становятся мерами множеств разбиения в случае интеграла Лебега. 7.1. Мера Лебега На числовой прямой меру можно вводить множеством способов.
Мы определим одну из возможных мер — меру Лебега. Эта мера обобщает понятие длины отрезка. Поэтому естественно назвать мерой Лебега отрезка его длину. Более того, назовем мерой Лебега произвольного конечного промежутка с концами а и Ь длину этого промежутка, т.е. число 6 — а: т([а, Ь]) = т[(а, Ь)) = т([а, Ь)) = т[(а Ь]) = Ь вЂ” а. Отметим, что в этом случае мера любой точки (точнее, множества, состоящего из одной точки) равна нулю, поскольку точку можно рассматривать как отрезок с совпадающими концами. Также естественно считать равной нулю меру пустого множества. Введем для всех промежутков с концами в точках а и 6, т.е. для отрезка [а, Ь], интервала (а, 6) и полуинтервалов [а, Ь) и (а, 6], общее обозначение (а, Ь). Для промежутка а = (а, 6) имеем т(а) = т((а, 6)) = 6 — а.
Можно доказать, что мера Лебега на множестве промежутков обладает счетной полуаддитпиеностпью: (с, д) с Ц (а„, Ь„) ~ т((с, д)) ~ () т((а„, 6„), (и) (о) где объединение и сумма берутся либо по конечному набору индексов п = 1, я, либо по счетному набору и = 1, 2, ... 525 7Л. Мера Лебега Рассмотрим произвольное множество Е С К.
Конечное или счетное множество промежутков' ап = (а„,б„) назовем снстемой промежутков, накрывающей множество Е, если Е С Ц ао. (п) Для всякого ограниченного множества Е С К всегда существует хотя бы одна накрывающая его система промежутков. Такая система может состоять, например, иэ одного отрезка Ь = [ао, бо]. Сумма длин промежутков 2',т(сеп) каждой па(п) крывающей Е системы (свп) есть величина неотрицательная (она равна неотрицательному числу, или +оо). Следовательно, непустое множество всех возможных значений таких сумм, соответствующих различным системам промежутков, накрывающим данное множество Е, ограничено снизу и потому имеет конечную точную нижнюю грань. Эту точную нижнюю грань, зависящую только от множества Е, называют внелмней мерой множества Е и обозначают т*(Е): т'(Е) = 1пЕ ~ т(слп).
(оп„)эЕ ( Внутренней мерой т,(Е) ограниченного множества Е С С К называют разность между длиной отрезка Ь = [ао, бб[, накрывающего Е, и внешней мерой дополнения к Е в Ь, т.е. т,(Е) =т(Ь) — т*(Ь~Е), Е с Ь. Нетрудно показать, что значение внутренней меры не зависит от выбора накрывающего отрезка ьь. Рассмотрим некоторые свойства внешней и внутренней мер. 'Для удобства дальнейшего изложения будем допускать,что в системе могут быть пустые промежутки вида (о, о). 526 7, РЯДЫ НО ОРТОГОНАЛЬНЫМ СИСТЕМАМ В Ьг(а,Ь~ 1' Внешняя и внутренняя меры неотрицательны: т'(Е) >О, гп,(Е) >О, ЕС К.
< Так как сумма длин произвольной системы промежутков, накрывающей Е, является неотрицательной, то и точная нижняя грань сумм длин по всем таким системам — внешняя мера множества Š— неотрицательна. Пусть отрезок б накрывает множество Е. Тогда система из одного отрезка Ь является накрывающей для множества Ь ~ Е. Следовательно, согласно определению внешней меры, т'(Ь ~ Е) < гп(Ь), откуда в силу определения внутренней меры тп,(Е) = гп(О) — т*(Ь ) Е) > О. )~ 2' Внутренняя мера любого ограниченного множества Е С К не превышает его внешнюю меру: т,Е < т'Е.
< Пусть отрезок Ь накрывает множество Е. Так как по определению т, (Е) = т(Ь) — т х (Ь ~ Е), доказываемое неравенство эквивалентно следующему: т*(Е)+т'(Ь~Е) > гп(Ь). Пусть е > Π— произвольное число. Выберем такую систему (о„) промежутков, накрывающую Е, что ~т(а„) < т'Е+е. (и) Это возможно, так как по определению верхняя мера множества есть точная нижняя грань таких сумм. Выберем также систему (,0„) промежутков, накрывающую множество Ь ~ Е, для которой гп(ф„) < т'(О ~ Е) + е. (п) Тогда гп(ох) + ~~) гп(фх) < гп'Е+ гп'(Ь ),Е) + 2е. (7.1) (х) (х) 527 7.1. Мера Дебега Поскольку Ь = Е О (Ь '1 Е) С (Ц а„) ()(Ц Д,), то в силу свой() () ства счетной полуаддитивности меры Лебега на множестве промежутков имеем В результате из неравенства (7А) получаем т(Ь) < т'(Е)+т*(Ь~Е)+2е.
Так как е — произвольное положительное число, то последнее неравенство верно для любого е ) О только при т(Ь) < т'(Е) + + т" (Ь ~ Е). а. 3' Внешняя н внутренняя меры обладают следующим свойством монотпонности: если Е1 С Ез, где Е1 и Ез — произвольные ограниченные множества в )к, то т,Е1 < т,Ез и т*Е1 < т*Ез. < Докажем монотонность внешней меры. Любая система промежутков, накрывающая множество Ез, накрывает и множество Еп Это значит, что множество А сумм длин промежутков для всех систем, накрывающих Е1 включает в себя множество В сумм длин промежутков для всех систем, накрывающих Ез, т.е. А Э В.
Следовательно, т'(Е1) = шГА < 1п1 В = т'(Ез). Пусть отрезок Ь накрывает множество Ез. Тогда он накрывает и множество Ем причем (Ь '1 Ез) С (Ь '1 Е1). Согласно доказанному свойству монотонности внешней меры, имеем т*(Ь ~Ез) < т'(Ь')Е1). Отсюда получаем монотонность внутренней меры: т,(Е1) =т(Ь) — т" (Ь~Е1) <т(Ь) — т'(Ь~Ез) =т,(Ее). ° 528 7. РЯДЫ ПО ОРТОГОНАЛЬНЫМ СИСТЕМАМ В И(а,й) 4' Внешняя мера обладает свойством полуаддитиено- сти: Е С Ц Е„=~ т*(Е) < 7 т*(Е„). а=1 ~ Пусть е > Π— произвольное число.
Для каждого множества Е„, и = 1, )с, выберем систему (о ) промежутков, накрываю(и) щую Е„, для которой 7 т(о1 ) < т" (Е„) + —. 1О Тогда объединение этих систем накрывает множество Ц Ей, а значит, и множество Е. Поэтому й й т*(Е) < ~~ 7 т(а, ) < 7 т'(Е„)+е.
п=1 11) и=1 Так как е > Π— произвольное число, заключаем, что й т*(Е) < ~~1 т'(Е„). п=1 5' Если ограниченное множество Е С К является объединением конечного числа попарно не пересекающихся промей жуткое, т.е. Е = () Е„, где Е„= (а„, Ь„), то его внешняя и внутренняя меры совпадают и равны сумме длин промежутков, составляющих это множество: й й т*(Е) =т,(Е) = ~ Е„=~~) (6„— а„). а=1 я=1 ~ Совокупность промежутков Е„ представляет собой систему промежутков, накрывающих Е.
Поэтому, согласно определению внешней меры множества, имеем й т*(Е) < ~~1 Е„. п=1 529 7.1. Мера Лебега Докажем, что на самом деле это неравенство является равенством. Выберем произвольную систему (аД промежутков, накрывающих множество Е. Для каждой пары индексов 1 и п положим а," = а~ПЕ„. Тогда (в) Ц а, — Ц а~ПЕ„= (Ц а~) ПЕ„=Е„, т(а( )) < т(щ). и=1 Комбинируя неравенства (7.2) и (7.3), заключаем, что (7.3) > (Е„)<~) ~ ( ( ~)=~ ) ( ( ~)<~т( ). (~) в=1 (О 11=1 (~) Поскольку полученное неравенство верно для любой системы (аД, накрывающей Е, а точная нижняя грань — это наиболь- шая нижняя грань, то ~т(Е„) < т'(Е).
Итак, мы доказали, что внешняя мера множества Е равна сумме длин составляющих его промежутков. Так как Е ограничено, существует отрезок Ь, включающий в себя Е: Е с Ь. О) 0) И) т.е. для фиксированного и система промежутков а накрыва(и) ет промежуток Е„. Согласно свойству счетной полуаддитивности меры на системе промежутков, имеем т(Е„) < ~т(а)"~), и = 1, й. (7.
2) О) При фиксированном 1 промежутки а,, и = 1, /с, попарно (в) не пересекаются, так как а, С Е„,,п = 1, й, и Е„, ПЕ„, = Я (а) при п1 ~ пз. Все эти промежутки содержатся в промежутке аь Поэтому 530 7. РЯДЫ ПО ОРТОГОНАЛЬНЫМ СИСТЕМАМ В Ь2~а,6) Множество Ь ~ Е представляет собой конечное объединение промежутков, а потому его внешняя мера равна сумме длин составляющих его промежутков. Но сумма длин промежутков, составляющих Е, и длин промежутков, составляющих Ь ~ Е, равна длине отрезка Ь.
Отсюда следует, что внутренняя мера множества Е равна сумме длин промежутков Е„, составляющих Е. ~ Из последнего свойства вытекает, что внешняя и внутренняя меры промежутка совпадают с его длиной, или мерой Лебега. Понятие меры обобщает понятие длины промежутка и ассоциируется с такими понятиями, как площадь, объем. Поэтому мера должна обладать свойством аддитивности: при объединении непересекающихся множеств их меры должны складываться. С помощью установленных свойств внутренней и внешней мер можно показать, что внешняя мера (как и внутренняя) обладает свойством аддитивности в классе множеств, являющихся объединением конечного числа промежутков. Однако это свойство теряется, если внешнюю меру использовать для произвольных множеств. Возникает задача: выявить класс множеств, в котором сохраняется свойство аддитивности, но при этом этот класс множеств должен быть максимально широким.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
