IX Власова Е.А. Ряды (1081388), страница 69
Текст из файла (страница 69)
1 Ь„= — (,Г(х)вшпхдх, п =1, 2, ... -л (7.9) а остальные коэффициенты с„и с„— по формулам О) Р) л сО) = (Г, ) = — ( Г(х)совпхдх, пб1Ч; совпх~ 1 Г ' л ),г-1 с~ ) = ~Г, — 1 = — Г(х)вшпхдх, и Е )Ч. Отметим, что равенство функции Г(х) сумме своего ряда Фурье — равенство (7.8) — следует понимать как равенство элементов в гильбертовом пространстве Г э[ — к, к]. Кроме того, сходимость ряда в правой части равенства (7.8) к своеи сумме также нужно понимать не в смысле поточечной сходимости функционального ряда, а в смысле сходимости в гильбертовом пространстве Гэ[-к,я], т.е. в среднем квадратичном: л к г /' се г О) совпх <э) в)ппх~ 1пп / Г(х) — — -~~г ~с„— +с„— ) дх=О. 553 У.б.
Хригоиометричесиаа система При этом равенство (7.9) и сходимость ряда в правой его части по-прежнему следует понимать не в смысле поточечного равенства и поточечной сходимости, а в смысле равенства элементов в Ь2[ — я, и] и сходимостн ряда в среднем квадратичном. Поскольку тригонометрическая система (7.7) является ортонормированным базисом в Ь|[-к,к], то для всякои функции 1 (х) Е 1 х[ — к,к] выполняется равенство Парсевалл: которое, используя коэффициенты а„и Ь„и вид нормы [[Д в 72[ — я,я], можно переписать так: Верно и обратное утверждение: если действительные числа ао, а„, Ь„, п Е р1, таковы, что ряд ), (а~ + 5~) сходится, то, согласно о=1 теореме Рисса — Фишера, тригонометрический рлд ао — + ~ а„сов пх+ Ь„в1ппх и=1 (7.10) сходип1сл ио корме в 7х[ — к,к] к некоторой функции 1(х) этого гильбертова пространства, причем ряд Фурье функции У(х) по тригонометрической системе (7.7) будет совпадать с этим тригонометрическим рядом.
Можно показать, что из сходимости в среднем квадратичном следует сходимостаь в среднем. Поэтому для любой функции 1 Е 71[-я,я] ее ряд Фурье сходится к функции 1(х) не только в среднем квадратичном, но и в среднем. Несмотря на то что нормированное пространство Ь1[ — к,я] не является линейным пространством со скалярным умножением (в том 554 7. РЯДЫ ПО ОРТОГОНАЛЬНЫМ СИСТЕМАМ В Ьл[о,ь) смысле, что норма в л'1[-я,я] не индуцируется никаким скалярным умножением), тригонометрический ряд вида (7.10) для любой функции из Ь1[ — я,я] формально составить можно, поскольку все интегралы Лебега, используемые при вычислении коэффициентов а„и Ьв, существуют.
Однако утверждать, что ряд Фурье по тригонометрической системе (7.7) для любой функции из Ь1[ — я,я] будет сходиться в 11[ †,я] к ней самой уже нельзя. Это показывает следующее утверждение. Теорема 7.9*. Тригонометрическая система (7.7) не является базисом в л" 1[ — я,я].
Таким образом, формально составленные ряды Фурье функций из Ь1 [ — я, и] могут и не сходиться к раскладываемой функции в ь1[ — я,я]. Более того, существуют функции из ьг[ — я,к], ряды Фурье которых расходятся почти всюду на [ — я, в]. Первый пример такого рода был построен в 1923 г. А.Н. Колмогоровым**, когда ему не было еще и двадцати лет.
В его примере частичные суммы ряда являются почти всюду неограниченными. Позднее И. Марцинкевич построил суммируемую функцию, ряд Фурье которой расходится почти всюду на [ — я, я], а частичные суммы ограничены. Обратимся теперь к проблеме сходимости рядов Фурье от непрерывных функций. Ранее мы отмечали, что тригонометрическая система (7.7) не является базисом в С[-я,я]. Теоремы 3.17, 3.18 (признан Дирихяе), 3.19 (признан Дини) и 3.20 (признан Жордана) дают лишь достаточные признаки сходи- мости ряда Фурье непрерывной функции, удовлетворяющей дополнительным условиям типа дифференцируемости или ограниченного изменения.
Если на непрерывные функции не накладывать дополнительные ограничения, то, вообще говоря, нет оснований полагать, что ряды Фурье этих функций будут схо- Доказательство смл Кошин В.С., Саеклн А.А. * Колмогоров Андрей Николаевич (1903 — 1987) — выдающийся руссквй математик. 555 7.7. Много члены Лежандра диться.
И действительно, в 1873 г. П. Дюбуа-Реймон установил, что существуют непрерывные в точке функции, ряды Фурье которьпс в этой точке расходятся. Вплоть до 1966 г. не было известно, сходится ли ряд Фурье каждой непрерывной функции хотя бы в одной точке. Эта проблема была решена в 1966 г., когда Л. Карлесон доказал следующую теорему.
Теорема 7.10 (гпеорема Карлесона). Для любых действительных чисел ав, а„, Ь„, и Е М, таких, что ряд ~ (аг +Ьг,) сходится, тригонометрический ряд ао — + ~ а„сов пх + Ь„вш пх в=1 сходится почти всюду на отрезке [ — н, н]. Из теоремы Карлесона следует, что ряды Фурье (7.10) по тригонометрической системе (7.7) сходятся почти всюду на отрезке [ — н, з) для всякой функции из Ьг[-н,н), и в частности для всякой непрерывной функции.
7.7. Многочлены Лежандра Наряду с тригопометричесггой часто используют и другую систему элементарных функций — систему многочленов. Построим, например, базас еильбергпова пространства Ьг[-1,1), состоящий из многочленов. Для этого рассмотрим последовательность одночленов 1, х, хг, ..., х", как систему элементов гильбертова пространства г:г[ — 1, 1]. Линейной оболочкой этой системы является мпозгсество всех многочленов, которое по теореме 7.7 всюду плотно в Хг[ — 1,1].
Это значит, что система одночленов (хь)г, в является замкнутой сасгпемой в г.г[-1,1]. Однако замкнутая система может и не быть базисом в гильбертовом пространстве. 556 7. РЯДЫ ПО ОРТОГОНАЛЬНЫМ СИСТЕМАМ В Ь2(в,ь! Теорема 7.11. Система одночленов (х")~~~ в не является базисом в гильбертовом пространстве Ьг[ — 1, Ц. у(х) = ~~» сьх, /с=в (7.11) причем сходимость ряда здесь необходимо понимать ио норме гильбертова пространства Ьг[ — 1, Ц, т.е. в среднем квадратичном. Это значит, что последовательность частичных сумм о„= ~; сьх" в сРеДнем кваДРатичном схоДитсЯ к фУнкЦии 1 (х): в=в -+ О, н-++ос.
Из сходимости последовательности в среднем квадратичном следует сходимость этой последовательности в среднем. По- этому 1 в $$~ — 5„$$»,=1!с ~ — г ~ ь ы* О, <- . (7.12) -1 в=в Согласно свойствам интеграла Лебега, функция у(х), срммируемав с квадратом на [ — 1, Ц, является суммируемой на [ — 1, Ц и, следовательно, является суммируемой на любом измеримом подмножестве отрезка [-1, Ц. В частности, на любом отрезке [а, 11] С [-1, Ц существует конечный интеграл Лебега от функции у (х). Введем интеграл Лебега с переменным верх- ~ Пусть |(х) — произвольная функция из Ьг[ — 1, Ц.
Если предположить, что система (х" ф является базисом в 1з[ — 1,Ц, то функция »'(х) должна иметь единственное разложение в рлд по этой системе, т.е. 557 7.7. Много иены Лежандра ним пределом, полагая 7'(х) дх = (з.) 7'(х) дх о [О,з[ при в > О и 7'(х) Нх = — (Ь) У(х) дх 0 [з,О] при в < О. Рассмотрим функцию Г(в) = Дх) дх, в Е [-1, 1] 0 и функциональную последоватпельноспзь (Р„(в))'„1 с общим членом з з|<-1 (з ~.')з....~-~,ч, Ь=О где коэффициенты сь те же, что и в равенстве (7.11). Докажем, что если для функции 7'(х) верно разложение (7.11), то функциональная последовательность (Г„(е)) сходится поточечно на отрезке [ — 1,1] к функции г'(в).
Действительно, используя свойства интеграла Лебега и сходимость (7.12), для всех в Е [ — 1, 1] получаем в з т.~-з01 ~[['К Л) .-~Л.1 ~[< О о з Я 1 зз < [) [а,~ — 1'~ "з* <) [11Л вЂ” 1,з ' з* о о я=о -1 О=о при и -ь со, откуда и следует поточечная сходимость последовательности (г'„(в)1. Из этой сходимости с учетом линейных 558 7.
РЯДЫ ПО ОРТОГОНАЛЬНЫМ СИСТЕМАМ В Ьр(а,6) свойств интеграла Лебега и его связи с интеералом Римана при вЕ[ — 1,Ц имеем и в Г(,)= ц )('~ и,с)Л= Г ~()~,'а,)= 6=о =~У.'") =~ 6=О я=о Таким образом, если система одночленов (х" )~~' является базисом в Ьг[ — 1, Ц, то для всякой функции 7' е Ьз[ — 1, Ц построенную по ней функцию Г(в) на отрезке [ — 1, Ц можно представить степенным рядом, сходящимся к Р(в) поточечно на этом отрезке.
Но тогда функция Р(в) является действительной аналитической функцией на отрезке [-1, Ц и, в частности, бесконечно ди44еренцируемой в интервале ( — 1, 1) (см. теорему 2.19). Однако можно привести примеры функций иэ Ь|[ — 1, Ц, для которых функция Р(в) не будет аналитической на отрезке [-1, Ц.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
