IX Власова Е.А. Ряды (1081388), страница 73
Текст из файла (страница 73)
Рассмотрим теперь банахово просшрансгпво Х г[0, Ц суммируеммх на отрезке [О, Ц Функций. Хотя Х1[0, Ц и не является гильбертовым пространством, но формально составить ряды Фурье по системе Хаара можно для любой суммируемой функции ~р(х) Е Х г[0, Ц, поскольку все интегралы Лебега для вычисления соответствующих коэффициентов Фурье существуют в силу суммируемости со(х) Е Х1 [О, Ц и ограниченности (а значит, и суммируемости) любой функции Хв(х) системы Хаара. Напомним, что аналогичная операция формального распространения рядов Фурье по шригономешричесной сисшеме (7.7) с функций из Хг[ — и,и] на функции из Хг[ — и,и) не дает ничего хорошего, так как тригонометрическая система (7.7) не является базисом в Х1[ — и,и] (см.
теорему 7.9). Ряд Фурье функции из Хг[-и,и) по тригонометрической системе (7.7) может не сходиться к функции в банаховом пространстве Х г [-и,и] (т.е. в среднем). Более того, этот ряд может расходишься почти всюду на [ — и,и]. В отличие от тригонометрической системы (7.7) система Хаара обладает следующими замечательными свойствами. Теорема 7.17'. Система Хаара является счетным базисом банахова пространства Хг[О,Ц. Для любой суммируемой на [О, Ц функции гр(х) Е Хг[О,Ц ее ряд Фурье по системе Хаара сходится в среднем на [О, Ц к самой функции ~р(х). Теорема 7.18.
Ряд Фурье по системе Хаара любой суммируемой на [О, Ц функции у(х) Е Х1[0, Ц сходится к функции <р(х) почти всюду на [О, Ц. 'Доказательства этой и следующих двух теорем смс Кашин Б.С., Саакян А.А. 588 7. РЯДЫ ПО ОРТОГОНАЛЬНЫМ СИСТЕМАМ В Ьг(а,'0] Теорема Т.19. Ряд Фурье по системе Хаара любой непрерывной на [О, Ц функции ~р(х) Е С[0, Ц равномерно на [О, Ц сходится к функции ~р(х).
ф Заметим, что равномерная сходимость на отрезке [О, Ц совпадает со сходимос7яью по норме в банаховом пространстве С[0, Ц непрерьпоных на отрезке [О, Ц функций. Позтому данное утверждение можно было бы считать утверждением о том, что система Хаара является базисом банахова пространства С[0, Ц. Но функции системы Хаара разрывны, и позтому система Хаара не может рассматриваться как базис в С[0, Ц. В заключение отметим, что, проинтегрировав функции системы Хаара у„(х) = Х„(1)й, хЕ [О, Ц, п=0,1, ..., о получим с точностью до постоянного множителя функции системы Фабера — Шаудера.
Напомним, что система Фабера— Шаудера является базисом в банаховом пространстве С[0, Ц непрерывных на отрезке [О, Ц функций. Система Фабера — Шаудера, если ее рассматривать как систему элементов в гильбертовом пространстве 1з[О,Ц, не является ортонормированной системой. Однако она является линейно независимой, и к ней можно применить процесс ортогонализации.
В результате получим некоторую полную ортонормированную систему (базис) в Аз[0, Ц, которую называют системой Фраюслина. Система Франклина состоит из непрерывных функций и обладает теми же свойствами, что и система Хаара: является базисом в Ь1[0, Ц, всякий ряд Фурье по системе Франклина для функции из 11[0, Ц сходится к ней почти всюду на [О, Ц. Кроме того, система Франклина является базисом в нормированном пространстве С[0, Ц, поскольку состоит из непрерывных функций. Эта система была построе- 589 7ЛО. Системы Радемахера и уаипа на Ф.
Франклином в 1928 г. Исторически она является первым примером ортонормированного (в Ьг[0,1]) базиса в линейном пространстве непрерывных функций. 7.10. Системы Радемахерн и Уолша Система Хаара, обладая рядом замечательных свойств, обладает и существенным с точки зрения некоторых приложений недостатком — ее функции, будучи ограниченными в отдельности, в совокупности неограниченно растут (не являются равномерно ограниченными).
Кроме того, для многих приложений (вычислительной математики, теории кодирования, цифровой обработки сигналов и т. д.) важным требованием является простота (т.е. конечность множества значений) функций ортонормированных састем.
В этом параграфе познакомимся с двумя системами функций в гильбертовом пространстве Ьг[0, 1], свободными от указанного недостатка и обладающими указанным достоинством. Первая из этих систем — систпема Радемахера — строится на основе системы Хаара )( (х) путем сложения и норми(а) рования функций Хаара с одинаковыми нижними индексами: то(х) Хо (х) (о) 71(х) =)(р (х); (1) (7.28) г т +1(х) = 1) )(" (х), тЕ1Ч, а=1 где х Е (О, 1). Поскольку для функций гильбертова пространства Хг[0,1] не существенно, как они определены в любом конечном числе точек,то для определенности положим т (0) = т (1) = О, тп = О, 1, 2, 590 Т. РЯДЫ ПО ОРТОГОНАЛЬНЫМ СИСТЕМАМ В Ьг(о,'о) Нетрудно видеть, что определенные таким образом функции системы Радемахера гт(х) с номерами т > 1 имеют вид 2 2я-1~ — ), Й=1,2т ~; 1 2яь ,— ), 1=1,2'" ~; гт(х) = я = О, 2"', х=— 2"" т.е.
на интервалах вида ((я — 1)/2'", х/2 ) попеременно прини- мают значения +1 и — 1, а во всех точках разрыва равны нулю. Все функции Радемахера, в том числе и функцию го(х), можно задать одной компактной формулой: г (х) = здп(вт2тях), х Е [О, 1], т = 0,1,2, где 1, и ) 0; а8п(и) = О, и=О; -1, и(0. Система функций (г (х)),„е была построена Г Радемахером в 1922 г.
Выясним свойства системы Радемахера. Во-первых, в силу равенств (7.28), выражающих функции Радемахера через функции Хаара, из ортогоиальности системы Хаара следует ортогональность системы Радемахера, так как скалярное произведение функций Радемахера с различными номерами есть конечная сумма скалярньпс произведений функций Хаара с различными номерами. Во-вторых, поскольку г~„(х) = 1 почти всюду на [О, 1] для всех номеров т, то функции Радемахера в Аз[0, 1] имеют нормы, равные 1. Таким образом, система Радемахера является ортонормированной. Однако система Радемахера не является полной системой и, следовательно, не является базисом в Аз[0, 1].
В самом деле, 592 7. РЯДЫ ПО ОРТОГОНАЛЬНЫМ СИСТЕМАМ В Ье(о,'о] Так как система Хаара (Хт (х)) ортонормирована, то в силу (й) теорея»ы Рисса — Фишера ряд Фурье 2 т) с„, т (х) по си(й) (й) п1=1й=1 стеме Хаара сходится в гияабертовом пространстве Аз[0, Ц к некоторой функции 7'(х) Е Ьэ[0, Ц. Согласно теореме 7.18, этот ряд сходится к 7(х) почти всюду на [О, Ц. Но, учитывая представление (7.28) функций системы Радемахера через функцви системы Хаара, для всех точек х е [О, Ц, в которых сходится ряд ~ ~, с„, )(т (х), т.е.
почти всюду на [О, Ц, имеем (й) (й) 1п=1 й=1 со Зт 7" (х) = ~~» ~~» ст))(т(")(х) = ~ — ~» )(1")(х) = 7 с г„,Х)). п»=1 й=1 т=1 »~ й=1 п1=1 Следовательно, ряд по системе Радемахера 2„с г„,(х) также т=1 сходится почти всюду на отрезке [О, Ц. )а Сходнмость ряда 2, сзт из квадратов коэффициентов являп1=1 ется критерием сходимости ряда по системе Радемахера почти всюду на [О, Ц, т.е. при нарушении этого критерия ряд по системе Радемахера уже не будет почти всюду сходящимся. Более того, в отличие от рядов по системе Хаара, для рядов по системе Радемахера верно следующее утверждение. Теорема 7.21'.
Если числовой ряд 2; ст расходится, оо т=1 то ряд 2, с гт(х) по системе Радемвхера расходится почти т=1 всюду на отрезке [О, Ц. С помощью функций системы Радемахера можно построить еще одну ортонормированную систему в Аз[0, Ц, о которой шла речь в начале параграфа. 'Докаэательстао см., например: Аяекснк Г. 594 У. РЯДЫ ПО ОРТОГОНАЛЬНЫМ СИСТЕМАМ Е йа(о,ь) квадрат любой функции Радемахера равен единице почти всюду на [О, 1]. Оставшиеся функции в произведении переставим таким образом, чтобы их номера возрастали. В итоге получим ",.
(х) ",. (*))(;,. (х) —;,. (.)) = (". = г, (х) т;, (х) ... т;„(х), где 1 ( (у1 < уз « ... уь, и равенство выполняется почти всюду на отрезке [О, 1]. В соответствии с определением функций системы Радемахера произведение функций Радемахера с меньшими номерами г,(х)т (х)" т „,(х) является кусочно постноянной функцией со значениями Л =л1 или Л = — 1, каждый ее интервал постомерам на четное число интервалов равнои длины, на которых ф нкция т (х) попеременно принимает значения +1 и -1.
Поэтому для любого интервала .Е; = (а;, 6;) постоянства функции т, (х) т, (х)... г., (х) вмеем Е; (л( ) „( )...,;,,(о)...(,н,=л|,,;ь)~=0. Ел равенства по всем интервалам постоянства Просуммировав эти р Е; = (а,, 6,), получим | т,(х) т,(х)... г,(х) Нх = о = Е|(; ь) ъ(.>...;.,(.~).„(.>а = 0. (О Е. Следовательно, для всех п ф 1 1 1 (ил„, иц) = ш„(х)ил(х)слх = т;,(х)т,(х)...г,(х)йх = О.
О 0 595 7.10. Системы Радемахераи Уеаша Поскольку квадрат любой функции Радемахера равен единице почти всюду на [О, 1], то ю„(х) = т„,+1(х) т„,+.,(х) т +~(х) = 1 почти всюду на [О, 1]. Значит, для всех п= О, 1,2, Итак, система Уолша (ее„(х))„'е е является ортонормированной системой функций в Аз[0,1]. Как нетрудно заметить, система Радемахера является подмножеством и подпоследовательностью системы Уолша, а именно т,„+1(х)=ю, (х), хб[О,Ц, т=0,1,2, Однако, в отличие от системы Радемахера, система Уолша полна.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
