IX Власова Е.А. Ряды (1081388), страница 72
Текст из файла (страница 72)
РЯДЫ ПО ОРТОГОНАЛЬНЫМ СИСТЕМАМ Н Ь|~а,Ь] 1 ]] 1 ЦТо(х)Цг Ц соя гггЦг с„= с~=2" с„, пЕМ, ]]Т~~ (х) Ц з (7.23) где Ц Ц, и Ц Ц, — нормы в гильбертовых пространствах Аз[О,з.] и Ьз([-1,1],1/Л вЂ” хз). Докажем соотношения (7.23). Пусть функция / Е Ь|[[ — 1,1],1/Я вЂ” х~) интегрируема по Риману. Тогда для нулевых коэффициентов Фурье имеем /( ) х = сов г, се = — / г(х= 8Е [О,я], дх = — гйпИ1, = — / /(соз1)Ж = се. 1 Г о Для остальных коэффициентов также используем замену пере- менного.
В результате для всех гг Е гч имеем 1 -1 2" / /(х) соя(пагссозх) л:-и -1 2" Г = — ~ /(соз1) соя п1 г11 = 2" г с„. О х = соя й, 1 Е [О, я], г1х = - з1п И1 т.е. неотрицательная функция г/д(г) = /~(соя г) интегрируема по Риману в несобственном смысле, а потому ф(1) Е Бр[О,гг]. Теперь покажем, что при отображении /(х) -+ /(соя ~) коэффициенты с„Фурье функции /(х) по системе (Т„(х)) и коэффициенты с„Фурье функции ф(1) = /(соз1) по системе (созп1) связаны соотношениями (6.21).
Это и будет означать, что такое отображение является естественным изоморфизмом гильбертовых пространств. Нормы многочленов Чебышева вычисляются по формулам (7.20) и (7.21). Нормы функций созп1 Е Аз[0>к] таковы: ЦЦ] = = ~/я, Ц сояпйЦ = ~/я/2, и Е 1Ч. Поэтому необходимо доказать, что 579 7.а Система Хаара Отображение /(х) -+ /(сов1) является естественным изоморфизмом гильбертовых пространств Ьэ([ — 1,1], 1/~/à — хз) и Ьэ[О,к] с ортогонвльными базисами (Т (х))„о и (совпФ)~ р. Следовательно, замена Т„(х) -+ Та(сов|) = „ , и Е г1, сгж пФ в ряде Фурье ~', с„Т„(х) функции Дх) б Ьз[[ — 1,1], 1/~(~ — х~) а=в оэ приводит к ряду Фурье ~ с„совпй функции Деева) Е Аз[О,к] а=е (см. 6.7).
Это позволяет свести анализ рядов по многочленам Чебышева к анализу соответствующих рядов по более изученной тригонометрической системе (созна)~ е. А поскольку замена х = сов$ является непрерывно дифференцируемой, то на ряды по системе многочленов Чебьппева переносятся дополнительные свойства, касающиеся различных видов сходимости (сходимость почти всюду, равномерная сходимость, сходимость в 11[0,к], и т.д.) и которые могут быть доказаны для рядов ~, сасовМ в Бр[О,к]. а=в 7.0.
Система Хаара Рассмотрим теперь еильбертово пространство Ьэ[0,1]. Одной из простейших полных ортонормированных сисгпем (базисов) в Ьэ[0,1] является сисгпема Хопрп. Эту систему впервые построил и начал изучать А. Хаар в 1909 г. в связи с задачей построения ортонормированной системы функций, ряды Фурье непрерывных функций по которой сходились бы равномерно на [О, Ц.
Простота и естественность системы Хаара объясняют ее широкое применение в теории функций, теории вероятностей и вычислительной математике. Система Хаара состоит из кусочно постоянных на [О, 1] функций и определяется следующим образом. Как и для функ- 580 7. РЯДЫ ПО ОРТОГОНАЛЬНЫМ СИСТЕМАМ В Ь2(а,ь) ций систпемы Фабера — Шаудера, для функций системы Хаара наряду с одинарной (порядковой) нумерацией удобно ввести и двойную нумерацию с помощью представления натурального числа п > 2 в виде н = 2'" + я, где гп — неотрицательное целое число, а Й вЂ” натуральное число,не превосходящее 2'" (см.
(5.9)). С помощью представления 1 = 2е + 0 (т.е, гп = О, й = О) двойную нумерацию получит и первая функция системы Хаара. Таким образом, для каждой функции Хаара будут использованы два равноценных обозначения х„(х) и Х (х), где числа и, (Ь) гп и я связаны соотношением п = 2'" + я. Первая функция системы Хаара постоянна: )~е (х)=1, хб[0,1], а вторая имеет вид 1, х~~0, ), Хе (х)= 0 х=з) (1) 1, хб(-,1~.
Эти две функции представлены на рис. 7.2 и 7.3 Рис. 7.2 Рис. 7.3 581 7.9. Система Хаара Последующ~~е функции Х,а (х) системы Хаара с номерами (ь) тп Е )Ч и )с = 1, 2"" определяются равенством ~/2й, Х~а (х) = Ят (7.24) О, Теорема 7.16. Система Хаара является счетным ортонормированным базисом в гильбертовом пространстве Аз[0,1]. < Сперва докажем, что у всех функций системы Хаара норма в Ь9[0,1] равна единице. Для первых двух функции Хе (х) и (о) Хе (х) это очевиДно, а Дла остальных имеем (1) ь/2 В ~~хИ'=/(хм())'~ = / 2"а =1 (а-1)/2~ Теперь покажем, что функции системы Хаара попарно ортогональны. ОРтогональность пеРвых двУх фУнкций Хе (х) и (1) Хе (х) ко всем остальным фУнкциЯм очевиДна.
Рассмотрим произвольные функции Х,„(х) и Х (х) с одним () И и тем же индексом тп > 1 и различными индексами 1 и 9. Их произведение Х,а (х) Х,а (х) всюду на отрезке [О, 1], кроме, быть (О (1) В точках разрыва х = ()с — 1)/2 (я ф 1), х = ()с — 1/2)/2 и х = )с/2 ()с ~ 2 ) функция Х~~~(х) доопределяется как полусумма односторонних пределов, а в крайних точках отрезка х = 0 и х = 1 — как соответствующий односторонний предел. Графики функции Х,а (х) при тп = 1, 2 представлены на рис. 7.4. (а) 583 7.9. Система Хаара может, одной точки, равно нулю.
Следовательно, (х(0( ), хп)(')) =/ х(0( )хх'( )х =и о РассмотРим фУнкции Х„(х) и Хпх (х) с Различными ин- (') О) дексами тп > 1 и п > 1 и произвольными индексами 1' и у. Для определенности считаем, что и > тп. В этом случае из определения функций системы Хаара следует, что интервал ((1 — 1)/2", 1/2"), в котором функция Д~(х) отлична от нуля, целиком лежит в интервале, в котором функция Х~ (х) постояы- О) на и равна некоторой константе Л (в зависимости от эначеыий иыдексов 1 и у Л = 0 или Л = +1/2'"). С учетом этого имеем 72п (х."'(*), хп)( )) =/хп(*)хп1( )х =х / хР( ) и= ($-1)/2п (х- и)/2" 72п = Л 1/2" дх — Л 1/2Мх = О. (1 1)72п (1-1Уг.
Таким образом, ортонормированность системы функций Хаара установлеыа. Докажем замкнутость систпемы функций Хаара. Для этого сначала произвольную функцию из Ь2[О,Ц аппроксимируем непрерывной функцией, а затем для этой непрерывной функции подберем многочлен по системе Хаара, приближающий ее по ыорме гильбертова пространства Ь2[0, Ц. Пусть (р(х) — произвольная функция гильбертова пространства Ь2[О,Ц. Поскольку множество непрерывных на отрезке [О, Ц функций всюду пло)пно в Ь2[О,Ц (см. теорему 7.7), то для всякого числа е > 0 найдется непрерывная на отрезке [О, Ц 584 Т.
РЯДЫ ПО ОРТОГОНАЛЬНЫМ СИСТЕМАМ В Ь2(о,'о) функция д(х), такая, что е [[р-д]] < —. 2 (7.25) Покажем, что для непрерывной функции д(х) найдется многочлен по системе Хаара ~(х) = а1Х1(х) + азха(х) +... + аоХ„(х), а, й К, 1 = 1, и, такой, что ]]д-Л <- 2 (7.26) Для этого рассмотрим множество Р ~1 всех таких функций из А|[0,1], которые постоянны в каждом (в отдельности) из интервалов ((1 — 1)/2"'+1, 1/2 +1), 1 = 1, 2, 3, ..., 2 +1. При этом значения функций на концах этих интервалов могут быть произвольными, поскольку в гильбертовом пространстве Аз[0,1] пары функций, отличающиеся на множестве меры нуль, отождествлены. Поэтому на значения функций из Р +1 в точках разрыва (на концах указанных интервалов) обращать внимание не будем. Множество 0„„~1 является, очевидно, линейным пространством.
Каждой функции Дх) из Р „1 можно поставить в ул+ 1 соответствие арифметический вектор (11, ~з +1) й К ее значений в интервалах постоянства (колнчество интервалов постоянства равно 2"'+1). Нетрудно заметить, что такое отобраз е1 жение .0 +1 на К является изомор4измом двух линейных пространств. Таким образом, Р ~1 является подпространством в Аз[0, 1] размерности 2 +1. Все функции Х„(х) системы Хаара с порядковыми номерами и от 1 до 2 +1 включительно (т.е.
все функции х; (х) с номе- 00 рами 1 = О, т и я = О, 2'") принадлежат надпространству Р Конечная система этих функций Хаара ортонормирована, линейно независима (потому что ортонормирована), состоит из 2т+1 функций (что равно размерности надпространства .0 „1) и потому является ортонормированным базисом в подпространстве 0„,~.1 гильбертова пространства Хз[0,1]. Поэтому всякую 585 7.9.
Система Хаара функцию /(х) из Р,и+1 можно представить в виде линейной комбинации функций Х1(х), Хз(х), ..., Х„(х), где п = 2'"+1. Таким образом, для того чтобы подобрать многочлен по системе Хаара с усяовием (7.26), достаточно найти функцию /(х) из Р +;, удовлетворяющую тому же условию (7.26). Так как функция д(х) непрерывна на отрезке [О, 1], то она также и равномерно непрерывна на зтом отрезке [1-5.9], т.е. Че>0 Эд=б(е) >О Чх1,хзб[0,1]: с [х1- хг[ < 5 =, "[д(х1) — д(хз)[ < —. (7.27) 2 Для заданного числа е > 0 на основании (7.27) подберем соответствующее 5 = 5(е) > О.
Возьмем тп Е Ы настолько большим, чтобы выполнялось неравенство 1/2~а+1 < б, и рассмотрим функцию /(х), определенную на отрезке [О, 1], полагая, что У(х) =д( —,) при хЕ ( —,, —,), 1=1,2"'+'. 1 — 1 1 — 1 Значения функции в концах интервалов роли не играют и могут быть выбраны произвольно. Функция /(х) принадлежит подпространству Р +ь Покажем, что она удовлетворяет условию (7.26). Если х Е ((1 — 1)/2 +1, 1/2~и+1), то и с учетом (7.27) имеем Поскольку интервалы ((1 — 1)/2'"+1, 1/2и') накрывают весь отрезок [О, 1], за исключением конечного числа точек (концов 586 7. РЯДЫ ПО ОРТОГОНАЛЬНЫМ СИСТЕМАМ В Ьь[а,ь! интерволов), то почти всюду на [О, 1] вьшолнено неравенство [у(х) — У(х)! < -'.
2 Используя свойства интеграла Лебега, отсюда для функции Г(х) получаем условие (7,26). Из оценок (7.25) и (7.26) окончательно находим []Р-.Г]! = ![р-у+у-Л ~ ![р-у[[+[[у-У]! ( . Итак, в любой г-окрестности всякого элемента >р(х) б Ьг [О, 1] существует элемент ,Г(х) = а1х1(х) + агапэ(х) +...
+ а„х„(х), а; е к, 1 = 1, и, принадлежащий линейной оболочке снстемы Хаара. А это означает замкнутость системы Хаара в гильбертовом пространстве 1 |[0,1]. Поскольку система Хаара ортонормирована, то в силу теоремы 6.12 она является счетным базисом в 5|[0, Ц. ~ Так как система Хаара является базисом гильбертова пространства 7 э[0, 1], то всякая функция >р(х) Е Ьэ[0, 1] может быть разложена в рлд Фурье по системе Хаара: с>> э»> >Р(х) — ~~~ с л»(х) = со Хо (х) + ~ ~с>ь )~,„(х) »>=О 6=1 с коэ>рфициентами Фурье с =со = 1 р(х)Хо (х)дх (о) Г 1о) о 1 с„=с~~) = >Р(х)Х(ь)(х)дх> и=2 +1о> т=0,1,2,..., й=1>2'". о 587 7.9. Система Хаара Равенство элемента оэ(х) Е Ха[О,Ц своему ряду Фурье надо понимать как равенство почти всюду на [О, Ц, а сумму ряда Фурье — как сумму ряда в гильбертовом пространстве Х а[0, Ц, сходягиегося в среднем ивадрагпичном.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
