IX Власова Е.А. Ряды (1081388), страница 74
Текст из файла (страница 74)
Теорема 7.22. Система функций Уолша является счетным ортонормированным базисом в гильбертовом пространстве Аз[0,1]. ~ Доказательство базисности системы Уолша аналогично доказательству базисности системы Хаара (см. теорему 7.16). Во-первых, из определения функций Уолша следует, что все функции Уолша ш„(х) с номерами 0 < и < 2а постоянны в каждом из интервалов Поэтому все эти функции те„(х) с номерами 0 < и < 2~а принадлежат подпространству Р,„С 1|[0,1] (см.
доказательство теоремы 7.16) функций, постоянных в каждом из интервалов 596 7. РЯДЫ ПО ОРТОГОНАЛЬНЫМ СИСТЕМАМ В Ьэ(о,'о) ((л — 1)/2ю, к/2™), 1 < й < 2'". Подпространство Р имеет размеРность 2"', и фУнкЦии п1о(х), 0 < и < 2, как Раз составлЯют ортонормированный базис в подпространстве Р,„. Во-вторых, учитывая, что множество всех непрерывных функций является всюду плоп1ммле в Аз[0,1], для любого в ) 0 в в-окрестности всякой функции со(х) е Аз[0,1] можно найти непрерывную функцию д(х), а в в-окрестности функции д(х)— функцию 7'(х) из Р (см.
доказательство теоремы 7.16), являющуюся многочленом по системе Уолша, т.е. 2 -1 у (х) = ~~> ааюа(х). а=в Функция 7'(х) принадлежит линейной оболочке системы Уолша. Это доказывает залекмдтосп1ь системы Уолша в гильбертовом пространстве Ьг[0,1]. И, наконец, поскольку система Уолша ортонормирована, то, согласно теореме 6.12, она является счетным базисом в Ьг[0,1]. > Итак, система Уолша,как и система Хаара, является счетным базисом в гильбертовом пространстве Аз[0,1].
Однако свойства сходимости рядов Фурье по системе Уолша не так хороши, как соответствующие свойства рядов по системе Хаара. Теорема 7.23'. Система Уолша не является базисом в банаховом пространстве л.1[0, 1]. Кроме того, существуют, например, непрерывные функции, ряд Фурье которых по системе Уолша расходится в некоторой точке отрезка [О, 1], чего не может быть в случае рядов Фурье по системе Хаара (см.
теорему 7.19). Существуют также сдльмируелеые на отрезке [О, 1] фуюсции, ряд Фурье которых по системе Уолша всюду на отрезке [О, 1] расходится (сравните с теоремой 7.18). Однако для рядов Фурье по системе Уолша справедлива следующая теорема. *Доказательства этой я следующей теорем смс Котииа Б.С., Соотла А.А. 597 Вопросы и эопачи Теорема Т.24.
Для любой функции Х(х) Е Ьз[0,1] ее ряд Фурье по системе Уолша сходится к самой функции Х(х) почти всюду на [О, 1]. ф Как видим, свойства системы Уолша во многом аналогичны свойствам тризонометрической системы. Вопросы и задачи 7.1. Докажите, что банахово пространство Ь1 [0,1] не является евклидовым, т.е. в Х1[0, 1] не существует скалярного умножения, индуцирующего норму этого банахова пространства. Т.2.
Докажите, что для любых функций Х(х) и д(х) из гильбертова пространства А|[а, Ь] выполняется неравенство 7.3. Докажите, что для любой функции Х(х) Е Аз[а,Ь] выполняется неравенство где [].]]1,, и ][ ]]ь, — нормы в банаховых пространствах Х1[а,6] и Хз[а,Ь]. Т.4. Докажите, что если последовательность (Ях)) функций банахова пространства Х1[а, Ь] сходится в среднем к суммируемой на отрезке [а, 6] функции Х (х), то она сходится к Х (х) и по мере Лебега, т.е. Че ) 0: 11ш т(х Е [а, Ь]: ]1ь(х) — Х(х)] Э е) = О, где т — мера Лебега. 598 7.
РЯДЫ ПО ОРТОГОНАЛЬНЫМ СИСТЕМАМ В йз~а,ь) Т.б. Докажите, что если последовательность Ць(х)) функций банахова пространства Ьэ[а,Ь] сходится к функции у(х) в среднем квадратичном, то она сходится к у(х) и в среднем. 7.6. Приведите пример функции, принадлежащей Ь| [О, Ц, но не принадлежащей Ьэ[0, Ц. 7.7. Докажите, что если последовательность Ць(х)) функций банахова пространства Ьэ[а, Ь] сходится равномерно на отрезке [а, Ь], то она сходится и в среднем квадратичном.
Т.8. Приведите пример последовательности (Ях)) функций кэ 1|[0,Ц, сходящейся к некоторой функции Дх) ЕХАЙ[О,Ц в среднем, но не сходящейся к Дх) почти всюду на отрезке [о, Ц. 7.9. Приведите пример последовательности (Ях)) функций из Ь| [О, Ц, сходящейся к некоторой функции Дх) Е Ь| [О, Ц почти всюду на [О, Ц, но не сходящейся к ~(х) в среднем. 7.10. Докажите, что функция у(х) = 1/~/я не является пределом в среднем квадратичном на отрезке [О, Ц никакой последовательности непрерывных функций. Т.11. Докажите, что последовательность функций у„(х) = = и хе "*, х е [О, Ц, сходится к функции Дх) ив э 0 в каждой точке отрезка [О, Ц, но не сходится к ней в гильбертовом пространстве Ьэ[0, Ц.
7.12. Найдите угол между элементами х($) = вшФ и р(1) = $ гильбертова пространства Ьэ [О, и]. 7.13. Докажите, что множество многочленов р($), для которых р(1) = О, является выпуклым всюду плотным множеством в гильбертовом пространстве Ьэ[О,Ц. Т.14, Осуществите ортогоналкзацию системы элементов яо(г) = 1, х~($) = 1, хг($) = 1э, хз($) = 1э гильбертова пространства Ьэ[ — 1, Ц.
599 Вопросы и започи 7.15. Докажите, что система функций 1, сов1, сов2$, ..., сеется, образует ортогональный базис в Аз[О,к], а в Ьэ[ — к,к] является ортогональной системой, но не базисом. 7.16. Докажите, что система функций 2 -вшпп, к 2. Г2 — е1п$, у — е1в2$, Ь | со у (х) д(х) Их = ~~) у„д„. а о=1 7.18. В гильбертовом пространстве Ьо[-1,1] разложите функцию ~(х) = [х] в ряд Фурье по системе многочленов Лежандра. 7.19. Докажите, что многочлены Лежандра Р~(х) удовлетворяют дифференциальному уравнению (1 — х )Ррп(х) — 2хР~ь(х) + Ус(й+ 1)Рь(х) = О. 7.20.
Докажите, что многочлены Чебышева Т„(х) удовлетворяют дифференциальному уравнению (1 — х~)Ти(х) — хТ„'(х) + тРТ„(х) = О. 7.21. В гильбертовом пространстве Аз [О, 1] разложите функцию у(х) = х в ряд Фурье по системе Хаара. образует ортонормированный базис в Юг[О,п], а в Ь|[ — я,п] является ортогональной системой, но не базисом. 7.17. Пусть ~„и д„— коэффициенты Фурье функций Дх) и д(х) гильбертова пространства А|[а,Ь] по некоторой полной ортонормированной системе в Ьэ[а,б].
Докажите равенство СПИСОК РЕКОМЕНД.у"ЕМОЙ ЛИТЕР АТ~РЫ Учебники и учебные пособия Воробьев Н.Н. Теория рядов: Учеб, пособие для втузов. Мс Наука, 1986. 408 с. Вулих Б.З. Краткии курс теории фувкций вещественной переменной: Учеб, пособие длл вузов. Мс Наука, 1973. 304 с. Зори ь В.А. Математический аиалвэ: Учеб, для студентов университетов, обучающихся по специальностям „Математика" и „Механика": В 2 т. Т. 2.
Мс Наука, 1984. 640 с. Ильин В.А., Садовничий В.А., Сеидов Бл.Х. Математический аиэлиэ: Продолжение курса / Под ред. А.Н. Тихонова. Мс Иэд-во МГУ, 1987. 358 с. Карташев А.П., Рождественский Б.Л. Обыхвовеивые дифферевциальвые уравнения и основы вариациопвого исчисления: Учеб.
пособие для студентов вузов. Мс Наука, 1986. 272 с. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и фупкциовального анализа; Учеб, для студентов математических специальностей увиверситетов. Мс Наука, 1976. 496 с. Люспьсриик Л.А., Соболев В.И. Краткий курс фупкциопэльпого акалиэа: Учеб. пособие для студентов уияверсктетов, обучающихсл по специавьиости „Математика". Мс Высш. шк., 1982. 271 с.
Люстерник Л.А. Соболев В.И. Элементы функционального аивлвза. Мс Наука, 1965. 520 с. Математическия ввалив / И.И. Ляшка, А.К. Боярчук, Я.Г. Гай А.Ф. Калайда: Учеб. для студентов математических специальностей уииверситетов: В 3 т. Т.2. Киев: Вища школа, 1985.
551 с. Напьаисон И.П. Теория функций вещественной переменной: Учеб. пособие для вузов. Мс Наука, 1974. 480 с. Никольский С.М. Курс математического анализа: Учеб. для вузов: В 2 т. Т. 1. Мс Наука, 1990. 528 с.; Т. 2. Мх Наука, 1991. 544 с. Пугачев В.С. Лекции по фувкциоиальвому акавизу; Учеб. пособие для студентов втуэов; Мс Иэд-во МАИ, 1996. 744 с. 601 Садовничиа В.А. Теория операторов: Учеб. для студентов, обучающихся по специальности „Математика". Мл Изд-во МГУ, 1986. 368 с.
Толстов Г.П. Ряды Фурье. Мл Наука, 1980. 382 с. Треногин В.А. Функциональный анализ: Учеб. пособие для вузов. Мл Наука, 1993. 440 с. Уваренквв И.М. Моллер М.Э. Курс математического аналвза: Учеб. пособие для фвз.-мат. фак. пединститутов: В 2 т. Т. 2. Мл Просвещение, 1976. 479 с. Фивтвнгольи Г.М. Основы математического анализа: В 2 т. Т.2. Мл Наука, 1968.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
